Волбтягчкий. Лекции и задачи по элементарной математике
 Скачать 5.04 Mb.
|
|
В.Г.Болтянский, Ю.В.Сидоров, М.И.Шабунин ЛЕКЦИИ И ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ Книга содержит теоретический материал и задачи по курсу элементарной математики. Теоретический материал включает изложение наиболее трудных вопросов школьного курса алгебры и элементарных функций. Особое внимание обращено на те разделы курса, которые недостаточно полно освещены в учебной литературе. Значительная часть задач, содержащихся в книге, предлагалась на вступительных экзаменах в МФТИ. Многие задачи специально составлены авторами для этой книги. Книга предназначена для учителей математики, студентов педвузов, университетов и особенно для старшеклассников, готовящихся в вузы. СОДЕРЖАНИЕ Предисловие 7 Глава 1. Необходимые и достаточные условия 9 § 1. Высказывания 9 § 2. Отрицание 11 § 3. Неопределенные высказывания 12 § 4. Знаки общности и существования 14 § 5. Необходимые и достаточные условия 22 § 6. Обратная и противоположная теоремы 27 § 7. Конъюнкция и дизъюнкция 30 § 8. Некоторые приемы доказательства 33 Задачи к главе I 36 Глава II. Действительные числа 43 § 1. Рациональные числа 43 § 2. Свойства множества рациональных чисел 46 § 3. Примеры применения свойств рациональных чисел 48 § 4. Причины, заставляющие расширить множество рациональных чисел 51 § 5. Предел монотонной ограниченной последовательности 56 § 6. Свойства множества действительных чисел 59 § 7. Абсолютная величина 63 § 8. Числовая ось и координаты 65 § 9. Некоторые числовые множества 68 Задачи к главе II 73 Глава III. Неравенства 76 § 1. Определения 76 § 2. Основные свойства неравенств 78 § 3. Некоторые часто встречающиеся неравенства 82 § 4. Примеры 85 § 5. Два замечательных неравенства 89 Задачи к главе III 92 Глава IV. Комплексные числа 100 § 1. Введение 100 § 2. Определение комплексного числа 102 § 3. Свойства действий 104 § 4. Модуль комплексного числа. Комплексно сопряженные числа 108 § 5. Геометрическая интерпретация комплексного числа 110 § 6. Аргумент комплексного числа 112 § 7. Тригонометрическая форма записи комплексного числа 113 Задачи к главе IV 118 Глава V. Квадратный трехчлен 122 § 1. Квадратный трехчлен и его корни 122 § 2. График квадратного трехчлена 127 § 3. Исследование квадратного трехчлена 134 § 4. Квадратные неравенства 139 § 5. Наибольшее и наименьшее значение квадратного трехчлена 142 Задачи к главе V 143 Глава VI. Многочлены и алгебраические уравнения 148 § 1. Многочлен и его значения 148 § 2. Действия над многочленами 155 § 3. Алгебраическое уравнение и его корни 163 Задачи к главе VI 172 Глава VII. Функции и графики 176 § 1. Определение функции 176 § 2. График функции 182 § 3. Ограниченность, монотонность, четность, нечетность, периодичность 187 § 4. Композиция функций 205 § 5. Обратная функция 209 § 6. Обратные тригонометрические функции 218 § 7. Линейные преобразования графика 222 § 8. Применение функций и графиков к решению уравнений и неравенств 228 Задачи к главе VII 236 Глава VIII. Степенная, показательная и логарифмическая функции 242 § 1. Степень с натуральным показателем 242 § 2. Степенная функция с натуральным показателем 244 § 3. Арифметический корень 247 § 4. Степень с целым показателем 249 § 5. Степень с рациональным показателем 253 § 6. Степень с действительным показателем 258 § 7. Показательная и логарифмическая функции 260 § 8. Свойства логарифмов 263 Задачи к главе VIII 266 Глава IX. Уравнения 269 § 1. Равенство, тождество, уравнение 269 § 2. Потеря корней и появление посторонних корней при преобразовании 274 уравнений. Равносильные уравнения. Уравнение, являющееся следствием данного. Дизъюнкция уравнений § 3. Наиболее важные приемы преобразования и методы 281 § 4. Простейшие иррациональные уравнения 292 § 5. Логарифмические и показательные уравнения 296 Задачи к главе IX 305 Глава X. Системы уравнений 309 § 1. Равносильные системы уравнений. Система, являющаяся следствием данной 309 § 2. Основные приемы и методы решения систем 312 § 3. Однородные системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными 320 § 4. Системы симметрических алгебраических уравнений 323 Задачи к главе X 330 Глава XI. Тригонометрические уравнения и системы уравнений 349 § 1. Простейшие тригонометрические уравнения 349 § 2. Уравнения вида sin f(x)=a, f(sin x)=0 и аналогичные им 352 § 3. Уравнения, однородные относительно sin x и cos x 357 § 4. Введение вспомогательного угла 362 § 5. Метод замены неизвестного 363 § 6. Метод разложения на множители 370 § 7. Оценка левой и правой частей уравнения 374 § 8. Системы тригонометрических уравнений 377 Задачи к главе XI 391 Глава XII. Задачи по планиметрии 400 § 1. Прямоугольный треугольник 400 § 2. Правильный треугольник 402 § 3. Равнобедренный треугольник 403 § 4. Произвольный треугольник 405 § 5. Параллелограмм 407 § 6. Трапеция 407 § 7. Произвольный четырехугольник и многоугольник 409 § 8. Окружность 410 Глава XIII. Задачи по стереометрии 412 § 1. Правильный тетраэдр 412 § 2. Правильная треугольная пирамида 413 § 3. Произвольная треугольная пирамида 415 § 4. Правильная четырехугольная пирамида 417 § 5. Произвольная четырехугольная пирамида и многоугольная пирамида 419 § 6. Усеченная пирамида 420 § 7. Параллелепипед 421 § 8. Призма 422 § 9. Конус 423 § 10. Усеченный конус, цилиндр и шар 424 Ответы к задачам главы I 426 Ответы к задачам главы II 429 Ответы к задачам главы IV 430 Ответы к задачам главы V 431 Ответы к задачам главы VI 433 Ответы к задачам главы VII 433 Ответы к задачам главы VIII 444 Ответы к задачам главы IX 448 Ответы к задачам главы X 449 Ответы к задачам главы XI 455 Ответы к задачам главы XII 464 Ответы к задачам главы XIII 466 Решения и указания к задачам главы II 469 Решения и указания к задачам главы III 470 Решения и указания к задачам главы V 477 Решения и указания к задачам главы VI 477 Решения и указания к задачам главы VII 479 Решения и указания к задачам главы IX 480 Решения и указания к задачам главы X 481 Решения и указания к задачам главы XI 505 Решения и указания к задачам главы XII 517 Решения и указания к задачам главы XIII 541 |