Лекция № 1-4. Лекция 14 теория электрической связи радиотехника каналы связи модели модель среды
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
Лекция № 1-4 ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ РАДИОТЕХНИКА КАНАЛЫ СВЯЗИ МОДЕЛИ : 1. МОДЕЛЬ СРЕДЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ НОСИТЕЛЯ ИНФОРМИЦИИ; 2. МОДЕЛЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДСТВ КАНАЛА СВЯЗИ. ЛИНЕЙНАЯ РАДИОТЕХНИКА НЕЛИНЕЙНАЯ РАДИОТЕХНИКА ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ 1. ТЕОРИЯ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ; 2. ТЕОРИЯ КОДИРОВАНИЯ . - Гармонический анализ и синтез сигналов. - Дискретное преобразование Фурье. - Преобразование Лапласа. - Преобразование Гильберта. - Модуляция сигналов. - Теорема Котельникова. - Статистическая радиотехника. - Нелинейные преобразования сигналов. - Характеристики нелинейных цепей. - Методы модуляции и детектирования сигналов. Преобразование Гильберта (Ортогональное дополнение сигнала) Обозначение: u * (t)=Н(𝒖(𝒕)) – прямое преобразование Гильберта. u(t)=Н -1 (u * (t)) –обратное преобразование Гильберта. Действительный сигнал : u(t)=U m (t) cos( t+ (t))= U m (t) cos( (t)). Комплексный (аналитический) сигнал. 𝑼 ̅(t)=u(t)+ju * (t)=U m (t) e j (t) =U m (t) e j (t) e j t = U * m (t) e j t . (*) 𝐔 𝐦 (𝐭) = √𝐮 𝟐 (𝐭) + (𝐮 ∗ ) 𝟐 (𝐭) - это модуль вектора (огибающая сигнала); ( (t)+ t) – полная (текущая) фаза сигнала. u(t) = U m (t) cos (t) = U m (t) cos( t+ (t)) – это действительная часть комплексного сигнала ( реальный сигнал ). u(t) = Re (U m (t) e j (t) ). u * (t) = U m (t) sin (t) = U m (t) sin( t+ (t)) – это мнимая часть комплексного сигнала ( на самом деле ее нет – ее придумал Гильберт ). Преобразование Гильберта дает возможность избежать неоднозначности при векторном представлении сигнала. u * u t u(t) Прямое преобразование Гильберта 𝐮 ∗ (𝐭) = Н(𝐮(𝐭)) = 𝟏 ∫ 𝐮( ) 𝐭− 𝐝 ∞ −∞ Обратное преобразование Гильберта 𝐮(𝐭) = − 𝟏 ∫ 𝐮 ∗ (𝐭) 𝐭− 𝐝 ∞ −∞ . Огибающая сигнала, вернее, модуль сигнального вектора находится по формуле 𝐔 𝐦 (𝐭) = √𝐮 𝟐 (𝐭) + (𝐮 ∗ ) 𝟐 (𝐭). Текущая фаза сигнала определяется следующим образом: U * m (t)=U m (t) e j (t) – это вектор - комплексная амплитуда сигнала (в ней содержится информация об амплитуде и начальной фазе сигнала) (t)= −𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 ቀ 𝒖 ∗ (𝒕) 𝒖(𝒕) ቁ для u(t) 0; для u(t) 0; −𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 ቀ 𝒖 ∗ (𝒕) 𝒖(𝒕) ቁ для u(t) 0. Мгновенная частота находится как производная фазы по времени: (𝒕) = 𝒅 (𝒕) 𝒅𝒕 = 𝒅 [𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 ( 𝒖 ∗ (𝒕) 𝒖(𝒕) )] 𝒅𝒕 = 𝟏 𝟏 + ( 𝒖 ∗ (𝒕) 𝒖(𝒕) ) 𝟐 𝒅 ( 𝒖 ∗ (𝒕) 𝒖(𝒕) ) 𝒅𝒕 = = 𝒖 𝟐 (𝒕) 𝒖 𝟐 (𝒕) + (𝒖 ∗ (𝒕)) 𝟐 (𝒖 ∗ (𝒕)) ′ 𝒖(𝒕) − 𝒖(𝒕) ′ (𝒖 ∗ (𝒕)) 𝒖 𝟐 (𝒕) = = (𝒖 ∗ (𝒕)) ′ 𝒖(𝒕)−𝒖(𝒕) ′ (𝒖 ∗ (𝒕)) 𝒖 𝟐 (𝒕)+(𝒖 ∗ (𝒕)) 𝟐 . Преобразование Гильберта от гармонического сигнала Дано гармоническое колебание 𝒖(𝒕) = 𝒄𝒐𝒔( 𝒕) . 𝒖 ∗ (𝒕) = 𝟏 ∫ 𝒖( ) 𝒕− 𝒅 = 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔( ) 𝒕− 𝒅 = ∞ −∞ ∞ −∞ (Произведем замену переменных /t- = / и изменим пределы интегрирования) = 1 lim 0 ∫ 𝒄𝒐𝒔( (𝒕 − )) − 𝒄𝒐𝒔( (𝒕 + )) ∞ 𝑑 = = 1 lim 0 ∫ 𝟐𝒔𝒊𝒏( 𝒕)𝒔𝒊𝒏( ) ∞ 𝑑 = 𝟐𝒔𝒊𝒏( 𝒕) lim 0 ∫ 𝒔𝒊𝒏( ) ∞ 𝑑 = (Табличный интеграл lim 0 ∫ 𝒔𝒊𝒏( ) ∞ 𝑑 = 2 . Это мы докажем в дальнейшем). = 𝟐𝒔𝒊𝒏( 𝒕) 2 = 𝒔𝒊𝒏( 𝒕) = 𝒄𝒐𝒔 ቀ 𝒕 − 𝟐 ቁ, т. е. сигнал задерживается по фазе на 90 0 . Можно записать и по другому: 𝒖 ∗ (𝒕) = 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔( ) 𝒕− 𝒅 = ∞ −∞ 𝒔𝒊𝒏( 𝒕) . Аналогично можно показать, что 𝒖 ∗ (𝒕) = 𝟏 ∫ 𝒔𝒊𝒏( ) 𝒕− 𝒅 = ∞ −∞ − 𝒄𝒐𝒔( 𝒕) = 𝒔𝒊𝒏 ቀ 𝒕 − 𝟐 ቁ. Преобразование Гильберта на положительной полуоси частот изменяет фазу составляющих спектра сигнала на -90 0 . Преобразование Гильберта на отрицательной полуоси частот изменяет фазу составляющих спектра сигнала на +90 0 . Амплитуды спектральных составляющих не изменяются. АЧХ и ФЧХ цепи, осуществляющей преобразование Гильберта 0 𝑲 ̅(j ) 1 0 ( ) /2 - /2 j, 0 K(j )= 0, =0 -j, 0 Если сигнал задать в виде совокупности спектральных составляющих: 𝒖(𝒕) = ∑ 𝑼 𝒌 𝒄𝒐𝒔( 𝒌 𝒕 + 𝒌 ) 𝑲 𝒌=𝟏 или 𝒖(𝒕) = ∑ 𝑼 𝒌 𝒔𝒊𝒏( 𝒌 𝒕 + 𝒌 ) 𝑲 𝒌=𝟏 , то для сопряженных по Гильберту сигналов получим соответствующие выражения 𝒖(𝒕) = ∑ 𝑼 𝒌 𝒔𝒊𝒏( 𝒌 𝒕 + 𝒌 ) 𝑲 𝒌=𝟏 и 𝒖(𝒕) = − ∑ 𝑼 𝒌 𝒄𝒐𝒔( 𝒌 𝒕 + 𝒌 ) 𝑲 𝒌=𝟏 Комплексным (аналитическим) представлением сигнала можно пользоваться только для анализа линейных радиотехнических цепей, удовлетворяющих принципу суперпозиции, когда преобразование не приводит к взаимодействию действительной и мнимой составляющих. Для анализа нелинейных цепей необходимо пользоваться суммой двух комплексно-сопряженных сигналов , в которой мнимые части взаимно компенсируются : 𝒖(𝒕) = 𝑼 𝒎 (𝒕)𝒄𝒐𝒔( 𝟎 𝒕 + (𝒕)) = 𝑼 𝒎 (𝒕) 𝟐 (𝒆 𝒋( 𝟎 𝒕+ (𝒕)) + 𝒆 −𝒋( 𝟎 𝒕+ (𝒕)) ). (**) 𝒖(𝒕) 𝒖 ∗ (𝒕) Векторное представление аналитического сигнала (*) 0 𝑼 𝒎 𝒖(𝒕) 𝒖 ∗ (𝒕) 𝟐 Векторное представление сигнала комплексно-сопряженными векторами (**) - 0 𝑼 𝒎 𝟐 0 𝒖 ∗ ( 𝒕 ) 𝟐 Такое представление сигнала очень сильно облегчает многие нелинейные преобразования. Например, вы забыли чему равен квадрат косинуса: 𝒄𝒐𝒔 𝟐 ( 𝟎 𝒕 + (𝒕)). Возьмем выражение ( 𝒆 𝒋( 𝟎 𝒕+ (𝒕)) + 𝒆 −𝒋( 𝟎 𝒕+ (𝒕)) 𝟐 ) 𝟐 = = 𝒆 𝒋𝟐( 𝟎 𝒕+ (𝒕)) + 𝟐𝒆 𝒋( 𝟎 𝒕+ (𝒕)) 𝒆 −𝒋( 𝟎 𝒕+ (𝒕)) +𝒆 −𝒋𝟐( 𝟎 𝒕+ (𝒕)) 𝟒 = = 𝟐+𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐( 𝟎 𝒕+ (𝒕)) 𝟒 = 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝟐( 𝟎 𝒕+ (𝒕)) 𝟐 . ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИИ № 1-4 1. Известны действительная u(t) и мнимая u * (t) части аналитического сигнала. Как, используя эти части, записать выражение для аналитического сигнала. 2. Комплексный (аналитический) сигнал описывается выражением: 𝑼 ̅(t) =U m (t) 𝒆 𝒋(𝝎+ 𝝅 𝟒 ) Напишите выражение, описывающее процесс, который мы наблюдаем в реалии на осциллографе и изобразите его осциллограмму. 3. Комплексный (аналитический) сигнал описывается выражением: 𝑼 ̅(t)=U m (t)e j(ωt+ϕ(t)) Напишите выражение, описывающее процесс, который соответствует преобразованию Гильберта. 4. Дан сигнал u(t). Как записывается прямое преобразование Гильберта от этого сигнала? 5. Дано преобразование Гильберта u * (t). Как записать выражение для обратного преобразования Гильберта? Что является результатом этого преобразования? 6. Известны действительная u(t) и мнимая u * (t) части аналитического сигнала. Изобразите векторную диаграмму этого сигнала. 7. Представьте векторно сигнал в виде суммы комплексно-сопряженных векторов. 8. Пользуясь комплексным представлением гармонического колебания, докажите, что cos 2 ( )=0.5(1+cos2 ). 9. Имеется четырехполюсник, который осуществляет преобразование Гильберта. Изобразите его АЧХ. 10. Имеется четырехполюсник, который осуществляет преобразование Гильберта. Изобразите его ФЧХ. |