Лабораторная работа Математические модели свободного и ограничен. Лабораторная работа. Модели свободного и ограниченного роста популяций Цели Научиться составлять и решать дифференциальные уравнения при моделировании процессов изменения численности популяций

• Название: Лабораторная работа. Модели свободного и ограниченного роста популяций Цели Научиться составлять и решать дифференциальные уравнения при моделировании процессов изменения численности популяций
• Дата: 09.10.2020
• Размер: 471.82 Kb.
• Имя файла: Лабораторная работа Математические модели свободного и ограничен.pdf
• Тип: Лабораторная работа; #142017

1
Лабораторная работа. «МОДЕЛИ СВОБОДНОГО И
ОГРАНИЧЕННОГО РОСТА ПОПУЛЯЦИЙ»
Цели:
1. Научиться составлять и решать дифференциальные уравнения при моделировании процессов изменения численности популяций.
2. Проводить анализ полученных решений, графически представлять результаты.
1. Постановка задачи
В начальный момент времени
0
t
количественный состав некоторого биологического вида равен
0
N
единиц. Требуется сделать прогноз численности
 
t
N
данной популяции при
0
t
t 
для двух случаев:
 относительный темп прироста популяции не зависит от ее численности и равен постоянной величине
r
(свободный рост популяции),
 относительный темп прироста популяции уменьшается линейно с увеличением ее численности и равен величине
 
t
bN
r 
(ограниченный рост популяции).
С этой целью необходимо
 составить математическую модель свободного роста популяции в виде линейного дифференциального уравнения, найти аналитическое решение уравнения;
 составить математическую модель ограниченного роста популяции в виде дифференциального уравнения
Бернулли, определить аналитическое решение уравнения при заданных начальных условиях;
 привести графическую иллюстрацию изменения численности для моделей свободного и ограниченного роста популяции;
 сделать выводы по работе.
2. Пример выполнения лабораторной работы
Выполнение лабораторной работы предполагается в среде GeoGebra.
Замечание: Данную работу можно выполнить и в других средах, в том числе и в Microsoft.Excel.
Исходные данные для расчетов приведены в табл.1.
Таблица 1 0
t
, час N
0
r
, час
1

k
21 40 0,29 90
Математическая модель свободного роста популяции

2
Для данных табл.1 математическая модель свободного роста численности популяции (2) представляется уравнением
 
 
t
N
t
N
29
,
0


Для произвольного момента времени
21 0

 t
t
численность популяции является решением этого уравнения и представляется равенством (3), которое для данных табл.1 выражается соотношением
 


21 29
,
0 1
40


t
e
t
N
(7)
Математическая модель ограниченного роста популяции
Для ограниченного роста численности популяции согласно (4) справедливо следующее дифференциальное уравнение
 
 
 





 



90 1
29
,
0
t
N
t
N
t
N
Аналитическое решение дается соотношением (5)
 






1 40 90 40 90 21 29
,
0 21 29
,
0 2






t
t
e
e
t
N
Заметим, что из последнего равенства следует более простое выражение для
 
t
N
2
, а именно,
 
 
 
40 90 90 1
1 2




t
N
t
N
t
N
(8)
Иллюстрация изменения численности для свободного и ограниченного
роста популяции
На рис. 3 представлены графики свободного и ограниченного роста численности популяции.

3
Рис. 3. Изменение численности популяции для свободного (кривая 1) и ограниченного (кривая 2) роста
График ограничен сверху горизонтальной линией, соответствующей численности
200

N
Вывод: Из рисунка следует неограниченный рост численности популяции для случая свободного роста. В случае ограниченного роста кривая изменения численности популяции достаточно быстро входит в стационарный режим, приближаясь к значению
90

k
3. Форма отчета
По результатам выполненной лабораторной работы представляется отчет, в котором должны содержаться следующие пункты:
1. Титульный лист
2. Постановка задачи с конкретным содержанием, сформулированным для своего варианта. Исходные данные должны быть представлены в виде табл.1.
3. Математическая модель свободного роста популяции и ее аналитическое решение.
4. Математическая модель ограниченного роста популяции. Привести аналитическое решение соответствующего дифференциального уравнения.
5. Графическая иллюстрация изменения численности для моделей свободного и ограниченного роста популяции.
6. Выводы по результатам исследований.
4. Задания к лабораторной работе
1 2

4
Задания приведены в таблице по вариантам; вариант определяется в зависимости от номера студента в журнале преподавателя.
№ варианта
t
0
N
0
r
k
1.
23 59 1,58 77 2.
17 38 1,52 82 3.
11 46 0,84 71 4.
25 46 1,4 75 5.
19 55 0,36 94 6.
13 33 0,30 99 7.
26 33 0,50 71 8.
20 42 1,82 82 9.
14 50 1,13 71 10.
28 50 1,34 74 11.
22 59 0,66 93 12.
16 37 0,60 98 13.
10 46 1,92 78 14.
23 46 0,12 91 15.
17 54 1,43 70 16.
11 33 1,37 76 17.
25 33 1,58 78 18.
19 41 0,90 99 19.
13 50 0,22 87 20.
27 50 0,42 91 21.
20 58 1,75 70 22.
14 37 1,67 75 23.
28 37 1,87 78 24.
22 45 1,20 97 25.
16 54 0,53 86 26.
10 33 0,46 92 27.
24 32 0,66 95 28.
17 41 1,99 75 29.
11 50 1,31 94 30.
25 49 1,51 97 31.
19 58 0,82 85 32.
13 37 0,77 92 33.
27 36 0,97 94 34.
20 45 0,29 83 35.
14 54 1,61 94