ПРОВЕРКА ЗАКОНА ОМА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. ЛЛЛ. Лабораторная работа по физике проверка закона ома с помощью метода

• Название: Лабораторная работа по физике проверка закона ома с помощью метода
• Анкор: ПРОВЕРКА ЗАКОНА ОМА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
• Дата: 29.09.2022
• Размер: 0.52 Mb.
• Имя файла: ЛЛЛ.docx
• Тип: Лабораторная работа; #704393

Министерство науки и высшего образования РФ

Дальневосточный федеральный университет

Школа естественных наук

Лабораторная работа по физике

ПРОВЕРКА ЗАКОНА ОМА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА

НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ


Учебная группа

	ФИО	Дата	Подпись
Студент
Преподаватель

Владивосток
2022

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

Определение сопротивления с помощью закона Ома на однородном участке цепи. Ознакомление с обработкой данных методом наименьших квадратов.
ОБОРУДОВАНИЕ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ:

маятник Обербека, секундомер, набор грузов.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ:
Георг Ом в 1827 году экспериментально установил закон, согласно которому отношение разности потенциалов φ₁ - φ₂ на концах проводника к силе тока I в этом проводнике при неизменных внешних условиях есть величина постоянная.

I= λ(φ₁ - φ₂)=λ⋅U, (1)

здесь: I – сила тока в проводнике, которая при постоянном токе показывает заряд, проходящий через поперечное сечение проводника в единицу времени, единица измерения силы тока ампер (А);

U = φ₁ - φ₂ – электрическое напряжение на концах проводника, которое в случае однородного проводника равно разности потенциалов электрического поля на концах проводника, единицей электрического напряжения является вольт (В);

λ – коэффициент пропорциональности между напряжением на концах проводника и силой тока в этом проводнике; λ для разных проводников имеет разное значение. Из формулы (1) видно, что при одинаковом напряжении на концах двух разных проводников, сила тока больше в том проводнике, у которого больше λ, поэтому этот коэффициент количественно определяет способность данного конкретного проводника проводить электрический ток. Отсюда и название коэффициента λ – электрическая проводимость проводника. Единицей измерения электрической проводимости в системе СИ является сименс (1См = 1А/1В).

Физическую величину, обратную проводимости, называют электрическим сопротивлением (R)

R=1/λ (2)

Электрическое сопротивление R — физическая скалярная величина, характеризующая свойство проводника уменьшать скорость упорядоченного движения свободных носителей зарядов в проводнике. Единицей измерения электрического сопротивления проводника является Ом (1Ом=1В/1А). В этом случае выражение (1) примет вид:

R=U/I (3)

Выражение (3) носит имя закон Ома для однородного участка цепи.

Сопротивление однородного металлического проводника (R), как и его проводимость (λ), зависит от геометрических размеров проводника (длины (l) и площади поперечного сечения (S)), а также от удельного сопротивления проводника (ρ):

(4)

ρ называется удельным сопротивлением и служит характеристикой вещества, из которого изготовлен проводник.

Единицей измерения удельного сопротивления является Ом⋅м.

Удельное сопротивление вещества зависит от температуры (в таблицах, как правило, приводится значения удельного сопротивления для разных веществ при комнатной температуре 20°С).

Как правило, сопротивление металлов возрастает с температурой.

С повышением температуры атомы движутся быстрее, их расположение становится менее упорядоченным, и можно ожидать, что они будут сильнее мешать движению потока электронов.

В узких диапазонах изменения температуры удельное сопротивление металла увеличивается с температурой практически линейно:

(5)

где ρ_T- удельное сопротивление при температуре Т, ρ₀- удельное сопротивление при комнатной температуре Т₀ (20°С), а α - температурный коэффициент сопротивления (ТКС) и для каждого металла имеет свое значение.

Метод наименьших квадратов

При решении экспериментальных задач часто возникает необходимость измерения физических величин, находящихся в функциональной зависимости.

Поскольку зависимость силы тока в проводнике от напряжения на его концах носит линейный характер, то для обработки результатов измерений удобно пользоваться методом наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов применяется для обработки экспериментальных данных, если зависимая и независимая экспериментально определяемые величины связаны между собой прямо пропорциональной зависимостью вида у=kх или у=ах+b.

Пусть есть таблица экспериментальных данных:

x	x1	x2	x3	x4	….	xn
y	y1	y2	y3	y4	….	yn

Рассмотрим случай, когда экспериментальные данные подчиняются линейному закону вида: y=kx;

Для того чтобы найти k, соответствующее идеальной прямой, составим сумму квадратов отклонений экспериментальных точек от этой прямой:



Величина s всегда положительна и оказывается тем меньше, чем ближе к прямой лежат экспериментальные точки. Метод наименьших квадратов утверждает, что для k следует выбирать такое значение, при котором s имеет минимальное из всех допустимых значение, т.е:



Раскроем скобки, вынесем k за знак суммы и получим:



Вычисления показывают, что стандартная ошибка σ(k) определения величины k при этом равна:



Абсолютная погрешность найдется по формуле:

,

здесь τ_β,(n-1) – коэффициент Стьюдента.

В случае, когда экспериментальные данные подчиняются линейному закону вида y=ax+b, чтобы найти значения aиb по имеющемуся набору экспериментальных данных, соответствующее идеальной прямой, нужно чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от нее имело минимальное значение, т.е.:





Получим систему уравнений:





Совместное решение этих уравнений немедленно дает:





Данные формулы принимают более простой вид, если ввести средние значения переменные x и y:


Тогда формулы для a и b примут вид:



Стандартные ошибки определения a и b равны:





Абсолютную погрешность этих величин найдем, умножив соответствующие стандартные ошибки на коэффициент Стьюдента для (n-1) измерений.

,

Формулы для нахождения коэффициентов k (1 случай), a и b (2 случай) показывают аналитический способ проведения оптимальной прямой через экспериментальные точки.

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов на примере экспериментальной проверки закона Ома для участка цепи.

Экспериментально проверить закон Ома для участка цепи – значит убедиться в том, что для данного проводника с неизменными размерами при неизменной температуре отношение силы тока в проводнике (I) к напряжению (U) на его концах есть величина постоянная.

Благодаря современным электроизмерительным приборам можно просто и быстро набрать большую базу экспериментальных данных для проверки закона Ома.

Пусть результаты измерений силы тока в проводнике и напряжения на его концах представлены в виде таблицы:

U	U1	U2	U3	U4	….	Un
I	I1	I2	I3	I4	….	In

Неизбежные ошибки эксперимента приводят к тому, что точки I_i,U_i ; при построении графика не лежат на одной прямой. Значение R (или λ.) может быть найдено из любой пары значений I_i,U_i, наличие n пар приводит к появлению n несовместимых уравнений для нахождения R.

Выбор оптимальных значений

Такие задачи обычно решаются графически, отмечая экспериментальные точки на миллиметровой бумаге и проводя через них на глаз наилучшую прямую.

Тангенс угла наклона этой прямой к горизонтальной оси графика позволяет определить усредненное значение соответствующего коэффициента пропорциональности.

Но, данный способ решения не всегда обеспечивает достаточную точность, т.к. «на глаз» понятие субъективное.

Метод наименьших квадратов позволяет провести по экспериментальным точкам оптимальную прямую так, чтобы сумма квадратов отклонений этих точек от данной прямой была минимальна.

При экспериментальной проверке закона Ома для участка цепи отклонение произвольной точки от идеальной прямой можно найти по формуле:



тогда сумма квадратов отклонений будет:



Метод наименьших квадратов утверждает, что для λ следует выбирать такое значение, при котором s имеет минимальное значение, т.е. ds/dλ=0, откуда следует, что:



Абсолютная погрешность (доверительный интервал) определения λ при этом рассчитывается по формуле:



где τ_β;(n-1) – коэффициент Стьюдента для n-1 измерений.

Экспериментальная установка

Работа выполняется с помощью прибора ЕКМ-01 для измерения сопротивления резистивного провода. Общий вид прибора представлен на рисунке 1.

О
Рис. 1. Экспериментальная установка.
снование (1) оснащено регулируемыми ножками, которые позволяют произвести выравнивание положения прибора. К основанию прикреплена колонна с нанесенной метрической шкалой (2). На колонне монтированы два неподвижных кронштейна (3) и один подвижный кронштейн (4). Который может передвигаться вдоль колонны и фиксироваться в любом положении. Между верхним и нижним кронштейном натянут резистивный провод (5).

Нижний, верхний и центральный подвижный контакты резистивного провода подведены при помощи проводов низкого сопротивления к измерительной части прибора (6), которая помещена в центральном корпусе.

На лицевой панели центрального корпуса выведены шкалы измерительных приборов амперметра и вольтметра и ручки для манипуляций, назначение которых следующее: W1 - включатель сети (нажатие клавиши вызывает включение напряжения питания установки; W2 - переключатель, описанный приведенными на панели схемами (отжатый - точное измерение тока, нажатый - точное измерение напряжения); WЗ - переключатель вида работы (нажатие позволяет произвести измерение активного сопротивления резистивного провода по техническому методу); Р1 - регулятор тока, позволяющий менять подаваемое на провод напряжение

Ход работы:

П
Рис. 2 Схема работы
роверку закона Ома для резистивного провода необходимо производить по техническому методу с точным измерением силы тока (переключатель W2 отжат) в соответствии с приведенной на рисунке 2 схемой.

1. 
   Установить с помощью подвижного кронштейна (5) длину резистивного провода l=50 см.
   
2. 
   Меняя положение ручки Р1 снять 10 пар значений I_iU_i; с помощью соответствующих измерительных приборов амперметра и вольтметра, исключая крайние положения стрелок на шкалах измерительных приборов.
   
3. 
   Результаты измерений занести в таблицу
   

   №	l(м)	Ui (В)	Ii (А)	(Ui(В))2	UiIi(ВА)	(Ii (А))2
   1	0,5	0,14	0,022	0,0196	0,00308	0,000484
   2	-	0,28	0,038	0,0784	0,01064	0,001444
   3	-	0,42	0,061	0.1764	0,02562	0,003721
   4	-	0,56	0,078	0,3136	0,04368	0,006084
   5	-	0,70	0,105	0,49	0,0735	0,011025
   6	-	0,84	0,121	0,7056	0,10164	0,014641
   7	-	0,98	0,138	0,9604	0,13524	0,019044
   8	-	1,12	0,157	1,2544	0,17584	0,024649
   9	-	1,26	0,184	1,5876	0,23184	0,033856
   10	-	1,4	0,197	1,96	0,2758	0,038809
   Σ	-	-	-	7,2716	1,07688	0,153757

4. 
   По формуле (7) определить λ, по формуле (2) найти R провода.
   

5. 
   По формуле (8) определить погрешность Δλ. По формуле Δλ/λ= ΔR/R найти погрешность ΔR.
   

Δλ/λ= ΔR/R

;

6. 
   Записать результаты расчетов для λ и R с учетом их абсолютной и относительной погрешности.
   

7. 
   По экспериментальным данным построить график зависимости I=f(U). Пользуясь результатами расчетов λ провести идеальную прямую (необходимо в соответствии с уже выбранным масштабом отметить на графике две любые точки, соответствующие этой прямой). Убедиться, что экспериментальные точки оптимально ложатся вокруг прямой.
   

№	l(м)	Ui (В)	Ii (А)	(Ui(В))2	UiIi(ВА)	(Ii (А))2
1	0,4	0,14	0,023	0,0196	0,00322	0,000529
2	-	0,28	0,048	0,0784	0,01344	0,002304
3	-	0,42	0,072	0.1764	0,03024	0,005184
4	-	0,56	0,098	0,3136	0,05488	0,009604
5	-	0,70	0,126	0,49	0,0882	0,015876
6	-	0,84	0,147	0,7056	0,12348	0,021609
7	-	0,98	0,179	0,9604	0,17542	0,032041
8	-	1,12	0,209	1,2544	0,23408	0,043681
9	-	1,26	0,225	1,5876	0,2835	0,050625
10	-	1,4	0,248	1,96	0,3472	0,061504
Σ	-	-	-	7,2716	1,35366	0,242957

8. 
   По формуле (7) определить λ, по формуле (2) найти R провода.
   

9. 
   По формуле (8) определить погрешность Δλ. По формуле Δλ/λ= ΔR/R найти погрешность ΔR.
   

Δλ/λ= ΔR/R

;

10. 
    Записать результаты расчетов для λ и R с учетом их абсолютной и относительной погрешности.
    

11. 
    По экспериментальным данным построить график зависимости I=f(U). Пользуясь результатами расчетов λ провести идеальную прямую (необходимо в соответствии с уже выбранным масштабом отметить на графике две любые точки, соответствующие этой прямой). Убедиться, что экспериментальные точки оптимально ложатся вокруг прямой.
    

№	l(м)	Ui (В)	Ii (А)	(Ui(В))2	UiIi(ВА)	(Ii (А))2
1	0,3	0,07	0,017	0,0049	0,00119	0,000289
2	-	0,14	0,034	0,0196	0,00476	0,001156
3	-	0,21	0,053	0.0441	0,01113	0,002809
4	-	0,28	0,070	0,0784	0,0196	0,0049
5	-	0,35	0,080	0,1225	0,0280	0,0064
6	-	0,42	0,095	0,1764	0,0399	0,009025
7	-	0,49	0,120	0,2401	0,0588	0,0144
8	-	0,56	0,135	0,3136	0,0756	0,018225
9	-	0,63	0,153	0,3969	0,09639	0,023409
10	-	0,7	0,175	0,49	0,1225	0,030625
Σ	-	-	-	1,8179	0,45787	0,111238

12. 
    По формуле (7) определить λ, по формуле (2) найти R провода.
    

13. 
    По формуле (8) определить погрешность Δλ. По формуле Δλ/λ= ΔR/R найти погрешность ΔR.
    

Δλ/λ= ΔR/R

;

14. 
    Записать результаты расчетов для λ и R с учетом их абсолютной и относительной погрешности.
    

15. 
    По экспериментальным данным построить график зависимости I=f(U). Пользуясь результатами расчетов λ провести идеальную прямую (необходимо в соответствии с уже выбранным масштабом отметить на графике две любые точки, соответствующие этой прямой). Убедиться, что экспериментальные точки оптимально ложатся вокруг прямой.