ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
Вариант 37
Задание.
1. Из приложения взять выборку объема n=200. Выборку произвести серийным способом с номера, указанного преподавателем.
2. По выборке найти статистические оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения.
3. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона при уровне значимости = 0,05.
4. Построить гистограмму опытных данных.
Таблица 1
Долговечность деталей, час.
926
| 888
| 568
| 933
| 794
| 741
| 972
| 824
| 832
| 1008
| 790
| 723
| 915
| 840
| 928
| 640
| 710
| 1093
| 629
| 690
| 848
| 812
| 546
| 706
| 836
| 775
| 1034
| 974
| 860
| 1075
| 1103
| 821
| 1040
| 1074
| 955
| 648
| 578
| 554
| 857
| 541
| 732
| 577
| 707
| 998
| 846
| 710
| 943
| 904
| 718
| 790
| 777
| 705
| 660
| 1153
| 1084
| 1172
| 883
| 870
| 811
| 1098
| 775
| 413
| 775
| 525
| 688
| 967
| 875
| 503
| 843
| 728
| 1054
| 970
| 799
| 781
| 1120
| 600
| 797
| 1240
| 510
| 908
| 717
| 973
| 866
| 938
| 786
| 921
| 610
| 690
| 785
| 986
| 502
| 405
| 1030
| 651
| 380
| 789
| 1058
| 1201
| 1024
| 803
| 627
| 329
| 405
| 756
| 947
| 961
| 830
| 840
| 1080
| 615
| 690
| 855
| 790
| 1011
| 985
| 596
| 723
| 1169
| 708
| 823
| 963
| 743
| 766
| 953
| 551
| 678
| 525
| 563
| 570
| 543
| 873
| 685
| 831
| 856
| 752
| 753
| 1003
| 1210
| 872
| 709
| 430
| 496
| 520
| 768
| 794
| 698
| 946
| 583
| 794
| 780
| 1180
| 609
| 671
| 1045
| 919
| 742
| 806
| 930
| 900
| 625
| 864
| 785
| 525
| 1023
| 520
| 765
| 589
| 903
| 403
| 764
| 796
| 1164
| 715
| 818
| 800
| 661
| 618
| 880
| 739
| 810
| 931
| 696
| 775
| 802
| 926
| 726
| 256
| 727
| 620
| 775
| 840
| 347
| 725
| 1132
| 809
| 930
| 1302
| 1142
| 1062
| 932
| Решение:
Случайную величину (долговечность детали) обозначим Х. Найдем из таблицы 1 .
Весь интервал, в которые попали статистические данные, разбиваем на ряд частичных интервалов.
Нам удобно взять h=122
Левая границы первого интервала:
Подсчет числа опытных данных ni, попавших в i-тый частичный интервал, приведен в табл.2.
Таблица 2
Число опытных данных, попавших в частичные интервалы № п/п
| Интервалы
| Подсчет опытных данных
| n
|
– середины интервалов
| 1
| 195 – 317
|
| 1
| 256
| 2
| 317 – 439
|
| 8
| 378
| 3
| 439 – 561
|
| 14
| 500
| 4
| 561 – 683
|
| 24
| 622
| 5
| 683 – 805
|
| 59
| 744
| 6
| 805 – 927
|
| 41
| 866
| 7
| 927 – 1049
|
| 31
| 988
| 8
| 1049 – 1171
|
| 16
| 1110
| 9
| 1171 – 1293
|
| 5
| 1232
| 10
| 1293 – 1415
|
| 1
| 1354
| ∑
| -
| -
| 200
| -
|
По выборке определим оценки параметров нормального распределения.
Выборочное среднее:
Исправленная дисперсия:
Исправленное среднее квадратическое отклонение:
Найдем теоретическое число , попавшее в i – тый интервал согласно нормальному закону распределения.
Пронормируем X, т.е перейдем к случайной величине:
и вычислить концы интервала:
Причем наименьшее значение z, т. е. z1 полагают равным -∞, а наибольшее, т. е. zk+1, полагают равным ∞.
Теоретические частоты вычислим по формуле:
– объем выборки (сумм всех частот)
– вероятности попадания X в интервалы .
– функция Лапласа
Расчет приведен в таблице 3.
Таблица 3
Теоретическое число
№
п/п
| Границы интервала
| Границы интервала
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1
| 195
| 317
| - ∞
| -2,43
| -0,5
| -0,4925
| 0,0075
| 1,5
| 2
| 317
| 439
| -2,43
| -1,82
| -0,4925
| -0,4657
| 0,0268
| 5,4
| 3
| 439
| 561
| -1,82
| -1,21
| -0,4657
| -0,3868
| 0,0789
| 15,8
| 4
| 561
| 683
| -1,21
| -0,60
| -0,3868
| -0,2253
| 0,1615
| 32,3
| 5
| 683
| 805
| -0,60
| 0,01
| -0,2253
| 0,0049
| 0,2302
| 46,0
| 6
| 805
| 927
| 0,01
| 0,62
| 0,0049
| 0,2334
| 0,2285
| 45,7
| 7
| 927
| 1049
| 0,62
| 1,23
| 0,2334
| 0,3914
| 0,1580
| 31,6
| 8
| 1049
| 1171
| 1,23
| 1,84
| 0,3914
| 0,4675
| 0,0761
| 15,2
| 9
| 1171
| 1293
| 1,84
| 2,46
| 0,4675
| 0,4930
| 0,0255
| 5,1
| 10
| 1293
| 1415
| 2,46
| +∞
| 0,4930
| 0,5
| 0,0070
| 1,4
| ∑
| -
| -
| -
| -
| -
| -
| 1
| 200
| Проверим согласие нормального закона по критерию Пирсона при уровне значимости α=0,05. Расчет сведен в таблице 4. Значения взяты из таблицы 2, а - из таблицы 3.
Интервалы, содержащие малочисленные эмпирические частоты (ni<5), сложим.
Таблица 4
Нахождение
№ п/п
|
|
|
|
|
| 1
| 1
| 1,5
| 2,1
| 4,5
| 0,7
| 2
| 8
| 5,4
| 3
| 14
| 15,8
| -1,8
| 3,2
| 0,20
| 4
| 24
| 32,3
| -8,3
| 68,8
| 2,13
| 5
| 59
| 46,0
| 13,0
| 168,1
| 3,65
| 6
| 41
| 45,7
| -4,7
| 22,1
| 0,48
| 7
| 31
| 31,6
| -0,6
| 0,4
| 0,01
| 8
| 16
| 15,2
| 0,8
| 0,6
| 0,04
| 9
| 5
| 5,1
| -0,5
| 0,3
| 0,00
| 10
| 1
| 1,4
| ∑
| 200
| 200
| -
| -
| 7,22
|
По таблице критических значений при уровне значимости и числе степеней свободы k = l – 3= 8– 3 =5 (l– число интервалов)найдем:
Так как , то нулевую гипотезу о нормальном распределении принимаем на данном уровне значимости, т. е. нормальный закон распределения согласуется с опытными данными.
Построим гистограмму опытных данных.
Рисунок 1. Гистограмма распределения деталей по долговечности |