лекция 3. Лекции сформировать представление о декартовом произведении и декартовой степени множеств, раскрыть сущность понятия кортеж

• Название: Лекции сформировать представление о декартовом произведении и декартовой степени множеств, раскрыть сущность понятия кортеж
• Дата: 04.02.2022
• Размер: 76.48 Kb.
• Имя файла: лекция 3.docx
• Тип: Лекции; #351909

Лекция 3
Кортежи и декартово произведение множеств. Декартова степень множества.
цель лекции: сформировать представление о декартовом произведении и декартовой степени множеств, раскрыть сущность понятия кортеж.

ключевые слова (термины): множество, кортеж, декартово произведение множеств, декартова степень множества.
основные вопросы (положения) и краткое содержание:
1. Абстрактные законы операций над множествами

Множество, его подмножества и законы сочетания подмножеств образуют алгебраическую систему, называемую булевой алгеброй.

Ниже перечислены основные законы, действующие в булевых алгебрах.

Законы для объединения и пересечения:



6. А Ø = Ø 12. А Ø=А
Законы для дополнений:



3. Ø 6. Ø.
Законы для разностей множеств

Ø



Ø

4. Ø = А 9.

5. Ø А = Ø 10.

Доказательство каждого из перечисленных законов основано на определении равенства множеств и определений над множествами.
2. Кортежи и декартово произведение множеств

Определение. Пусть даны множества . Кортежем длины п , составленным из элементов этих множеств, называется конечная последовательность , где для всех k , имеем .

Элемент называется k-й координатой или k-й компонентой кортежа .

Два кортежа равны в том и только в том случае, когда они имеют одинаковую длину, причем их координаты, стоящие на местах с одинаковыми номерами, равны, т.е. кортежи и равны только в том случае, когда m = n, причем для всех .

Кортежи длины два называются упорядоченными парами, длины три – упорядоченными тройками, … , длины п – упорядоченными п –ками. Для краткости речи слово «упорядоченные» часто опускают.

Кортеж, не содержащий ни одной координаты , т.е кортеж длины 0, называется пустым.

Основные отличия понятий кортежа и множества следующие:

а) в множестве порядок элементов не играет роли, а кортежи, отличающиеся порядком элементов, различны, даже в случае, когда они имеют одинаковый состав;

б) В множестве все элементы различны, а в кортеже координаты могут повторяться.

В дальнейшем, чтобы различать множества и кортежи, будем элементы множества заключать в фигурные скобки , а координаты кортежа – в угловые.

Пусть - некоторые множества. Их декартовым произведением называют множество, состоящее из кортежей вида , где . Декартово произведение обозначается так: .

Произведение сокращенно обозначается как и называется декартовой п –й степенью множества А.
Декартовым произведением множеств X и Y называется множество всех пар (x; y), первая компонента которых xX, вторая компонента yY.

Декартово произведение множеств X и Y обозначают XY и его можно записать: XY={(x;y)| xX;yY}.

Декартово произведение можно образовывать как из элементов одного множества, так и двух множеств.

Пример декартового произведения из двух множеств.

. Пусть заданы два множества: X= {7, 5}, Y= {1, 4, 8}. Из этих множеств можно создать новое множество, перечислив все упорядоченные пары:

XY={(7;1), (7;4), (7;8), (5;1), (5;4), (5;8)}.

В полученном множестве каждый элемент является упорядоченной парой, в которой первая компонента принадлежит множеству X, вторая множеству Y.

Пример декартового произведения из одного множества.

Пусть на множестве Х={3, 5, 7} задано отношение «меньше» (т.е. первый элемент меньше второго, второй меньше третьего). Записать декартово произведение X  Х.

Решение.

Декартово произведение X  Х может быть записано в виде множества из упорядоченных пар:

X  Х ={(3;3),(3;5),(3;7),(5;3),(5;5),(5;7),(7;3),(7;5),(7;7)}.

Из этого множества следует выбрать элементы, которые должны удовлетворять отношению «меньше». В результате получится новое множество из упорядоченных пар:

={(3;5),(3;7),(5;7)}.

В новом множестве все пары являются элементами декартова произведения XX. Отношение «меньше» на множестве Х является подмножеством декартова произведения XX.

вопросы для самоконтроля:

1. 
   Дайте определение кортежа.
   
2. 
   Отличие понятия кортежа от множества.
   

критерии оценки достижения обучающимися результатов обучения:

Даны в силлабусе.
рекомендуемая литература:

Дана в силлабусе.