Материал. Лекции теория массового обслуживания для студентов экономических специальностей очной, заочной и дистанционной форм обучения Шахты 2006
 Скачать 0.66 Mb.
|
|
2. Одноканальная СМО с (неограниченным) ожиданием. Проанализируемработу одноканальной СМО с ожиданием без ограничений на длину очереди и на время ожидания в очереди. По-прежнему будем предполагать, что входящий потоки поток обслуживаний являются простейшими и имеют интенсивности λ и μ соответственно. Такая система представляет собой предельный случай системы, рассмотренной в предыдущем пункте, при ∞ → m . Таким образом, длина очереди станет бесконечной ив соответствии с этим бесконечным станет число состояний СМО. Размеченный граф состояний представлен на рис. 11. Рисунок 11. Если отказаться от ограничения на длину очереди, то случаи 1 < ρ и 1 ≥ ρ начинают существенно различаться. Если μ λ > ( 1 > ρ ), те. среднее число заявок, поступивших в систему за единицу времени, больше среднего числа обслуживаемых заявок зато же время при непрерывно работающем канале, то очевидно, что очередь неограниченно растет. В этом случае предельный режим не устанавливается и предельных вероятностей состояний не существует (точнее, они равны нулю. В случае μ λ = ( 1 = ρ ) только при условии, что входящий поток заявок и поток об- служиваний регулярные (те. заявки поступают в СМО через равные интервалы времени, и время обслуживания одной заявки является постоянным, равным интервалу времени между поступлениями заявок, очереди вообще не будет и канал будет обслуживать заявки непрерывно. Но как только входящий поток или поток обслуживаний перестает быть регулярными приобретает элементы случайности, очередь начинает расти до бесконечности. λ μ λ μ λ μ λ μ λ μ ... ... ... ... 0 S 1 S 2 S k S Поэтому далее при рассмотрении указанных систем будем предполагать, что μ λ < , те. 1 < ρ . При этом условии стечением времени устанавливается предельный режим, и предельные вероятности состояний существуют. Устремляя m к бесконечности в формулах для вероятностей состояний (полученных для СМО с ограниченной длиной очереди при 1 < ρ ), находим выражения для предельных вероятностей состояний рассматриваемой СМО: ) 1 ( 1 1 2 0 lim lim ρ ρ ρ ρ ρ ρ − = − − = = + ∞ → ∞ → k m m k k m k p p ; ,.. 2 , 1 , 0 = k (23) Предельные вероятности (23) удовлетворяют нормировочному условию 1 2 1 В самом деле, ∑ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = − = − = 0 Но ряд ∑ ∞ =0 k k ρ представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 1 0 1 = = ρ b и знаменателем 1 < ρ . Поэтому ρ ρ − = ∑ ∞ = 1 1 0 k k и, следовательно, 1 При отсутствии ограничений на очередь каждая заявка, поступившая в СМО, рано или поздно будет обслужена. Поэтому вероятность отказа равна нулю 0 = отк P Следовательно, вероятность того, что поступившая заявка будет принята в систему, также как и относительная пропускная способность Q , равна единице 1 1 = − = отк P Q Тогда для абсолютной пропускной способности A (и интенсивности выходящего потока) будем иметь λ λ = = Q A , те. интенсивности входящего и выходящего потоков совпадают. Среднее число заявок в очереди оч L получим из формулы (21) при 1 < ρ переходом к пределу при ∞ → m : ( ) ( ) ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ − − + − = − − − + − = ∞ → + ∞ → 1 ) 1 1 ( 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 ( 1 2 2 2 lim lim m m m m L m m m m m оч Известно, что бесконечно малая m ρ ( 1 < ρ , ∞ → m ) является бесконечно малой более высокого порядка, чем бесконечно малая 1 − m ( ) ( 1 − = m o m ρ ), те. 0 → m m ρ при ∞ → m . Следовательно, ρ ρ − = 1 2 оч L Среднее время ожидания заявки в очереди по формуле Литтла равно ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 2 ρ μ ρ ρ μρ ρ ρ λ ρ λ − = − = − = = оч оч L T Наконец, среднее время пребывания заявки в СМО СМО T складывается из среднего времени заявки в очереди очи среднего времени обслуживания заявки об ) 1 ( ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ρ λ ρ ρ μ μ ρ μ ρ − = − = + − = + = об оч СМО T T T Пример. В парикмахерской работает только один мужской мастер. Среднее время стрижки одного клиента составляет 20 мин. Клиенты в среднем приходят каждые 25 мин. Средняя стоимость стрижки составляет 60 руб. Как в первую смену с 9 до 15, таки во вторую с 15 доработают по одному мастеру. Провести анализ работы системы обслуживания. Определить ежедневный чистый доход каждого мастера, если он получает только 30% от выручки (остальное уходит на оплату аренды помещения, налоги, амортизацию оборудования и проч. Решение. Интенсивность входящего потока 4 , 2 = λ клиента/ч, интенсивность потока обслуживаний 3 ) 3 / 1 ( 1 20 1 1 = = = = ч мин T об μ клиента/ч. Находим интенсивность нагрузки (канала) мастера 8 , 0 = = μ λ ρ ; долю времени (вероятность) простоя мастера 2 , 0 8 , 0 1 1 0 = − = − = ρ p ; вероятность того, что мастер занят работой 8 , 0 2 , 0 1 1 0 = − = − = p p зан ; среднее число клиентов в очереди 2 , 3 2 , 0 1 8 , 0 1 2 2 = − = − = ρ ρ оч L клиента среднее время ожидания в очереди 34 , 1 4 , 2 2 , 3 = = = λ оч оч L T мин среднее время пребывания клиентов в парикмахерской 34 , 21 20 34 , 1 = + = + = об оч СМО T T T мин. Система работает вполне удовлетворительно. Поскольку 1 < ρ , то режим работы системы устойчивый, 20% рабочего времени мастер незанята остальные 80% времени занят работой, длина очереди 3,2 клиента небольшая, а среднее время пребывания клиента в парикмахерской всего 21,34 мин. Каждый мастер занимается обслуживанием клиентов в среднем ежедневно в течение мин ч 288 8 , 4 ) 9 За это время он обслужит 4 , 14 20 288 = клиента, поэтому ежедневная выручка в среднем составит 864 60 4 , 14 = ⋅ руб. Ежедневный чистый доход каждого мастера в среднем составляет руб. |