Лекции по дисциплине Компьютерная графика в электротехнике Лекция 6 Методы получения моделей технических систем Разработала преп. Инеу шоклева Л. А

Название	Лекции по дисциплине Компьютерная графика в электротехнике Лекция 6 Методы получения моделей технических систем Разработала преп. Инеу шоклева Л. А
Дата	23.01.2022
Размер	288 Kb.
Формат файла
Имя файла	Slayd-lekciya_6_Metodi polucheniya modeley tehnicheskih sistem (.ppt
Тип	Лекции #339763

Слайд-лекции по дисциплине
«Компьютерная графика в электротехнике»
Лекция 6: Методы получения моделей
технических систем

Разработала: преп. ИнЕУ Шоклева Л.А.

ОП «ИФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ»

6. Методы получения моделей технических систем.
6.1. Метод конечных разностей. Типовые структуры САПР.
6.2. Метод граничных элементов.
6.3. Методы получения математических моделей.

Микроуровень – это нижний иерархический уровень декомпозиции объектов проектирования по степени абстрагирования при составлении математического описания. На этом уровне осуществляется детальное описание физических свойств технического объекта. Объекты рассматриваются как сплошные среды, имеющие конечные области определения, выделяемые в трехмерном геометрическом пространстве. Такие объекты представляют собой, динамические системы с распределенными параметрами. Их также называют непрерывными системами. Функционирование этих систем описывается дифференциальными уравнениями в частных производных.

Общий вид уравнений математической модели описания физических свойств технического объекта с распределенными параметрами:
или в компактной форме:
где L – дифференциальный оператор; φ - фазовая координата; – пространственные координаты; n – количество пространственных координат; t – время; – вектор независимых переменных; θ(Z) – известная функция независимых координат.

Независимыми переменными в этих моделях являются пространственные координаты и время , i=1, …,n. Фазовая координата – функция независимых переменных.
Размерность задачи определяется числом пространственных координат n: при n=1 – объект одномерный; при n=2 – двумерный; при n=3 – трехмерный.
Если уравнение содержит одну фазовую переменную, система описывается одним уравнением вида (1), если несколько фазовых переменных, т.е. вектор Ф=(φ1, φ2, ..., φm), – то системой уравнений.
Если фазовые переменные не являются явными функциями времени, задачу анализа объекта называют стационарной, в противном случае – нестационарной. Стационарная задача характеризует статическое состояние технического объекта. Динамические режимы функционирования объекта относятся к нестационарным задачам и для их оценки требуются исследования переходных процессов.

Уравнение (1) имеет множество решений. Для получения единственного решения необходимо задать краевые условия. Краевые условия включают граничные и начальные условия. Граничные условия – это сведения об искомых непрерывных функциях φ и (или) их производных на границе S области определения объекта Ώ, характеризующие условия взаимодействия с окружающей внешней средой. Начальные условия – это значения этих функций во всей области определения в начальный момент времени. Начальные условия задаются только при решении нестационарных задач (при исследовании переходных процессов).
Исходное дифференциальное уравнение в частных производных (1) вместе с краевыми условиями носит название дифференциальной краевой задачи и представляет собой математическую модель технического объекта с распределенными параметрами.

Существует несколько стандартных способов задания граничных условий. Для теплового объекта, представляющего собой твердое гомогенное (однородное) тело, используют граничные условия первого, второго и третьего родов.
Граничные условия первого рода означают задание на границе S области определения объекта Ώ значений искомой функции фазовой переменной φ.
При граничных условиях второго рода задают на границе значения частных производных искомой функции по пространственным координатам.
Граничные условия третьего рода представляют собой уравнения баланса потоков, характеризующих обмен энергией объекта с окружающей внешней средой.
В некоторых случаях, например, для гетерогенных (неоднородных по составу материала) тепловых объектов, могут быть и иные граничные условия.

Состояние объекта характеризуется изменением во времени фазовых координат, определяемых в различных его точках. Задача анализа процесса функционирования технического объекта на микроуровне заключается в определении функций фазовых координат для множества точек, выделенных в области определения объекта.
Объекты с распределенными параметрами могут быть различной физической природы: механические, гидравлические, тепловые, электрические, магнитные и др.
Механические объекты представляют собой элементы и базовые детали машин и механизмов: корпуса, рамы, панели, валы, крылья самолетов, лопасти турбин и др. При анализе механических объектов находят деформации и напряжения. Они определяют несущую способность конструктивных элементов, надежность и нормальные условия функционирования базирующихся на них других элементов объекта.

При проектировании многих технических объектов возникает необходимость анализа теплонапряженности деталей, выбора оптимальных размеров и конфигурации теплообменников и решения многих других задач теплопередачи. В тепловых объектах определению подлежат температурные поля и термические напряжения.
При анализе гидравлических и пневматических систем определяют режимы течения сплошных потоков жидкостей и газов, характеризуемые скоростями и давлениями.
Обычно в исходные уравнения (1) входят не все фазовые координаты, характеризующие процессы функционирования технического объекта, а только базисные, например, деформации – в модели механической системы, температуры – в тепловой системе и т.д. Остальные фазовые координаты (например, напряжения в упомянутых системах) определяют через базисные координаты на основе уравнений, устанавливающих между ними соответствующие связи.

Для построения математических моделей технических объектов с распределенными параметрами используют фундаментальные физические законы. К ним относятся, прежде всего, законы сохранения (массы, энергии, количества движения).
Общая формулировка закона сохранения: изменение во времени некоторой субстанции в элементарном объеме равно сумме притока–стока этой субстанции через его поверхность с учетом скорости генерации или уничтожения субстанции в этом объеме.

Уравнение, соответствующее данной формулировке, имеет вид:
где:
φ – фазовая переменная (координата), выражающая субстанцию;
– вектор плотности потока фазовой переменной;
div – дивергенция вектора;
G – скорость генерации или уничтожения субстанции.

У трехмерного технического объекта вектор состоит из трех составляющих, направленных параллельно осям декартовой системы координат х, y, z, т.е..
Дивергенция вектора – скалярная величина, определяемая выражением
Дивергенция вектора плотности потока характеризует сумму притока–стока субстанции через поверхность элементарного объема. В качестве субстанции в различных физических законах выступают: масса, энергия, количество движения и др.

6.3. Методы получения матмоделей

При формировании математической модели технического объекта на основе компонентных и топологических уравнений используют следующие способы:
узловой,
контурный,
метод переменных состояния,
табличный метод.
Наибольшую известность и широкое применение получил узловой метод. Он основан на использовании топологических уравнений, выражающих условия равновесия потенциалов в узлах дискретизации динамической системы. Математическая модель объекта получается в виде системы интегро-дифференциальных уравнений, искомыми неизвестными в которых являются фазовые переменные типа потока, характеризующие состояние сосредоточенных масс.

Узловой метод имеет ряд недостатков, осложняющих его использование для автоматизации формирования математической модели непосредственно на ЭВМ. Одним из недостатков метода является неудобная форма системы уравнений математической модели. Для использования численных методов интегрирования дифференциальных уравнений наиболее предпочтительно представление уравнений в нормальной форме Коши.
Метод переменных состояния ориентирован на получение математической модели в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши. Однако представление структуры динамической модели в этом методе гораздо сложнее, чем в узловом, и требует выполнения большого объема подготовительной работы, которая не поддается автоматизации.

Табличный метод использует исходные компонентные и топологические уравнения непосредственно, без каких-либо преобразований, поэтому автоматизировать его легко и просто. Однако математическая модель при этом получается высокого порядка и имеет избыточное число фазовых координат. Система уравнений оказывается переопределенной. Количество уравнений значительно превышает число степеней свободы системы. Это приводит к неустойчивости вычислительных алгоритмов при решении полученной системы уравнений.
Контурный метод применяется в электротехнике и строительной механике, где схемы взаимодействия конструктивных элементов образуют замкнутые контуры прохождения сигналов. Применение его для других технических объектов требует построения схемы замещения (эквивалентной схемы) и сопряжено со значительными сложностями формализации процесса составления математической модели.

При структурировании динамической модели методом функционально законченных элементов выделяемые дискретные элементы не обладают такой общностью, как в методе сосредоточенных масс или в сеточных методах. Количество выделяемых функционально законченных элементов и их свойства в конкретной предметной области определяются ее особенностями. Для описания элементов различных технических объектов используется множество разнообразных математических моделей. Это создает определенные преимущества при моделировании, так как исключаются любые ограничения на способы описания физических свойств элементов. Однако при этом теряется межпредметная унификация математических описаний, что требует создания и хранения в памяти ЭВМ библиотеки математических моделей элементов всех возможных технических объектов. Тем не менее, при создании специализированных САПР в конкретных технических областях часто отдается предпочтение методу функционально законченных элементов.

При структурировании динамической модели методом функционально законченных элементов выделяемые дискретные элементы не обладают такой общностью, как в методе сосредоточенных масс или в сеточных методах. Количество выделяемых функционально законченных элементов и их свойства в конкретной предметной области определяются ее особенностями. Для описания элементов различных технических объектов используется множество разнообразных математических моделей. Это создает определенные преимущества при моделировании, так как исключаются любые ограничения на способы описания физических свойств элементов. Однако при этом теряется межпредметная унификация математических описаний, что требует создания и хранения в памяти ЭВМ библиотеки математических моделей элементов всех возможных технических объектов. Тем не менее, при создании специализированных САПР в конкретных технических областях часто отдается предпочтение методу функционально законченных элементов.

Широкое применение для построения математических моделей технических объектов находит формальный подход. Он основан на использовании интегральных вариационных принципов аналитической механики. Одним из наиболее мощных теоретических методов формального моделирования является вариационный принцип Гамильтона–Остроградского. Он применим к техническим объектам различной физической природы (механическим, гидравлическим, электрическим и др.).
Все упомянутые выше способы предназначены для получения математических моделей технических объектов в инвариантной форме. Эти модели представляют собой либо систему компонентных и топологических уравнений, либо систему обыкновенных дифференциальных уравнений. В частном случае при описании статических состояний технического объекта математической моделью в инвариантной форме является система алгебраических уравнений, получаемая путем соответствующих преобразований исходной системы дифференциальных уравнений.