Лабораторная работа 10 определение момента инерции маховика
 Скачать 338.11 Kb.
|
|
Лабораторная работа 1.10 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВИКА А.М. Бишаев, М.В. Козинцева Цель работы: определение момента инерции маховика по периоду его совместных колебаний с телом, момент инерции которого известен. Задание: по периоду малых колебаний маховика с небольшим магнитом вокруг неподвижной оси найти момент инерции маховика и убедиться в том, что значения моментов инерции, полученные в опытах с разными магнитами, в пределах ошибок измерений совпадают друг с другом. Подготовка к выполнению лабораторной работы: изучить понятия мо- мента инерции точки, тела, момента силы, уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, дифференциальное уравнение гармони- ческих колебаний, изучить описание установки и вывод расчетной формулы для определения момента инерции маховика. Библиографический список 1. Савельев И.В. Курс общей физики. В 3-х томах. Том 1. Механика. Молеку- лярная физика. - СПб.: Издательство «Лань», 2018, гл. 5, §§ 36-39. 2. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Издательский центр «Академия», 2019, гл. 4, §§ 16 – 18. Контрольные вопросы 1. Дайте определение момента инерции материальной точки и твердого тела относительно некоторой оси. 2. Выведите уравнение колебаний, которому подчиняется система тел 1 и 2, используемых в лабораторной работе. 3. Получите выражение для частоты колебаний маховика с магнитом, рас- сматривая систему этих тел как физический маятник. 4. При каком условии маховик с магнитом совершают гармонические колеба- ния? 5. Выведите расчетную формулу для определения момента инерции I 1 махо- вика. 6. Оцените погрешность использования модели материальной точки для маг- нита. 2 Рис.1. O O m k R k Теоретическое введение Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси O O (рис. 1). Разобьем его на элементарные массы k m (масса всего тела k k m m ), которые можно считать материальными точками. Расстояние каждой из них от оси вращения обозначим R k . Моментом инерции I к материальной точки k m относительно данной оси называется произведение ее массы на квадрат рассто- яния от оси вращения 2 k k k R m I (1) Величина I, равная сумме I k произведений элементарных масс на квадра- ты их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела отно- сительно данной оси 2 k k k k k R m I I (2) Суммирование производится по всем элементарным массам k m , на которые можно разбить тело. Из определения I видно, что момент инерции есть величи- на аддитивная. Это означает, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. Элементарная масса k m равна произведению плотности тела k в дан- ной точке на соответствующий элементарный объем V k , то есть k k k V m Следовательно, момент инерции можно представить в виде k k k k V R I 2 (3) Если плотность тела постоянна, ее можно вынести за знак суммы k k k V R I 2 (4) 3 Соотношения (2), (3), (4) являются приближенными, причем, тем более точными, чем меньше элементарные объемы V k и соответствующие им эле- ментарные массы k m . Следовательно, задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию V V dV R dm R I 2 2 (5) Интеграл в (5) берётся по всему объему тела. Величины и R в этом интеграле являются функциями координат точки, т.е., например, декартовых координат x, y и z. Нахождение моментов инерции тел сложной формы по формуле (5) явля- ется непростой задачей. Поэтому большую роль играют экспериментальные методы определения этой величины. Описание аппаратуры и методики измерений Схема установки, используемой в настоящей работе для определения мо- мента инерции I 1 маховика 1, показана на рис. 2. Маховик 1 массы М может вращаться вокруг неподвижной оси O, проходящей через его центр масс (ось вращения перпендикулярна плоскости рисунка). Действующие на тело 1 сила тяжести g M и сила реакции оси N не со- здают вращательного момента относительно оси O и, следовательно, тело находится в состоянии безразличного равновесия. Закрепим на расстоянии R от оси вращения небольшое тело 2 массы m. Тогда у системы тел 1 и 2 появится устойчивое положение равновесия (при = 0, см. рис.1). При отклонении от положения равновесия система будет совершать колебания под действием мо- мента силы тяжести g m . Найдем частоту этих колебаний. N g m g M R О 1 О 1 2 Рис. 2. 4 Пусть система отклонилась на небольшой угол от положения равнове- сия. Уравнение движения системы тел 1 и 2 относительно оси O в этом случае запишется в виде sin ) ( 2 2 2 1 mgR dt d I I , (6) где I 1 и I 2 - моменты инерции тел 1 и 2, соответственно, относительно оси O. Размеры тела 2 намного меньше расстояния R,поэтому его можно считать ма- териальной точкой и вычислять его момент инерции I 2 по формуле (1), то есть 2 2 mR I Знак минус в уравнении (6) перед вращательным моментом появился потому, что вектор момента направлен противоположно вектору 1 . Если угол достаточно мал, то справедливо приближенное равенство sin . Тогда уравнение (6) перепишется в виде 0 2 1 2 2 I I mgR dt d или 0 2 2 2 dt d (7) где введено обозначение 2 1 2 I I mgR (8) Мы получили уравнение гармонических колебаний (7), решением которо- го будет функция ), cos( t A где А – амплитуда колебаний (зависит от начальных условий), - циклическая частота колебаний, – начальная фаза колебаний. Таким образом, при малых колебаниях угловое отклонение системы тел 1 и 2 изменяется со временем по гармоническому закону. Измерив на опыте период колебаний T системы тел 1 и 2(напомним, что 2 T ) и зная константы m, g, R, можно найти неизвестный момент инерции I 1 . Действительно, из формулы (8) получаем 4 2 2 2 1 mR mgRT I (9) 1 При малых углах отклонения можно рассматривать как вектор, связанный с направлением поворота прави- лом «правого винта». 5 Можно убедиться в том, что, рассматривая систему тел 1 и 2 как физиче- ский маятник, подвешенный на расстоянии ) ( OO 1 M m mR от его центра масс O 1 (см. рис. 2), мы снова получим формулу (8) для частоты колебаний и, соот- ветственно, формулу (9) для вычисления момента инерции I 1 тела 1. Порядок выполнения работы 1. Укрепить небольшой магнит на ободе маховика и измерить расстояние от центра масс маховика до центра масс магнита. 2. Измерить не менее пяти раз время t полных 3 5 колебаний маховика с маг- нитом. Результаты измерений занести в таблицу 1. 3. Повторить измерения п.п.1, 2, изменив условия эксперимента (например, закрепив тот же магнит на другом расстоянии от оси, либо используя маг- нит другой массы). Таблица 1 Масса маг- нита, г t, с t ср. , с T ср. , с I 1ср. , кг м 2 1 2 3 4 5 m 1 = m 2 = Обработка результатов измерений 1. Найти средний период колебаний маховика с магнитом по формуле n t T ср ср , где n – число колебаний. 2. Вычислить среднее значение момента инерции I 1ср. маховика по формуле (9). При расчетах ускорение свободного падения g принять равным g=(9,81 0,05) м/c 2 3. Рассчитать относительную погрешность E измерения момента инерции по формуле R R I mR T T g g m m I I E 1 2 1 1 1 2 6 Учитывая, что 1 1 2 I mR , можно воспользоваться приближенной форму- лой R R T T g g m m E 2 4. Найти абсолютную погрешность измерения E I I 1 1 и записать числовой результат в виде 2 1 ср. 1 м кг I I 5. Сравнить значения моментов инерции маховика, полученные в опытах с магнитами разных масс (либо с магнитами, закрепленными на разных рас- стояниях от оси), и убедиться в том, что в пределах ошибок измерений они совпадают друг с другом. |