лабораторная 5. лаба 5.1 Олег С.. Лабораторная работа 5. 1 Изучение свободных колебаний в электрическом контуре садыкбаев Олег Станиславович Группа мо15

• Название: Лабораторная работа 5. 1 Изучение свободных колебаний в электрическом контуре садыкбаев Олег Станиславович Группа мо15
• Анкор: лабораторная 5.1
• Дата: 07.02.2022
• Размер: 1.09 Mb.
• Имя файла: лаба 5.1 Олег С..docx
• Тип: Лабораторная работа; #354138

Кафедра Физики

Лабораторная работа №5.1

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ

Выполнил: Садыкбаев Олег Станиславович

Группа:МО-15

Проверил: Черевко Александр Григорьевич

Измерения сняты

Дата, роспись преподавателя

Отчёт принят

Дата, роспись преподавателя

Работа зачтена

Оценка, дата, роспись преподавателя

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Исследуемый контур состоит из конденсатора электроемкостью С, катушки с индуктивностью L и резистора, имеющего сопротивление R. Схема соединения элементов электрической цепи приведена на рисунке 1.


Рис. 1 Схема реального колебательного контура
Простой контур, который здесь рассматривается, является электрической цепью со сосредоточенными параметрами. Это означает, что электроемкость С сосредоточена в одном месте (конденсаторе), а индуктивность L и сопротивление R - в других местах контура (в катушке и в резисторе). Электрическими колебаниями в таком случае выступают повторяющиеся изменения электрических величин, характеризующих процессы в элементах контура. В конденсаторе, например, изменяются со временем следующие величины: заряд q и напряжение между обкладками 𝑈_с а также характеристики электрического поля конденсатора.

Электрические колебания (процессы) происходят во всех элементах цепи согласованно. А именно так, что мгновенные значения силы тока I одни и те же в любом месте контура.

Подобное имеет место в цепи постоянного (стационарного) тока.

Поэтому электрические процессы в колебательном контуре называются квазистационарными («квази»- приставка, означающая «якобы, как будто»). Квазистационарные процессы также подчиняются закону Ома, что и постоянный ток.

Для математического описания электрических процессов в контуре применим 2 правило Кирхгофа: «Сумма падений напряжения в контуре равна сумме действующих в нем ЭДС». В колебательном контуре имеются два

𝑞

падения напряжения: на конденсаторе ^𝑈_с, равное _𝐶, и на сопротивлении, равное IR. При изменении силы тока в контуре в катушке индуктивности возникает ЭДС самоиндукции.

(1)

Сила тока по определению связана с зарядом конденсатора соотношением:

𝑑𝑞

𝐼 = _или 𝐼 = 𝑞′ - так обозначается производная по времени.

𝑑𝑡

Подставив выражения для тока i и напряжения ^𝑈_с в формулу (1), получим дифференциальное уравнение в виде:



Разделим уравнение на коэффициент при старшей производной (индуктивность катушки) и введем обозначения:



После введения обозначений дифференциальное уравнение затухающих колебаний в контуре принимает вид:



(2)

Функция



(3)



является решением дифференциального уравнения (2) и называется уравнением затухающих колебаний заряда конденсатора. Циклическая частота затухающих колебаний



(4)

Амплитуда заряда на конденсаторе убывает со временем по экспоненциальному закону:

(5)

Быстрота убывания определяется величиной β, которую называют коэффициентом затухания.



Так как 𝜔 есть действительное число и 𝜔² не может быть отрицательным, то затухающие колебания имеют место только при условии (см.4):



(7)

Наконец, постоянные величины 𝑞₀ и ^𝜑₀ определяются начальными условиями. Если, например, вначале при разомкнутом контуре конденсатор заряжен (^𝑞₀- величины заряда), а потом соединен с катушкой и резистором, то начальная фаза колебаний равна нулю, то есть ^𝜑₀=0. На рисунке 2 показаны графики затухающих колебаний в одном электрическом контуре при двух значениях коэффициента затухания. Причем, 𝛽₂ > 𝛽₁, а величины

𝑞₀и ^𝜑₀ одинаковы. Пунктиром изображена зависимость амплитуды заряда 𝑞_𝑚 от времени. Эта зависимость называется экспоненциальной.



Рис. 2 Графики затухающих колебаний заряда с разными коэффициентами затуханий

Теперь обратим внимание на такие особенности колебательного процесса с затуханием, которые на рисунке заметить нельзя. Для этого найдем уравнение колебаний тока в контуре, приняв уравнение колебаний заряда в виде 𝑞₀𝑒^−𝛽𝑡 cos 𝜔𝑡. Так как 𝐼 = 𝑞′, то после дифференцирования получим:



Записав слагаемое 𝜔 sin 𝜔𝑡 как и складывая оба

слагаемых выражения в скобках с помощью векторной диаграммы, получим уравнение колебаний тока в виде:

(6)

Полученный результат приводит к следующим заключениям:

1. 
   Амплитуда тока в начальный момент времени 𝐼₀ = 𝜔₀𝑞₀ не зависит от характеристик затухания.
   
2. 
   В контурах с малым сопротивлением R и достаточно большой частотой 𝜔 реализуется неравенство: 𝛽 ≪ 𝜔. Это случай слабого затухания, величина сдвига фаз Ψ стремится к ^𝜋) . Затухание влияет на частоту 𝜔 только во втором порядке.
   

Полученная ранее формула (4) позволяет рассчитать относительную разницу величин 𝜔₀и 𝜔 с помощью соотношения:



В результате при СЛАБОМ ЗАТУХАНИИ уравнения колебаний заряда и тока можно приближенно записать так:






Отметим, что период колебаний определяется в этом случае известной формулой Томсона:

Точное же значение периода затухающих колебаний (в соответствии с формулой (4)) равно



Вернемся еще раз к экспоненциальной зависимости 𝑞_𝑚 = 𝑞₀𝑒^−𝛽𝑡, изображенной на рис. 2, чтобы рассказать о других важных характеристиках затухающих колебаний и дать им физическое объяснение.

Непрерывное рассеяние энергии на сопротивлении приводит к тому, что наибольший заряд конденсатора уменьшается с каждым периодом колебаний, именно: q_m(0) > q_m(T) > q_m(2T) > ...q_m(NT) > ...,

N - число колебаний. Эти амплитуды колебаний образуют убывающую геометрическую прогрессию. А это означает, что отношение величины каждого максимума 𝑞_𝑚(𝑡)к последующему 𝑞_𝑚( t+T) одинаково. Безразмерная величина, равная натуральному логарифму отношения амплитудных значений, отстоящих по времени на период колебания, называется логарифмическим декрементом затухания:

(10)

С логарифмическим декрементом затухания связана (обратно пропорциональной зависимостью) еще одна характеристика затухающих колебаний - добротность Q. (Не путать с зарядом q!). В случае слабого затухания добротность определяется следующим образом:

то есть, чем меньше затухание, тем больше добротность.

Для того, чтобы выявить смысл характеристик затухания, введем понятие времени релаксации 𝜏. Это такой промежуток времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз (е2,72- основание натуральных логарифмов).

Заменив t на  в выражении ,получим

откуда:



То есть коэффициент затухания 𝛽 - это величина, обратная времени _{релаксации} 𝜏.

Связь коэффициента затухания и логарифмического декремента получают из формулы определения последнего (10):





(13)

где Т- период колебаний.

В случае слабого затухания можно выразить логарифмический декремент затухания через параметры контура



(14)

В качестве меры затухания можно использовать также число 𝑁_𝑒- число колебаний, совершающихся в контуре за время, равное времени релаксации 𝜏. При малом затухании время 𝜏 больше периода колебаний. Поэтому имеем: так



(15)

(16)

Таким образом, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в 𝑒 раз. Добротность же прямо пропорциональная числу 𝑁_𝑒.

Исходя из формул (14) и (16), можно получить формулу зависимости добротности от параметров контура при слабом затухании:


Полная картина поведения электрического контура не ограничивается только затухающими колебаниями. В контуре с сильным затуханием (большим сопротивлением R) колебаний заряда нет, есть только монотонное убывание с течением времени. Не будем рассматривать соответствующие решения дифференциального уравнения (2). Заметим только, что специальный случай «критического затухания» имеет место при сопротивлении R, равном L величину 𝑅_кр называют критическим сопротивлением контура.

Эта последняя формула подтверждает общую особенность, выражающуюся в том, что все рассмотренные выше характеристики процессов в колебательном контуре имеют связи с численными значениями параметров контура R, L и С. Исследования, проводимые в этой работе, имеют целью проверить некоторые из них.

3. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Электрическая цепь собрана по схеме, изображенной на рис. 1. Колебания возбуждаются в контуре благодаря зарядке конденсатора от источника однополупериодного переменного тока с частотой 50 Гц. Затухающие колебания напряжения 𝑈_с на конденсаторе подаются на клеммы вертикального усиления осциллографа (рис. 3). При этом частоту развертки электрического сигнала осциллографом устанавливают примерно такой же, что и частота зарядки С.

В качестве элементов колебательного контура используются наборы конденсаторов, катушек индуктивности и сопротивлений (резисторов). Присоединение каждого элемента набора производится с помощью кнопочного выключателя. Для включения элементов R, L, С в цепь контура нужно нажать соответствующие кнопки и зафиксировать их в «утопленном состоянии».

Рис.3 Электрическая схема установки

Рис. 4 Затухающие колебания на экране осциллографа

Значения сопротивления R, электроемкости С и индуктивности L для каждого положения кнопочных выключателей составляют отдельную таблицу. Таблица выдается на рабочее место при выполнении работы. Основные измерения проводятся с помощью осциллографа. Осциллограмма напряжения 𝑈_𝑐 выглядит так, как показано на рис. 4, то есть подобна графику колебаний

𝑞 заряда на конденсаторе на рис. 2 ( ). По горизонтальной оси отложено время t, по вертикальной оси отложено напряжение на конденсаторе U_c. Время по горизонтальной оси можно рассчитать. Для этого поверх экрана нанесена прямоугольная сетка, калиброванная в единицах времени (мс или мкс). Назовем временную длительность одного квадрата сетки по горизонтали ценой деления развертки и обозначим ее 𝛾. Для более точного измерения каждое деление «разделено» на доли по 0,2 (это указано на сетке). Тогда время t, в течение которого происходят N колебаний, будет равно t=n, где n- число квадратов сетки, в пределах которых укладываются эти N колебаний. На рис. 4 видно, что для N=6, то есть для шести периодов Т, число n равно 6,7. Величину 𝛾 отсчитывают непосредственно на панели осциллографа. Отсчёт числа полных колебаний удобно проводить по амплитудным (максимальным) значениям напряжениям. Начало отсчёта «0». На рис. 4 переключатель развертки по горизонтали указывает 0,1. Справа от переключателя нажата кнопка ms, значит, цена деления γ равна 0,1 мс. Отсчитываем шесть полных колебаний (N=6). На экране осциллографа время шести колебаний соответствует n=6,7 делениям. Тогда t = n* γ= 0,67 мс. Время одного колебания, то есть период 𝑡 0. колебания 𝑇 = t/N = 0,116 мс.

Важным параметром затухающих колебаний является время релаксации . За это время амплитуда колебания уменьшается в «е» раз (е=2,72 – основание натурального логарифма). Амплитуду напряжения можно измерять в делениях (одно деление – это сторона квадрата сетки на экране осциллографа по вертикали). Цена деления в данном случае для наших рассмотрений не важна. Важно, чтобы формат изображения был удобен для рассмотрений. На рис. 4 амплитуда напряжения U_m0 = 4 деления. Амплитуда через время релаксации ( = 1,48) U_m = 1,48 деления. Осциллограмма показывает, что уменьшение амплитуды в «е» раз произошло за время 𝜏 = 𝛾𝑛 = 0,1 4,4 = 0,44 мс.

Задание №1





Задание №2

C, нФ	L, мГн	N	n	γ, мкс/дел	t, мкс	, мкс	, мкс	, мкс
10,04	19,1	11	10	100	1000	90,91	13,85	87,01
15,1	19,1	9	10	100	1000	111,11	16,98	106,71
20	19,1	7	9	100	900	128,57	19,55	122,80
25,1	19,1	7	10	100	1000	142,86	21,90	137,57
30,1	19,1	7	11	100	1100	158,57	23,98	150,65
36,2	19,1	3	5	100	500	166,67	26,3	165,22

Задание №3

, мГн, нФ

, Ом	N	, дел	, дел
21,22	22	3	1	0,0499	0,0682	62,96	46,05
43,82	14	2	0,5	0,0990	0,1408	31,73	22,30
75,82	7	3,5	1	0,1790	0,2437	17,55	12,89
130,12	4	3.5	1	0,3132	0,4183	10,03	7,51
232,22	2	3.2	0.8	0,6932	0,7465	4,53	4,21

Контрольные вопросы

1)Возьмём за скорость сигнала – скорость света.

t = s/v; s = 0.1 (м), v = 3 * 10^8 (м/с);

t = 0.1/3*10^8 = 3.33*10^-10 (c) = 0.33 (нс);
MaxЧастота = 1/t*2 = 1500000015 (Гц) = 1,5 (ГГц);
2)Закон Ома, Кирхгофа. Законы о магнитной индукции катушки. Законы о напряжённости поля, о ёмкости, да и вообще многие законы электромагнитных полей и электрических контуров.

3)Там присутствует ещё одно слагаемое , – коэффициент затухания. Он равен , то есть отличие заключается в наличие активного сопротивления.

4)Как я понимаю от коэффициента затухания и частоты затухания, то есть от

и , но частота затухания равна , только в случае слабого затухания, потому что при нём, добротность высока и частота затухания практически равна частоте без сопротивления.


5) Это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Чем больше сопротивление контура, тем быстрее будет убывать энергия, а следовательно амплитуда колебаний и время релаксации.

6)Как я понимаю уменьшение амплитуды колебаний. Логарифмический декремент затухания есть величина, обратная времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

7)В случае слабого затухания вот такая

8)

а)При слабом затухании , при сильном затухании частота затуханий уже сильно отлична от частоты колебаний в идеальных условиях по этому там добавятся ещё переменные.

б)В случае слабого затухания

Больше ,больше и R это очевидно ведь увеличивается емкость и индуктивность что увеличивает кол-во энергии свободных колебаний.

Чем больше R тем больше логарифмический декремент затухания, тоже логично, ведь чем больше активное сопротивление контура, тем быстрее убывает энергия контура, а значит быстрее затухают колебания, а значит повышается логарифмический декремент затухания.

Задача



Вывод:

Значения ёмкости и индуктивности сильно влияют на период колебаний в случае малого сопротивления по закону

В случае слабого затухания зависимость логарифмического декремента затухания от R это прямая зависимость.