Лаба 2 УГАТУ ЕНИОТД. Лабораторная работа №2. Лабораторная работа 2 Исследование Устойчивости линейных систем автоматического управления Цель работы
![]()
|
Лабораторная работа № 2 Исследование Устойчивости линейных систем автоматического управления 2.1. Цель работы Целью настоящей работы является изучение методов исследования и обеспечения устойчивости линейных систем автоматического управления. 2.2. Теоретическая часть 2.2.1. Основные понятия устойчивости линейных систем Устойчивость – это свойство динамической системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Приведенное понятие устойчивости определяет устойчивость установившегося режима системы. Поэтому можно дать следующее, более общее определение устойчивости: система устойчива, если ее выходная величина остается ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений [4]. ![]() Рис. 2.1. К понятию устойчивости системы На рис. 2.1 показаны типичные кривые переходных процессов в неустойчивой (а) и устойчивой (б) системах при импульсных возмущениях. Структурная схема замкнутой системы автоматического управления приведена на рис. 2.2, где ![]() ![]() ![]() Рис. 2.2. Структурная схема САУ Дифференциальное уравнение замкнутой системы ![]() передаточная функция ![]() где ![]() ![]() Тогда характеристическое уравнение системы ![]() Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы автоматического управления является отрицательность вещественных частей всех корней ее характеристического уравнения. Если изобразить корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости, то условие устойчивости линейной системы можно сформулировать еще так: условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения, т.е. полюсов передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоскости или, короче, все они должны быть левыми. В теории автоматического управления пользуются условиями, которые позволяют судить о расположении корней в левой полуплоскости без нахождения их значений. Эти условия называются критериями устойчивости. Существующие критерии устойчивости делятся на две группы: алгебраические и частотные критерии. 2.2.2. Алгебраические критерии устойчивости Условия устойчивости в алгебраических критериях сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. В разной форме алгебраический критерий Рауса-Гурвица был предложен английским математиком Е. Раусом, а затем швейцарским математиком А. Гурвицем в 19 веке. Приведем без доказательства этот критерий в форме Гурвица [4]. Возьмем характеристический полином, определяющий левую часть дифференциального уравнения системы, ![]() где полагаем ![]() ![]() ![]() Этот определитель называется определителем Гурвица. Он имеет ![]() ![]() ![]() В результате в главной диагонали определителя оказываются последовательно все коэффициенты кроме ![]() Условие устойчивости заключается в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров: ![]() ![]() Развернем критерий Гурвица для нескольких конкретных значений ![]() Для ![]() ![]() и условия устойчивости сводятся к неравенствам ![]() ![]() Для ![]() ![]() и условия устойчивости сводятся к неравенствам ![]() ![]() ![]() Для ![]() ![]() и условия устойчивости сводятся к неравенствам ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В общем случае системы ![]() Можно показать, что если выполнены все условия критерия Гурвица, кроме одного ![]() ![]() 2.2.3. Частотные критерии устойчивости Принцип аргумента. В основе частотных критериев устойчивости лежит известный в теории функций комплексного переменного принцип аргумента [2, 3]. Пусть дано алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами ![]() Многочлен ![]() ![]() где ![]() ![]() Положим ![]() ![]() Изменение аргумента комплексного числа ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() Таким образом, принцип аргумента формулируется следующим образом. Изменение аргумента ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Критерий Михайлова. Критерий устойчивости А.В. Михайлова, сформулированный им в 1938 г., является по существу геометрической интерпретацией принципа аргумента [2]. Пусть дано характеристическое уравнение системы ![]() Для того чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости, т.е. чтобы ![]() ![]() или ![]() Геометрическое место конца вектора ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда следует формулировка критерия устойчивости Михайлова. Система автоматического управления устойчива, если годограф ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() На рис. 2.3 показаны типичные годографы Михайлова для устойчивых систем, описываемых уравнениями от первого до пятого порядка. ![]() Рис. 2.3. Годографы Михайлова для устойчивых систем Критерий Найквиста. Этот критерий устойчивости был предложен Г. Найквистом (1932 г.) для исследования устойчивости усилителей с обратной связью [3]. Для исследования устойчивости замкнутой системы управления согласно этому критерию необходимо знать амплитудно-фазовую частотную характеристику (частотный годограф) разомкнутой системы, которую можно получить как аналитически, так и экспериментально. Пусть передаточная функция разомкнутой системы ![]() Подставляя в это выражение ![]() ![]() Если изменять частоту ![]() ![]() ![]() ![]() Амплитудно-фазовая характеристика симметрична относительно вещественной оси, поэтому обычно вычерчивают только ту часть ее, которая соответствует положительным частотам, а другая ее часть при отрицательных частотах может быть найдена как зеркальное отражение предыдущей части относительно вещественной оси. Разомкнутая система может быть устойчивой, неустойчивой и находиться на границе устойчивости. Общая формулировка критерия Найквиста охватывает все три случая. Для устойчивости замкнутой системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных и отрицательных переходов частотного годографа амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При этом переход считается положительным, если при возрастании ![]() Для систем, находящихся в разомкнутом состоянии на границе устойчивости с нулевыми корнями характеристического уравнения, число ![]() ![]() Если система автоматического управления в разомкнутом состоянии устойчива, т.е. ![]() ![]() ![]() Таким образом, для этого наиболее часто встречающегося на практике случая получаем следующую формулировку критерия Найквиста. Если разомкнутая система автоматического управления устойчива, то замкнутая система автоматического управления будет устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы ![]() ![]() ![]() Рис. 2.4. Годографы Найквиста 2.2.4. Запасы устойчивости. Логарифмический частотный критерий устойчивости Поскольку параметры системы определяют обычно приближенно, и в процессе работы они могут изменять свою величину, то важное значение имеет оценка удаления амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы ![]() ![]() Запас устойчивости по фазе определяют как величину угла ![]() ![]() ![]() Запас устойчивости по амплитуде определяют как величину отрезка оси абсцисс ![]() ![]() С ростом коэффициента усиления разомкнутой системы модуль амплитудно-фазовой характеристики также растет и при некотором значении коэффициента усиления ![]() ![]() ![]() Запасы устойчивости обычно определяют по логарифмическим частотным характеристикам (рис. 2.5, б). ![]() ![]() Рис. 2.5. Определение запасов устойчивости Логарифмический частотный критерий устойчивости. Из критерия Найквиста следует, что устойчивая в разомкнутом состоянии система, будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если сдвиг по фазе на частоте среза не достигает величины ![]() 2.2.5. Метод D-разбиения При исследовании устойчивости большое практическое значение имеет построение областей устойчивости в плоскости одного или нескольких параметров, влияние которых на устойчивость исследуют. Уравнение границ областей устойчивости можно находить, пользуясь любым критерием устойчивости. Однако чаще всего на практике применяют наиболее общий метод построения областей устойчивости, который был предложен Ю.И. Неймарком и назван им методом D-разбиения [2]. Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы n-порядка ![]() которое имеет n корней, расположение которых на комплексной плоскости корней p зависит от численных значений коэффициентов ![]() МетодомD-разбиением называют разбиение пространства параметров (или коэффициентов) на области с различным распределением корней характеристического уравнения. Области обозначаются через ![]() ![]() ![]() Предположим, что требуется выяснить влияние на устойчивость какого-либо параметра ![]() ![]() где ![]() ![]() Границы D-разбиения определяются уравнением ![]() так как границей между правой и левой полуплоскостями является мнимая ось, на которой ![]() ![]() Решая уравнение относительно ![]() ![]() При этом параметр ![]() ![]() Для построения границы D-разбиения на комплексной плоскости достаточно построить ее для положительных значений ![]() ![]() ![]() Рис. 2.6. D-разбиение по одному параметру Если при изменении ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для определения области ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Претендентом на область устойчивости является область, внутрь которой направлена штриховка. Чтобы установить, является ли эта область действительно областью устойчивости, необходимо задаться каким-либо значением ![]() ![]() ![]() Так как изменяемый параметр является вещественным числом, то из полученной области выделяют только отрезок устойчивости, т.е. отрезок вещественной оси, лежащий в области устойчивости, например отрезок АБ. 2.3. Задание 1. Изучить основные определения, необходимые и достаточные условия, критерии устойчивости линейных систем. 2. По заданной структурной схеме определить передаточную функцию замкнутой системы. Определить область устойчивости методом D-разбиения. 3. Провести моделирование заданной линейной системы. Используя алгебраические и частотные критерии устойчивости, определить устойчивость и запасы устойчивости. 2.4. Описание лабораторной установки Лабораторной установкой является ЦВМ IBM PC для проведения цифрового моделирования. Цифровое моделирование переходных процессов и частотных характеристик линейных систем автоматического управления производится с использованием пакетов Control и Simulink системы Matlab [6-8]. В этой работе исследуется влияние параметров системы автоматического управления на устойчивость и на показатели качества переходного процесса. Для исследования предлагается система автоматического управления летательного аппарата (ЛА) по углу крена ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 2.7. Функциональная схема САУ углом крена ЛА Звенья системы управления описываются следующими уравнениями: 1. Измерительное устройство – гировертикаль ![]() ![]() 2. Усилитель ![]() 3. Сервопривод ![]() 4. Летательный аппарат ![]() Параметры звеньев системы приведены в таблице.
В таблице даны значения всех параметров звеньев, кроме коэффициента передачи вычислителя ![]() ![]() Пример программы моделирования данной системы в пакете Control системы Matlab для случая единичных параметров звеньев приведен в приложении 2. Схема моделирования системы с использованием пакета Simulink системы Matlab для случая единичных параметров звеньев приведена на рис. 2.8. ![]() Рис. 2.8. Схема моделирования САУ углом крена ЛА Параметры летательного аппарата задаются с помощью блока Transfer Fcn2, параметры сервопривода – с помощью блока Transfer Fcn1, параметры усилителя – с помощью блока Transfer Fcn, параметры гировертикали – с помощью блока Transfer Fcn3. Входным сигналом САУ является единичное ступенчатое изме-нение ![]() ![]() 2.5. Порядок выполнения работы Задание 1. Изучение основных положений теории устойчивости линейных САУ 1. Изучить основные определения, необходимые и достаточные условия устойчивости. 2. Изучить критерии устойчивости линейных систем. 3. Изучить метод D-разбиения по одному параметру системы. Задание 2. Анализ устойчивости САУ углом крена ЛА 1. По дифференциальным уравнениям определить передаточные функции звеньев и передаточную функцию замкнутой системы. 2. Определить характеристическое уравнение замкнутой системы. 3. Построить границу D – разбиения в зависимости от коэффициента усиления ![]() 4. Выбрав значение ![]() Задание 3. Моделирование САУ углом крена ЛА 1. Составить программу моделирования САУ в пакете Control системы Matlab 2. Составить схему моделирования САУ в пакете SimuLink системы Matlab. 3. Определить устойчивость системы по критериям Михайлова, Найквиста, построить логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы и определить запасы устойчивости по амплитуде и по фазе. 4. Построить переходную функцию и определить показатели качества переходной функции при различных значениях коэффициента ![]() 2.6. Требования к отчету Отчет по работе должен содержать: 1. Цель работы; 2. Структурные схемы; 3. Результаты расчетов; 4. Результаты моделирования; 5. Выводы. По заданию 1 в отчёте приводятся функциональная и структурная схемы САУ, основные положения теории устойчивости систем. По заданию 2 в отчете приводятся результаты вывода передаточных функций, характеристическое уравнение системы и расчет коэффициента ![]() По заданию 3 в отчёте приводятся полученные графики частот-ных и временных характеристик системы, их анализ. 2.7. Контрольные вопросы 1. Как определяется передаточная функция замкнутой системы? 2. Дайте определение устойчивости системы автоматического управления. 3. Как определить характеристическое уравнение системы? 4. Как влияет расположение корней характеристического уравнения на устойчивость системы? 5. Как определить устойчивость системы по критерию Гурвица? 6. Как определить устойчивость линейных систем по частотным критериям? 7. Как определить запасы устойчивости по амплитуде и по фазе? 8. Как построить области устойчивости в плоскости одного параметра? 9. Как производят разметку областей устойчивости? |