144 бет. Лабораторная работа 144 определение ускорения силы тяжести

• Название: Лабораторная работа 144 определение ускорения силы тяжести
• Анкор: 144 бет
• Дата: 29.04.2022
• Размер: 258.36 Kb.
• Имя файла: 144.pdf
• Тип: Лабораторная работа; #503842

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №144
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
ПРИ ПОМОЩИ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА
Цель и содержание работы
Целью работы является изучение гармонических колебаний физического маятника.
Содержание работы состоит в опытном определении ускорения силы тяжести методом оборотного маятника.
Краткая теория
Среди разнообразных физических явлений широко распространены колебательные явления, обладающие, общими чертами и подчиняющиеся общим закономерностям, не- смотря на различную природу колебательных процессов (например, механические и элек- трические колебания). Общая черта всех колебательных движений состоит в том, что они представляют собой движения, многократно повторяющиеся или приблизительно повто- ряющиеся через определенные промежутки времени.
Простейшим среди колебательных движений является гармоническое колебательное движение. Характер такого движения рассмотрим при помощи следующей кинематической модели. Допустим, что точка M равномерно вращается по окружности радиуса A с посто- янной угловой скоростью (рис. 1).
Рис. 1. Пример гармонического движения
Проекция этой точки
N
на диаметр (ось
X ) будет совершать колебательное движе- ние между крайними положениями
1
N и
2
N . Колебание точки
N
и будет гармоническим колебанием. Чтобы его описать, найдем координату x точки как функцию времени t . Из рис. 1 видно, что
)
cos(
0
t
A
x
(1)
O
N
N
2
M
X
N
1
t

где
0
– угол, который образовывал в начальный момент времени
0
t
радиус OM с осью
X .
Формула (1) описывает аналитически гармоническое колебательное движение.
Величина A дает максимальное отклонение колеблющейся точки от положения рав- новесия O. Она называется амплитудой колебания. Величина называется циклической
частотой. Величину
0
t
называют фазой колебания, а ее значение при
0
t
, то есть величину
0
– начальной фазой. По истечении времени
2
T
(2) фаза получает приращение 2π, а колеблющаяся точка возвращается в свое исходное поло- жение. Время T называется периодом колебаний.
Простым колебанием называется движение точки от одного крайнего положения до другого. Время простого колебания равно
2
T
Мы привели кинематическое определение гармонического колебательного движе- ния. Выясним теперь физические условия, при которых происходят гармонические колеба- ния. Для этого рассмотрим физический маятник, т.е. твердое тело, укрепленное на непод- вижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс, и способное совершать ко- лебания относительно этой оси (рис. 2).
Обозначим через J момент инерции маятника относительно такой оси O . Пусть точка C является центром масс.
Применим закон динамики вращательного движения (относительно горизонтальной оси O)
z
M
J
(3) к движению физического маятника.
Момент силы реакции опоры равен нулю. Момент силы тяжести sin
l
m
M
g
, (4) где l – расстояние от оси вращения до центра масс, – угол отклонения мятника от поло- жения равновесия (угол между прямой OC и вертикалью).
Угловое ускорение равно
2 2
dt
d
. (5)

Рис.2. Физический маятник
Подставив (4) и (5) в (3), получим следующее дифференциальное уравнение движе- ния маятника: sin
2 2
l
m
dt
d
J
g
Знак “минус” выбран потому, что момент силы тяжести сообщает маятнику угловое ускорение, обратное угловому отклонению. Если угол α мал (α ≤ 5º), то sin
, и после преобразований уравнение примет вид:
0 2
2
J
l
m
dt
d
g
. (6)
Решение уравнения (6) имеет вид:
)
sin(
0
t
m
, (7) где
– циклическая частота колебаний
J
l
mg
(8)
m
– амплитуда, а
0
– начальная фаза колебаний;
m
и
0
определяются начальными ус- ловиями.
Покажем, что (7) удовлетворяет уравнению (6). Действительно, продифференциро- вав по времени два раза, получим
)
sin(
0 2
2 2
t
dt
d
m
. (9)
O
С
O
mg

O'
O
C

Подставив (9) и (8) в (6), получим, что левая часть уравнения (6) тождественно об- ращается в нуль.
Применив формулу (2) и выражение для частоты колебаний (8), найдем период гар- монических колебаний физического маятника:
l
m
J
T
g
2
. (10)
Частным случаем физического маятника является математический маятник. Так называется колебательная система, состоящая из материальной точки, прикрепленной к концу нерастяжимой и невесомой нити, второй конец которой закреплен неподвижно.
Примером математического маятника может служить тяжелый шарик малых размеров, подвешенный на длинной тонкой нити.
Момент инерция математического маятника относительно точки подвеса равен:
2
ml
J
. (11)
(
l – длина маятника).
Период колебаний математического маятника определяется тогда, согласно (10) и
(11), следующим выражением
1
:
g
l
T 2
. (12)
Сравнивая выражения (10) и (12), заключаем,что физический маятник колеблется с тем же периодом, что и математический маятник с длиной
ml
J
l
0
, (13) которая называется приведенной длиной физического маятника.
Точка O , находящаяся на расстоянии
0
l от оси вращения по линии, проходящей че- рез центр масс (рис.2), называется центром качания физического маятника. Центр качания имеет следующее свойство. Если ось вращения маятника O поместить в центр качания, то его период не изменится, и прежняя ось вращения станет новым центром качания. Это можно доказать, если использовать теорему Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела J относительно какой-либо оси равен моменту инерции
0
J этого тела относительно оси, па- раллельной данной и проходящей через центр тяжести, сложенному с величиной
2
ma
:
1
Формулы (10) и (12) справедливы лишь для малых углов. Более точная формула для определения периода колебаний математического маятника:
2
sin
4 1
1 2
2
g
l
T

2 0
ma
J
J
где a – расстояние между осями,
m
– масса тела.
На основании этой теоремы с учетом
l
a
при точке подвеса
O имеем:
l
ml
J
ml
J
l
0 0
. (14)
Отсюда находим
)
(
0 0
l
l
m
J
l
. (15)
Приведенная длина перевернутого маятника будет равна
)
(
)
(
0 0
0 0
l
l
l
l
m
J
l
Воспользовавшись (15), получаем требуемый результат:
0 0
0
l
l
l
l
l
Зная приведенную длину маятника l , и определив период колебаний физического маятника, можно найти величину g в данном месте Земли. Таким образом, могут быть произведены наиболее точные измерения ее в различных точках земной поверхности.
Приборы и принадлежности, необходимые для восполнения работы
1.Оборотный маятник (рис. 3). Он состоит из однородного металлического стержня с делениями, нанесенными на его поверхность через 10мм.
Опорные призмы A и B жестко закреплены на определенных местах. Расстояние
0
l между ребрами призм указано на установке. Два тяжелых груза в форме чечевиц D и C
также жестко закреплены на стержне. Груз M в форме чечевицы можно перемещать вдоль стержня.
2. Частотомер-хронометр, предназначенный для измерения среднего полупериода колебаний оборотного маятника в миллисекундах (mS). Усреднение производится по
10 простым колебаниям.
3. Электронная схема включает в себя фотодиод ФД-3 и служит для преобразования световых импульсов в электрические.
4. Осветительная установка, служащая для освещения фотодиода. Осветительная установка и фотодиод смонтированы на стойке, на которой укреплен оборотный маятник.
5. Источник питания, служит для питания электронной схемы и осветительной ус- тановки.

Рис. 3. Оборотный маятник
Порядок выполнения работы
В данной работе нужно найти такое положение груза M, при котором период просто- го колебания (полупериод) оборотного маятника при последовательных подвесах его на призмах A и B будет одним и тем же. В этом случае расстояние между ребрами опорных призм будет равно приведенной длине маятника. Измерив полупериод можно, восполь- зовавшись формулой (12), определить ускорение свободного падения
0 2
2
l
g
. (16)
Измерения проводятся в следующей последовательности:
1. Включить в сеть источник питания. При этом загорается лампочка осветительной установки.
2. Включить в сеть частотомер-хронометр.
3. Подвесить оборотный маятник на призму A. Опустить груз M в нижнее положе- ние.
4. Отвести рукой нижний конец маятника так, чтобы размах колебаний его не пре- вышал 8–10 см и отпустить.
5. Нажать кнопку “сброс”, расположенную на передней панели частотомера. Часто- томер-хронометр начинает измерять время колебаний после того, как загорится на его пе- редней панели белая лампочка “измерение”.
A
B
C
D
M

6. Записать показания частотомера в таблицу 1. При одном и том же положении гру- за M, измерения повторить 3 раза. Перед каждым измерением необходимо нажимать кноп- ку “сброс”.
7. Проделать измерения (пп. 4 – 6) для различных положений груза M, который пе- ремещают, начиная от нижнего конца через каждые 2 см до призмы B. (В данной работе перемещается только груз M).
Таблица 1
Положение груза
1 2
3 4
5 6
7 8
Средний полупериод на призме A
1.
2.
3.
Среднее значение из 3-х измерений
Средний полупериод на призме B
1.
2.
3.
Среднее значение из 3-х измерений
8. По данным таблицы 1 на миллиметровой бумаге построить график зависимости среднего полупериода колебаний маятника от положения груза M. На оси абсцисс откла- дывают деления шкалы, соответствующие различным положениям грузаM, а на оси орди- нат средний полупериод τ. Масштаб по осям удобно выбирать следующим образом: 1 см на оси абсцисс соответствует расстоянию между двумя делениями на стержне; 1 см на оси ор- динат – 20 mS (0,02 с).
9. Перевернуть маятник и подвесить его на призму B. Следуя пунктам 4 – 6, измерять среднее время простого колебания. При этом груз M следует перемещать через каждые
2 см от самого верхнего положения до призмы B. Результаты измерений занести в табли- цу 1.

10. На той же миллиметровой бумаге достроить второй график (при положении маят- ника на призме B), следуя указаниям п. 8. Точка пересечения2-х кривых определяет поло- жение грузаМ, при котором полупериоды колебаний имеют одинаковые значения.
Установить груз M в найденное из графиков положение и измерить средний полупе- риод (следуя пунктам 4, 5) при подвесе маятника на каждой из призм. Результаты измере- ний завести в таблицу 2. Записать значение приведенной длины маятника
0
l
(указано на ус- тановке).
Таблица 2
Приведенная длина маятника
0 0
l
l
= ……… м
Средний полупериод на призме A
A
, с
Средний полупериод на призме B
B
, с
1.
1.
2.
2.
3.
3.
Среднее значение (с) =
Обработка результатов измерений
1. Рассчитать по формуле:
6 3
1 3
1
i
Bi
i
Ai
2. Вывести формулу для расчета относительной и абсолютной погрешностей изме- рений g (см. “Обработка результатов измерений”)
g
g
g
g
и рассчитать эти ошибки.
После расчета относительной ошибки
g
определить необходимое число значащих цифр в числе
g
1
,
0
по таблице, приведенной в методическом пособии “Обработка результатов измерений”
3. По формуле (16) рассчитать g . Окончательный результат записать в виде
g
g
g
(м/c
2
)

Контрольные вопросы

1. Что такое физический маятник?
2. Что такое оборотный маятник? Что называется приведенной длиной физического маят- ника?

3. Какие колебания называются гармоническими?
4. При каком условии физический маятник можно считать математическим?
5. Вывести дифференциальное уравнение движения маятника.
6. Сформулируйте теорему Гюйгенса-Штейнера.

7. Какое практическое значение имеет измерение ускорения силы тяжести?
8. В чем заключается метод определения g оборотным маятником?
9. Выведите формулу для вычисления абсолютной и относительной погрешности измере- ния g в данной работе.

10. Что называется амплитудой, частотой и фазой колебания?
Литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1.
2. Сивухин Д.В. Курс общей физики. Т. 1.