ЛР2. Лабораторная работа 2 Изучение многоканальной замкнутой системы массового обслуживания
 Скачать 263.93 Kb.
|
|
3 Лабораторная работа № 2 Изучение многоканальной замкнутой системы массового обслуживания 2.1 Цель работы Изучение многоканальной замкнутой системы массового обслужива- ния с неограниченным временем ожидания требований в системе. Входной поток требований – простейший. Он наиболее полно соответствует реалиям жизни и характеризуется следующими особенностями: поступление требований в систему на обслуживание происходит по одному, то есть вероятность прибытия двух и более требований одновре- менно очень мала и ею можно пренебречь (поток требований ординарный); вероятность поступления последующих требований не зависит от вероятностей поступления предыдущих – поток требований без последей- ствия; поток требований стационарный. 2.2 Краткие сведения об объекте моделирования Функционирование многоканальной замкнутой системы массового об- служивания можно описать через все возможные ее состояния и интенсив- ности перехода из одного в другое. Основными параметрами функционирования СМО являются вероят- ности состояния системы, то есть вероятности наличия n требований (по- купателей, рабочих, заданий, машин, неполадок) в системе – n P . Так, веро- ятность 0 P характеризует состояние, когда в системе нет требований и все каналы обслуживания простаивают, 1 P – в системе находится только одно требование и т.д. Важным параметром функционирования системы массового обслужи- вания является также среднее число требований, находящихся в системе сист N (то есть в очереди и на обслуживании), и средняя длина очереди оч N Исходными параметрами, характеризующими СМО, являются: число кана- лов обслуживания N (касс, компьютеров, кранов, ремонтных бригад), число требований m (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок), интен- сивность поступления одного требования на обслуживание , интенсив- ность обслуживания требований Интенсивность поступления на обслуживание одного требования определяется как величина, обратная времени возвращения требования, – воз t : воз 1 t Интенсивность обслуживания требований определяется как величина, обратная времени обслуживания одного требования, – обс t 4 обс 1 t Представим все возможные состояния системы массового обслужива- ния в виде размеченного графа состояний (рис. 2.1). Каждый прямоуголь- ник графа определяет одно из возможных состояний, количественно оце- ниваемое вероятностью n P (наличие в системе n требований). Стрелочки указывают, в какое состояние система может перейти и с какой интенсив- ностью. При этом в многоканальной СМО необходимо различать два слу- чая: - число требований n , поступивших в систему, меньше числа каналов обслуживания N, то есть все они находятся на обслуживании 0 n < N; - число требований n , поступивших в систему, больше или равно чис- лу каналов обслуживания N, то есть N требований обслуживаются, а остальные r ожидают в очереди ( N m r , , 2 , 1 ). Рис. 2.1. Размеченный граф состояний многоканальной замкнутой СМО Первый прямоугольник с вероятностью 0 P определяет состояние си- стемы массового обслуживания, при котором все каналы простаивают из-за отсутствия требований в ней. Из этого положения СМО может перейти только в состояние 1 P , и тогда в ней появится одно требование, потому что входной поток требований – ординарный. С интенсивностью m система может перейти также из состояния 1 P , в состояние 0 P ; когда в системе находилось одно требование, оно было обслужено раньше, чем появилось новое. Из состояния 1 P система массового обслуживания может перейти с интенсивностью 1 m в состояние 2 P ; тогда в системе появятся два тре- бования. С интенсивностью 2 система может перейти также из состояния 2 P в состояние 1 P ; когда в системе находилось два требования, но одно из них было обслужено раньше, чем появилось новое, и т. д. Вначале рассмотрим установившийся режим работы системы массово- го обслуживания, когда основные вероятностные характеристики ее посто- Р 0 Р 1 Р n -1 Р n Р n+1 m ( m-1) … ( m-n+1) 2 2 (n-1) n (n+1) ( m- n ) … ( m-n - 1) (n+2) 0 n < N N n < m Р n -1 Р n Р n+1 … ( m-n+1) N N ( m- n ) … ( m-n - 1) Р m-1 Р m N N N 5 янны во времени, например в течение часа. В этом случае интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансирова- ны. Для случая, когда число требований n , поступивших в систему, мень- ше числа каналов обслуживания N, – 0 n < N: ) 1 ( 1 3 1 2 2 2 1 1 1 3 1 2 2 0 1 1 0 n P n m P n m n P P m P m P P m P m P P m P n n n Для случая, когда число требований n , поступивших в систему, боль- ше или равно числу каналов обслуживания N, – N n m: N P P N P n m P n m N P m m n n n 1 1 1 1 Обозначим величину как и раньше, через и назовем ее коэффици- ентом загрузки. Рассмотрим вначале первый случай, когда число требований, находя- щихся в системе, меньше числа каналов обслуживания – 0 n < N. Из первого уравнения можно найти значение 1 P : m P m P P 0 0 1 Из второго уравнения найдем значение 2 P : 2 2 1 2 0 1 1 2 m P m P P P Но m P P 0 1 – из первого уравнения, следовательно, первый и третий члены сокращаются: 2 1 2 1 2 0 1 2 m m P m P P Из третьего уравнения найдем значение 3 P : 3 1 3 2 3 2 1 2 2 3 m P m P P P 6 Но 2 1 1 2 m P P , следовательно, первый и третий члены сокращают- ся: 3 2 1 2 1 3 2 3 0 2 3 m m m P m P P и т. д. Аналогичные выражения можно получить и для других состояний. Анализируя полученные результаты, вычисляем рекуррентное выра- жение для определения вероятности состояния системы, когда число тре- бований, находящихся в системе n , меньше числа каналов обслуживания N : ! ! ! 2 1 1 1 1 0 0 1 n n m m P n n m m m P n n m P P n n n n Рассмотрим теперь второй случай, когда число требований, находя- щихся в системе, больше или равно числу каналов обслуживания – N n m . В этой ситуации рекуррентное выражение для определения веро- ятности состояния системы будет записано в таком виде: N n n n N N n m m P P ! ! ! 0 Используя очевидное равенство 1 n P от n = 0 до m , получим: 1 1 0 ! )! ( ! ! )! ( ! 1 N n m N n n m n n N N n m m n n m m P Допустим, что наша система имеет два канала обслуживания N = 2. Интенсивность поступления одного требования на обслуживание 6 раз в течение часа. Интенсивность обслуживания требований составляет 30. Число обслуживаемых машин m равно 5. Требуется определить вероятно- сти нахождения различного числа требований в системе: 393 , 0 0 P 393 , 0 2 , 0 5 4 , 0 0 1 m P P 157 , 0 2 2 , 0 4 4 , 0 2 1 1 2 m P P 047 , 0 2 2 , 0 3 16 , 0 2 2 2 3 m P P 0094 , 0 2 2 , 0 2 048 , 0 2 3 3 4 m P P 7 0094 , 0 2 2 , 0 0096 , 0 2 3 3 5 m P P Теперь рассмотрим неустановившийся режим работы СМО, когда ее основные вероятностные характеристики зависят от времени. В этом слу- чае интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы, но уже с учетом производных вероятностей. Таким образом, мы будем иметь систему обыкновенных дифференциальных урав- нений, описывающих функционирование одноканальной замкнутой систе- мы при неустановившемся режиме. Для составления системы обыкновенных дифференциальных уравне- ний, описывающей функционирование СМО с пуассоновским потоком, существует мнемоническое правило: • производная dt t dP n ) ( вероятности пребывания системы в состоянии n равна алгебраической сумме нескольких членов; • число членов этой суммы равно количеству стрелок на графе состоя- ний системы, соединяющих состояние n с другими; • если стрелка направлена в рассматриваемое состояние n , то член бе- рется со знаком «плюс»; • если стрелка направлена из рассматриваемого состояния n , то член берется со знаком «минус»; • каждый член суммы равен произведению вероятности того состоя- ния, из которого направлена стрелка, на интенсивность потока событий, переводящего систему по данной стрелке. В соответствии с размеченным графом состояний (рис. 2.1) эта систе- ма обыкновенных дифференциальных уравнений будет выглядеть так: • для случая, когда число требований n , поступивших в систему, меньше числа каналов обслуживания N , – 0 n < N : m t P t P dt t dP ) ( ) ( ) ( 0 1 0 1 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 1 2 0 1 m t P t P m t P dt t dP 2 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( ) ( 2 3 1 2 m t P t P m t P dt t dP …………………………………………………………. n m n t P n t P n m t P dt t dP n n n n ) ( ) 1 )( ( 1 ) ( ) ( 1 1 • для случая, когда число требований n , поступивших в систему, боль- ше или равно числу каналов обслуживания N , – N n m : 8 n m N t P N t P n m t P dt t dP n n n n ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 1 ………………………………………………………… ) ( ) ( ) ( 1 t P t P dt t dP m m m Как можно заметить, требуется большая вычислительная работа для определения основных параметров функционирования комплекта машин. Можно пойти, как и в предыдущей задаче, несколькими путями: • предварительный расчет 0 P для различного числа каналов обслужи- вания и для разнообразных значений коэффициента использования у (табл. 2.1); Табл. 2.1 – Значения коэффициента использования y Коэф. загр. Число требований, обслуживаемых системой, m 3 4 5 6 7 8 Вероятность простоя канала обслуживания 0 P для 2 K 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,45 0,50 0,8638 0,7510 0,6568 0,5774 0,5100 0,4524 0,3232 0,2909 0,8223 0,6820 0,5692 0,4778 0,4031 0,3417 0,2135 0,1836 0,7831 0,6186 0,4917 0,3927 0,3149 0,2535 0,1352 0,1105 0,7454 0,5602 0,4228 0,3197 0,2420 0,1835 0,0811 0,0622 0,7093 0,5066 0,3616 0,2574 0,1821 0,1287 0,0455 0,0386 0,6748 0,4566 0,3067 0,2036 0,1333 0,0868 0,0236 0,0156 • применение какого-либо языка высокого уровня; • использование системы Mathcad. 2.3 Порядок выполнения работы Ввод текста на всех этапах решения задачи будем осуществлять с по- мощью комбинации клавиш Shift+" (двойная кавычка), что позволит со- здать текстовую область. Введем на рабочем листе первый пункт расчета (рис. 2.2). Он будет выглядеть так: 1. Задание исходных данных. Последовательно введем исходные данные: := 30 := 6 m := 10 N := 2 Для решения задачи воспользуемся блоком функций Given ... Find. Для этого необходимо задать начальные приближения. Введем на рабочем листе второй пункт расчета (рис. 2.2). 2. Начальные приближения. 9 Последовательно введем начальные приближенные значения искомых параметров: 0 P := 0,25 1 P := 0,15 2 P := 0,15 3 P := 0,15 4 P := 0,15 5 P := 0,15 Введем на рабочем листе третий пункт расчета (рис. 2.2). 3. Запись системы уравнений, описывающей функционирование мно- гоканальной СМО. Рис. 2.2. Определение параметров функционирования многоканальной замкнутой СМО в системе Mathcad Вначале вводится ключевое слово Given (Дано), которое может быть напечатано прописными, строчными буквами или начинаться с прописной. Затем ниже вводится исходная система уравнений, а в заключение – вектор искомых величин. Для этого в поле рабочего листа (рисунок 2.2) определя- ем местоположение вектора. Если в окне выведена панель инструментов Math (Математика), щелкнем по кнопке с изображением матрицы. Появит- ся диалоговое окно Matrix (Матрица). Здесь щелкнем по кнопке с анало- гичным изображением или нажмем комбинацию клавиш Ctrl+M. В обоих случаях появится диалоговое окно Insert Matrix (Вставить матрицу). В его текстовых полях Rows (Строки) и Columns (Столбцы) вставим нужное число строк и столбцов, в нашей задаче 6 и 1 соответственно. После щелчка по кнопке ОК появится шаблон с метками для ввода ис- комых данных. Подводя курсор или указатель мыши к каждой из них, зада- дим искомые параметры, затем знак присваивания и имя встроенной функ- ции Find(P0,Pl,P2,P3,P4,P5). Выведем на рабочий лист четвертый пункт расчета (рис. 2.2). 4. Результаты решения. 10 Для получения результатов расчета искомых величин достаточно набрать имя нужного параметра и знак равенства, нажав соответствующую клавишу или щелкнув по кнопке со знаком равенства, расположенной в верхнем левом углу панели инструментов Evalu... (Вычисления) (рис. 2.2). Теперь рассмотрим неустановившийся режим работы СМО, когда ее основные вероятностные характеристики зависят от времени, например в течение 0,3 часа. В этом случае интенсивности входных и выходных пото- ков для каждого состояния будут сбалансированы, но уже с учетом произ- водных вероятностей. Таким образом, мы будем иметь систему обыкно- венных дифференциальных уравнений, описывающих функционирование одноканальной замкнутой системы при неустановившемся режиме. Для примера рассмотрим систему, в которой обслуживаются пять требований. Интенсивность поступления одного требования на обслуживание равна 3 в час, а интенсивность обслуживания в канале составляет 10 в час. Для случая, когда число требований n , поступивших в систему, мень- ше числа каналов обслуживания N , – 0 n < N : m t P t P dt t dP ) ( ) ( ) ( 0 1 0 1 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 1 2 0 1 m t P t P m t P dt t dP 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( ) ( 2 3 1 2 m t P t P m t P dt t dP …………………………………………………… n m t P n t P n m t P dt t dP n n n n ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( 1 1 Для случая, когда число требований n , поступивших в систему, больше или равно числу каналов обслуживания N , – N n m : n m N t P N t P n m t P dt t dP n n n n ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( 1 1 ………………………………………………………… ) ( ) ( ) ( 1 t P N t P dt t dP m m m На рис. 2.3 представлены начальные исходные данные и система диф- ференциальных уравнений, описывающая функционирование многока- нальной замкнутой СМО при неустановившемся режиме работы. На рис. 2.4 дано представление системы дифференциальных уравне- ний в виде, доступном для решения ее в Mathcad. По существу, здесь пока- заны правые части системы уравнений в виде вектора-столбца. Каждый его элемент определяет значение правой части соответствующего дифферен- циального уравнения на любом шаге интегрирования (решения). 11 Там же даны начальные значения искомых параметров в виде вектора- столбца. В нижней части рисунка определены начальное и конечное время интегрирования и число шагов решения системы дифференциальных урав- нений. Рис. 2.3 - Описание функционирования многоканальной замкнутой СМО при не- установившемся режиме Рис. 2.4 - Представление совокупности дифференциальных уравнений в виде, до- ступном для решения ее в системе Mathcad 12 На рис. 2.5 приводится решение системы дифференциальных уравне- ний многоканальной замкнутой СМО с использованием встроенной функ- ции rkfixed(P,to,t1,N,D), реализующей метод Рунге-Кутта с фиксирован- ным шагом. Рис. 2.5. Решение системы дифференциальных уравнений многоканальной замкнутой СМО Для вызова этой функции: - щелкните по пункту Insert (Вставка) главного меню, а затем по пункту Function (Функция) падающего меню или нажмите комбинацию клавиш Ctrl+E . Появится диалоговое окно Insert Function (Вставить функцию); - найдите в разделе Function Category (Категория функции) строку Dif- ferential Equation Solving (Решение дифференциального уравнения) и щелкните по ней левой кнопкой мыши. В правом поле в разделе Function Name (Имя функции) появится список функций для решения дифференци- альных уравнений; - найдите в списке функцию rkfixed и щелкните по ней мышью. После этого щелкните по кнопке ОК. В месте установки визира появится шаблон функции для решения системы уравнений методом Рунге-Кутта: Можно сразу найти функцию rkfixed в правом поле раздела Function Name, после чего щелкнуть мышью по ней, а затем по кнопке ОК, но это займет больше времени. В обоих случаях в нижних полях диалогового окна будет дано правильное обозначение выбранной функции со всеми аргумен- тами, а также краткое описание ее действий. На рис. 2.5 приведено графи- ческое решение системы дифференциальных уравнений для первых двух 13 искомых параметров, то есть представлено поведение параметров 0 P и 1 P – вероятности отсутствия требований и наличия в системе одного требования соответственно в зависимости от длительности процесса. На рис. 2.6 приведено графическое решение системы дифференциаль- ных уравнений для остальных четырех искомых параметров. Рис. 2.6. Результаты решения системы дифференциальных уравнений многоканальной замкнутой СМО Другими словами, представлено поведение искомых параметров 4 3 2 P , P , P и 5 P – вероятности наличия в системе двух, трех, четырех и пяти требований соответственно в зависимости от времени протекания процесса. Анализируя графическое решение системы обыкновенных дифферен- циальных уравнений, описывающей функционирование заданной многока- нальной замкнутой СМО, можно заметить, что примерно через 0,2 часа она переходит в установившийся режим работы. При этом значения вероятно- стей состояний режима paботы системы при решении совокупности обык- новенных дифференциальных уравнений практически полностью соответ- ствуют решению системы алгебраических уравнений для установившегося режима работы: 393 , 0 0 P 39 , 0 0 P 393 , 0 2 , 0 5 393 , 0 0 1 m P P 39 , 0 1 P 14 157 , 0 2 2 , 0 4 393 , 0 2 1 1 2 m P P 16 , 0 2 P 047 , 0 2 2 , 0 3 16 , 0 2 2 2 3 m P P 048 , 0 3 P 0094 , 0 2 2 , 0 2 048 , 0 2 3 3 4 m P P 01 , 0 4 P 00094 , 0 2 2 , 0 0096 , 0 2 3 3 5 m P P 001 , 0 5 P На рис. 2.7 представлен фрагмент результатов решения системы обык- новенных дифференциальных уравнений в численном виде. Рис. 2.7. Фрагмент результатов решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений в численном виде для многоканальной замкнутой СМО |