Лабораторная работа 7. Лабораторная работа 7 импульсные и переходные характеристики пассивных четырехполюсников
 Скачать 307.73 Kb.
|
|
3. Лабораторная работа № 7 ИМПУЛЬСНЫЕ И ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПАССИВНЫХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ 3.1. Основные сведения Понятия переходной и импульсной характеристик тесно связаны с представлением электрической цепи как четырехполюсника. Четырехполюсником (ЧП) называют электрическую цепь, имеющую две пары полюсов (зажимов, служащих для подключения к другим цепям). Графически ЧП изображают (если неизвестна его внутренняя структура) в виде прямоугольника с двумя парами полюсов (рис. 3.1). Левую пару полюсов, как правило, используют для подключения источника энергии (источника сигнала) и называют входом ЧП, а к правой паре полюсов (называемой выходом ЧП) подключают нагрузку. Понятие «четырехполюсника» широко используется при анализе передаточных свойств и синтезе электрических фильтров, усилителей, а также любых линейных систем (по принципу «черного ящика»). При анализе характеристик ЧП во временной области в качестве независимого источника e(t) используют источники, описываемые специальными функциями: единичная функция (или функция Хевисайда) и δ-функция (или функция Дирака). Функция Хевисайда (график функции приведен на рис. 3.2, а) описывается выражением 0 , 1 , 0 , 0 ) ( 1 ) ( t t t t или , 1 , , 0 ) ( 1 ) ( i i i i t t t t t t t t (3.1) Используя выражение (3.1), можно получить математическое описание прямоугольного импульса (рис. 3.2, б) – сигнала, часто используемого в качестве входного воздействия при анализе ЭЦ: )] ( 1 ) ( 1 [ ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 2 1 и и t t t A t t A t A t e t e t e , (3.2) где A – амплитуда, а t и – длительность импульса. Пусть функция f tи (t) = [1(t) – 1(t-t и )]/t и описывает прямоугольный импульс, амплитуда которого равна A = 1/t и , а длительность – t и (рис. 3.2, в). Очевидно, что площадь под этим импульсом всегда равна ЧП Рис. 3.1 2 единице при любой длительности импульса. Предел последовательности функций f tи (t) при t и → 0 носит название δ-функции: ) ( ) ( lim 0 t t f и и t t (3.3) Функция Дирака равна нулю для всех значений аргумента , 0 t а при 0 t является бесконечно большой: 0 , 0 , 0 , ) ( t t t или , 0 , , ) ( i i i t t t t t t (3.4) Другое условие, определяющее δ-функцию, состоит в том, что 1 ) ( dt t , (3.5) т.е. площадь под δ-функцией равна единице. Функция Дирака обладает еще одним важным, так называемым фильтрующем свойством: ) ( ) ( ) ( 0 0 t dt t t t , (3.6) где φ(t) – произвольная гладкая функция. Переходной характеристикой h(t) цепи называют отклик цепи (при нулевых начальных условиях) на воздействие в виде единичной функции. Переходную характеристику цепи можно рассматривать как частный случай переходного процесса в цепи при скачкообразном изменении параметра (амплитуды) источника сигнала. Импульсной характеристикой g(t) цепи называют ее отклик на воздействие в виде δ-функции. 3.1.1. Переходная и импульсная характеристика электрических цепей 1-го порядка e(t) -A - 1(t-t И ) 1(t) t t t 0 0 0 A A t И t f tи (t) 0 1/t и t И 1(t) t 0 1 a б в Рис. 3.2 3 Пусть в RC-цепи имеется внешний независимый источник напряжения e(t). Используя уравнения элементов цепи (1.2) и законы Кирхгофа, получаем дифференциальное уравнение цепи (рис. 3.3, а) ) ( 1 ) ( 1 ) ( t e RC t u RC dt t du c c (3.7) Считая, что выходное напряжение U вых снимается с емкости (рис. 3.3, а), найдем напряжение u C (t). Решая уравнение (3.7) методом интегрирующего множителя, получаем t t t t C dt t e e RC e U t u 0 / ) ' ( / 0 ' ) ' ( 1 ) ( , (3.8) где τ = RC – постоянная времени RC-цепи. Выражение (3.8) содержит две составляющие: первая составляющая определяет процесс разряда емкости от начального напряжения U 0 , т.е. является свободной составляющей, вторая (вынужденная) составляющая не зависит от начальной зарядки емкости и определяется только источником e(t). В дальнейшем будем считать, что U 0 = 0, тогда t t t C dt t e e RC t u 0 / ) ' ( ' ) ' ( 1 ) ( (3.9) Если обозначить функцию ) ( 1 / t g e RC t , то (3.9) можно записать в виде t C dt t e t t g t u 0 ' ) ' ( ) ' ( ) ( (3.10) Интеграл вида (3.10) называется интегралом свертки функций e(t) и g(t), а функция g(t), определяемая только параметрами и видом цепи, является импульсной характеристикой цепи (рис. 3.3, а). В самом деле, если на входе данной цепи действует независимый источник e(t) = δ(t), то в силу фильтрующих свойств δ-функции (3.6) из (3.10) следует а U вых U вых б Рис. 3.3 4 u C (t) = g(t), т.е. реакция цепи на δ-функцию есть функция g(t), которая по определению и является импульсной характеристикой цепи. Из (3.9) найдем выходное напряжение цепи (рис. 3.3, а), если на ее входе действует единичная функция e(t) = 1(t): / 0 / ' / 0 / ) ' ( 1 ' 1 ' ) ' ( 1 1 ) ( t t t t t t t C e dt e e RC dt t e RC t u (3.11) По определению отклик цепи на единичную функцию 1(t) является переходной характеристикой цепи, т.е. для электрической цепи (3.3, а) / 1 ) ( t e t h (3.12) Из (3.10) и (3.11) следует, что t t dt t t g dt t t t g t h 0 0 ' ) ' ( ' ) ' ( 1 ) ' ( ) ( Сделав замену переменных t - t’ = x, получим t dx x g t h 0 ) ( ) ( , т.е. переходная характеристика цепи есть интеграл от ее импульсной характеристики, и наоборот, импульсная характеристика есть производная от переходной характеристики: dt t dh t g / ) ( ) ( Частотный коэффициент передачи K(jω) цепи и импульсная характеристика g(t) связаны между собой прямым и обратным преобразованиями Фурье. Следовательно, зная импульсную характеристику, можно найти K(jω) и, если известна передаточная функция K(jω), можно определить импульсную характеристику цепи: dt e t g j K t j ) ( ) ( , d e j K t g t j ) ( 2 1 ) ( (3.13) Эпюры импульсной g(t) и переходной h(t) характеристик рассматриваемой ЭЦ, а также амплитудно-частотная характеристика цепи (модуль частотного коэффициента передачи) представлены на рис. 3.4. Из рис. 3.4, б видно, что интегрирующую RC-цепочку в частотной области можно характеризовать как фильтр нижних частот, причем граничная частота пропускания по уровню 0,707 f г = 1/τ. Дифференцирующая RС-цепь, представленная на рис. 3.3, б, является фильтром верхних частот с граничной частотой пропускания f г = 1/τ. Чтобы найти переходную характеристику дифференцирующей RC-цепочки, определим ток, протекающий в цепи при e(t) = 1(t): / 1 ) ( ) ( ) ( t C C R e R dt t du C t i t i . Учитывая, что U вых = u R (t), получаем: 5 / ) ( ) ( t R e t i R t h и / 1 ) ( ) ( ) ( t e t dt t dh t g (3.14) Импульсная и переходная характеристики LR-цепи (рис. 3.5) аналогичны рассмотренным выше характеристикам RC-цепи. Интегрирующая LR-цепь (рис. 3.5, а) является фильтром нижних частот, а дифференцирующая LR-цепь (рис. 3.5, б) – фильтром верхних частот. Постоянная времени LR-цепи равна τ = L/R. 3.1.2. Переходная и импульсная характеристики электрических цепей 2-го порядка Рассмотрим RLC-цепь, представленную на рис. 3.6 в виде четырехполюсника. Используя законы Кирхгофа и уравнения элементов цепи (i R = i L = i C ; u R + u L + u C = e(t); u R = Ri R ; u L = Ldi L /dt; i C = Cdu C /dt), составляем систему уравнений этой цепи: ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( t i dt t du C t e t u t Ri dt t di L L C C L L (3.15) Продифференцировав второе уравнение, из первого получим дифференциальное уравнение цепи относительно выходного напряжения: ) ( 1 1 ) ( 2 2 t e LC u LC dt du L R dt t u d C C C (3.16) f г =1/τ f 1 0,707 ) ( j K 0 1/τ 1 g(t) h(t) t t 0 0 а б Рис. 3.4 Рис. 3.6 U вых U вых U вых а б Рис. 3.5 6 Пусть e(t) = E 0 ·1(t), тогда переходную характеристику h(t) = u C (t) находим как решение дифференциального уравнения (3.17) при нулевых начальных условиях (3.18) и E 0 = 1: ; 0 , 1 1 ) ( 0 2 2 t E LC u LC dt du L R dt t u d C C C (3.17) 0 ) ( , 0 ) 0 ( o t C C dt t du C u (3.18) Решение неоднородного уравнения (3.17) найдем в виде суммы свободной и принужденной составляющих (см. разделы 1 и 2): 0 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 E e A e A t u t u t u t p t p C Cсс C пр (3.19) Из начальных условий имеем: , ; ; 0 ; 0 0 2 1 1 2 0 2 1 2 1 2 2 1 1 0 2 1 E p p p A E p p p A C A p C A p E A A где p 1 , p 2 – корни (2.7) характеристического уравнения цепи (2.6); 2 2 0 2 0 2 2 , 1 ; / 1 ; 2 / ; cв LC L R p Тогда решение дифференциального уравнения (3.17), удовлетворяющее начальным условиям (3.18), можно записать в виде ) ( ) ( 2 1 1 2 2 1 0 0 t p t p C e p e p p p E E t u или (3.20) ) ( 1 1 ) ( 2 1 1 2 2 1 t p t p e p e p p p t h (3.21) Характер переходной характеристики рассматриваемого четырехполюсника определяется добротностью цепи Q = ρ/R = ω 0 /2δ и имеет апериодический (Q < 0,5) или колебательный (Q > 0,5) вид. Графики переходной характеристики показаны на рис. 3.7. Импульсную характеристику цепи найдем как производную от переходной характеристики (3.21): Q=0,4 h(t) h(t) t t 1 1 0 0 Рис. 3.7 Q=100 Q=10 а б 7 ). ( ) ( 1 ) ( 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 t p t p t p t p e e p p p p e p p e p p p p t g (3.22) Подставляя в (3.22) значения p 1 и p 2 , получаем t sh e e e e t g cв t cв t t t cв cв cв 2 0 2 0 2 ) ( При вещественных различных корнях p 1 и p 2 (Q<0,5) импульсная характеристика содержит два экспоненциальных члена (3.24), а при комплексно-сопряженных корнях (2.12) св j p 2 , 1 (Q>0,5) импульсная характеристика имеет вид t e t g св t св sin ) ( 2 0 (3.23) Графики импульсной характеристики показаны на рис. 3.8. 3.2. Подготовка к работе Изучить материал рассматриваемой темы, используя конспект лекций, методические указания к лабораторной работе и раздел 6.6 учебника [1]. Проверить степень усвоения материала, ответив на контрольные вопросы. Используя исходные данные, приведенные в табл. 2.1 (лабораторная работа № 6), рассчитать характеристическое сопротивление ρ и резонансную частоту ω 0 RLC-контура (рис. 3.6). Рассчитать сопротивление контура R, коэффициент затухания δ и корни характеристического уравнения p 1,2 при добротности Q, равной 0,4, 10 и 150. Рассчитать ω св при Q = 150. Записать выражения для импульсной характеристики g(t) при Q, равной 0,4 и 150. Контрольные вопросы 1. Какая электрическая цепь называется четырехполюсником? 2. Дайте определение единичной функции и δ-функции. 3. Что называется переходной (импульсной) характеристикой? t g(t) g(t) g(t) g(t) g(t) t g(t) t g(t) 0 g(t) 0 g(t) 0 g(t) а g(t) б g(t) в g(t) Рис. 3.8 g(t) Q=100 g(t) Q=0,4 g(t) Q=10 g(t) 8 4. Как связана импульсная характеристика с комплексной частотной характеристикой (частотным коэффициентом передачи)? 5. Как связаны между собой импульсная и переходная характеристики? 6. Как записываются переходная и импульсная характеристики интегрирующей (дифференцирующей) цепи? 7. Как зависит переходная (импульсная) характеристика последовательного контура от добротности Q? 3.3. Программа работы Для получения в среде Micro-Cap импульсной и переходной характеристик исследуемых схем рекомендуется в качестве источника сигнала четырехполюсника использовать источник импульсного напряжения Pulse Source. При исследовании переходных характеристик необходимо задать имя модели - <SQUARE>, амплитуду импульса (VONE) – 1 В, начало импульса P1=P2=0, длительность вершины импульса (P3=P4) установить в пределах (3…5)*τ для цепей 1-го порядка и (3…5)*δ – для RLC-цепи, а период повторения P5=2*P4. Время анализа в режиме Transient (Time Range) выбрать равным P4. При исследовании импульсных характеристик рекомендуется использовать модель (MODEL) IMPULSE, которая является приближенной моделью δ-импульса с единичной площадью импульса. Для удобства наблюдения импульсной характеристики в рабочем окне режима анализа Transient необходимо сдвинуть δ-импульс вправо по оси времени, например, на 100 нс. Для этого задать следующие параметры импульса: P1=P2=100n; P3=P4=101n, а период повторения P5 принять равным 10*τ (или 10*δ – для RLC-цепи). 1. По заданию преподавателя собрать одну из схем интегрирующей цепочки (RC или RL). Значение емкости (или индуктивности) выбрать из табл. 2.1, значение сопротивления задает преподаватель. В режиме анализа Transient построить импульсную и переходную характеристики. Измерить длительность переходного процесса на выходе цепи τ ф по уровням 0,1 и 0,9 и, рассчитав постоянную времени цепи τ, определить отношение τ ф /τ. Измерить амплитуду и длительность (по уровням 0,1 и 0,9 от амплитуды) импульсной характеристики. Сравнить значение измеренной амплитуды импульсной характеристики с расчетным значением 1/τ. Используя режим Stepping, исследовать влияние параметров элементов цепи на импульсную и переходную характеристики. 9 В режиме AC построить АЧХ и ФЧХ исследуемого четырехполюсника. Измерить граничную частоту пропускания f г по уровню 0,707 и фазовый сдвиг на частоте f г . Сравнить полученное значение f г с расчетной частотой f г =1/τ. 2. По заданию преподавателя собрать одну из схем дифференцирующей цепочки (RC или RL). Получить импульсную и переходную характеристики цепи. Рекомендуется при анализе импульсной характеристики дифференцирующей цепи вручную установить требуемый масштаб графика g(t) по оси ординат. Исследовать влияние параметров элементов цепи на характер импульсной и переходной характеристик. Построить АЧХ и ФЧХ дифференцирующей цепочки, провести измерения, предусмотренные п.1. 3. Собрать схему, приведенную на рис. 3.7. Построить импульсную и переходную характеристики цепи при добротности Q = 0,4; 10 и 150. Отметить и объяснить характер процессов при различной добротности цепи. При Q = 150 измерить период T св свободных колебаний и, вычислив частоту свободных колебаний (ω св =2π/T св ), сравнить с расчетным значением ω св В режиме AC построить АЧХ и ФЧХ четырехполюсника при заданных значениях добротности контура (0,4, 10 и 100). Провести анализ характера частотных характеристик при различной добротности контура. 4. Изменить конфигурацию RLC-цепи так, чтобы U вых = U L (рис. 3.9). Повторить исследования, указанные в п. 3. Отметить различия в характеристиках четырехполюсников (рис. 3.6 и рис. 3.9). Содержание отчета В отчете о лабораторной работе должны быть представлены: - принципиальные схемы исследуемых ЭЦ и расчет заданных параметров ЭЦ; - результаты моделирования ЭЦ с анализом полученных результатов по каждому пункту проведенных исследований. U вых Рис. 3.9 |