Основы теории сигналов. ЛК1 Основы теории сигналов. Лекция 1 по курсу Математические основы обработки сигналов Составитель Уваров А. А. ассистент кафедры иит томск 2013
 Скачать 341.66 Kb.
|
|
Министерство образования и науки российской федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ОСНОВЫ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ Лекция №1 по курсу «Математические основы обработки сигналов» Составитель: Уваров А.А. ассистент кафедры ИИТ Томск 2013 ВВЕДЕНИЕ Прежде всего необходимо понять почему теория сигналов и их обработка так важны для инженера в области приборостроения. Все приборы работают созданы для работы с сигналами и их обработки. Например, для вольтметра сигналом является напряжение на его щупах, для телевизора сигналом является телевизионный сигнал, для акустического дефектоскопа сигналом является звук отраженный от исследуемого объекта. Сигналы могут разными — электрическими, акустическими, гидравлическими и т.д. Одно общее свойство, присущее всем сигналам — это способность к переносу информации. 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ И ПОНЯТИЯ Тогда, перед тем, как рассмотреть понятие сигнала, предварительно следует дать понятие термину «информация», а также термину «данные», которые часто путают. Информация — совокупность каких-либо сведений, содержащих знания об изучаемом процессе или явлении. Данные – это совокупность фактов, результатов наблюдений, измерения каких-либо физических свойств объектов, явлений или процессов материального мира. Таким образом, данные являются лишь исходным «материалом» для получения информации. Информация, содержащаяся в данных, может быть скрыта от исследователя большим количеством шумов или в принципе быть ненаблюдаемой без специальных преобразований (например, информация о спектральном составе). Пример. При измерении расхода жидкости расходомером, многократные замеры мгновенного расхода являются лишь исходными («сырыми») данными, после усреднения которых получается информация о истинном расходе. Сигнал – это физическая величина, которая содержит в себе определенную информацию и пригодная для передачи и обработки. Примеры сигналов: электромагнитные волны в радиосвязи; изменение электрического напряжения в электронике; звуковая волна в акустике; механические колебания земной коры в сейсмологии; изменение давления в гидравлической системе; последовательность дискретных отсчетов в ЭВМ. Таким образом, между понятиями «сигнал», «информация» и «данные» можно установить следующее соотношение: сигнал несут в себе информацию, представленную в виде «сырых» данных. Другими словами, получая значения сигнала, исследователь получает данные, из которых путем обработки извлекается информация. Таким образом, можно дать наиболее простое определение. Обработка сигналов — это преобразование сигналов. Кроме того, это также и область науки и техники, в которой изучаются сигналы и методы их преобразования. В свою очередь, обработка сигналов требует их математического описания. И так как большинство сигналов представляют собой физические величины, изменяющиеся во времени, наиболее удобным является их представление в виде математических функций времени s(t). Следовательно и все математические операции, применяющиеся к одномерным функциям, применимы в реальным сигналам, хотя и с некоторыми оговорками. Целями обработки и анализа сигналов обычно являются: • Определение или оценка числовых параметров сигналов (энергия, средняя мощность, среднее квадратическое значение и пр.); • Изучение изменения параметров сигналов во времени; • Разложение сигналов на элементарные составляющие для сравнения свойств различных сигналов; • Сравнение степени близости, "похожести", "родственности" различных сигналов, в том числе с определенными количественными оценками. Математический аппарат анализа сигналов весьма обширен, и широко применяется на практике во всех без исключения областях науки и техники. 2. КЛАССИФИКАЦИЯ СИГНАЛОВ 2.1 По размерности Размерность сигнала – это число независимых переменных, по которым определяется его значение. Большинство сигналов, рассматриваемых в теории, являются одномерными и имеют вид s(x). Например, зависимость напряжения от времени, амплитуды от частоты т.д. Кроме того существует также достаточно большой класс двумерных сигналов вида s(x,y). Классическим примером двумерного сигнала является любое плоское изображение или распределение какой-либо величины по географическим координатам. Также иногда встречаются трехмерные сигналы, чаще всего, когда речь идет об определении значения какой-либо величины в разных точках пространства, например траектории движения самолета или космического корабля. Теория допускает существование также многомерных сигналов, а кроме того расширяет многие методы обработки на этот случай. Но в практической деятельности, такие случаи встречаются редко. 2.2 По непрерывности Любой сигнал определенные возможные значения на определенном пространстве значений независимой переменной. Как значения, так и независимая переменная могут быть либо непрерывными, либо дискретными. Непрерывность — свойство, заключающееся в постепенном, плавном, без скачков изменении значений какой-либо переменной, функции или другого математического объекта. Дискретность — свойство, противопоставляемое непрерывности, прерывность. Аналоговый (непрерывный) сигнал – сигнал, значения и независимая переменная которого являются непрерывными множествами возможных значений. Дискретный сигнал – сигнал, независимая переменная которого определена на дискретном множестве, а значения являются непрерывными. Отсчет сигнала — значение сигнала, взятое в отдельный момент дискретного времени. Квантованный сигнал – сигнал, значения которого дискретны, а независимая переменная непрерывна. Цифровой сигнал — сигнал данных, у которого каждый из представляющих параметров описывается функцией дискретного времени и конечным множеством возможных значений. Соответственно, можно определить следующие преобразования сигналов: Дискретизация — процесс преобразования аналогового сигнала в дискретный. Квантование — преобразование аналогового сигнала в квантованный. Оцифровка — преобразование аналогового сигнала в цифровой. Восстановление — преобразование сигнала из дискретного или цифрового в аналоговый. 2.3 По виду математической модели Поскольку сигналы порождаются физическими процессами, а те в свою очередь могут иметь как случайный, так и предсказуемый характер, сигналы также могут быть разного типа. Соответственно отличаются и модели, создаваемые для корректного анализа сигнала. Если математическая модель позволяет точно определить значение сигнала в любой точке, такая модель и такой сигнал называются детерминированными. Например, при анализе напряжения в электрической сети имеет смысл использовать модель вида s(t) = sin(ωt + φ). Если сигнал носит случайный характер, то говорят о наличии случайного (стохастического) сигнала. Математическая модель в таком случае задается в виде закона распределения вероятностей, корреляционной функции, спектральной плотности энергии и др. Рис. 2. Классификация сигналов. 2.3.1. Детерминированные сигналы Детерминированные сигналы также дополнительно классифицируются на периодические и непериодические. К множеству периодических относят гармонические и полигармонические сигналы. Для периодических сигналов выполняется общее условие s(t) = s(t + kT), где k = 1, 2, 3, ... - любое целое число (из множества целых чисел от -∞ до ∞), Т - период, являющийся конечным отрезком независимой переменной. Гармонические сигналы (синусоидальные), описываются следующими формулами: s(t) = A ⋅ sin (2ωf о t+ φ ) = A ⋅ sin (ω о t+ φ ), s(t) = A ⋅ cos(ω о t+φ), где А, f o , ω o , φ , φ - постоянные величины, которые могут исполнять роль информационных параметров сигнала: А - амплитуда сигнала, f о - циклическая частота в герцах, ω о = 2πf о - угловая частота в радианах, φ и φ - начальные фазовые углы в радианах. Период одного колебания T = 1/f о = 2π/ω o . При ϕ = φ - π /2 синусные и косинусные функции описывают один и тот же сигнал. Полигармонические сигналы составляют наиболее широко распространенную группу периодических сигналов и описываются суммой гармонических колебаний: s(t) = N n 0 = ∑ A n sin (2ωf n t+φ n ) ≡ N n 0 = ∑ A n sin (2ωB n f p t+φ n ), B n ∈ I, (1.1.2) или непосредственно функцией s(t) = y(t ± kT p ), k = 1,2,3,..., где Т р - период одного полного колебания сигнала y(t), заданного на одном периоде. Значение f p =1/T p называют фундаментальной частотой колебаний. Полигармонические сигналы представляют собой сумму определенной постоянной составляющей (f о =0) и произвольного (в пределе - бесконечного) числа гармонических составляющих с произвольными значениями амплитуд A n и фаз ϕ n , с частотами, кратными фундаментальной частоте f p . Другими словами, на периоде фундаментальной частоты f p , Рис. 3. Гармонический сигнал амплитуд Рис. 4. Полигармонический сигнал которая равна или кратно меньше минимальной частоты гармоник, укладывается кратное число периодов всех гармоник, что и создает периодичность повторения сигнала. 2.3.2. Непериодические сигналы К непериодическим сигналам относят почти периодические и апериодические сигналы. Почти периодические сигналы близки по своей форме к полигармоническим. Они также представляют собой сумму двух и более гармонических сигналов (в пределе – до бесконечности), но не с кратными, а с произвольными частотами, отношения которых (хотя бы двух частот минимум) не относятся к рациональным числам, вследствие чего фундаментальный период суммарных колебаний бесконечно велик. Так, например, сумма двух гармоник с частотами 2f 0 и 3.5f 0 дает периодический сигнал (2/3.5 – рациональное число) с фундаментальной частотой 0.5f 0 , на одном периоде которой будут укладываться 4 периода первой гармоники и 7 периодов второй. Но если значение частоты второй гармоники заменить значением 12 f 0 , то сигнал перейдет в разряд непериодических, поскольку отношение 2/ 12 не относится к числу рациональных чисел. Как правило, почти периодические сигналы порождаются физическими процессами, не связанными между собой. Математическое отображение сигналов тождественно полигармоническим сигналам (сумма гармоник), а частотный спектр также дискретен (рис. 6). Апериодические сигналы составляют основную группу непериодических сигналов и задаются произвольными функциями времени. На рис. 6 показан пример Рис. 6. Почти периодический сигнал и спектр его амплитуд Рис. 7. Апериодический сигнал и модуль спектра апериодического сигнала, заданного формулой на интервале (0, ∞ ): s(t) = exp(-a ⋅ t) - exp(-b ⋅ t), где a и b – константы, в данном случае a = 0.15, b = 0.17. К апериодическим сигналам относятся также импульсные сигналы, которые в радиотехнике и в отраслях, широко ее использующих, часто рассматривают в виде отдельного класса сигналов. Импульсы представляют собой сигналы определенной и достаточно простой формы, существующие в пределах конечных временных интервалов. Сигнал, приведенный на рис. 7, относится к числу импульсных. 2.4. Шумы и помехи Отдельную категорию сигналов составляют шумы и помехи – сигналы, искажающие интересующий сигнал. Строго говоря, они не являются сигналами в исходном определении, т.к. не несут никакой полезной информации. Но в то же время, часто их называют сигналами в том смысле, что они имеют зависимость от той же независимой переменной, что и основной сигнал, и также порождаются физическими процессами. Поэтому, чтобы не создавать путаницы, часто говорят о «полезном сигнале» и «шумах и помехах». Однако существуют случаи, когда они меняются местами и помехи становятся полезным сигналом. Например, при определении характеристик шума для эффективной борьбы с ним. Помехами называют сторонние (т.е. внешние по отношению к системе) воздействия, искажающие полезный сигнал. Классическими примерами помех являются сетевая помеха частотой 50 Гц и электромагнитная наводка (помеха), являющаяся результатом воздействия различных электромагнитных колебаний на систему. Под шумом зачастую понимают искажения, порождаемые самой системой и носящие случайный характер. Например, существует тепловой шум резисторов и фликкер-шум транзисторов. Шумы, встречающиеся в реальной жизни, часто имеют схожие характеристики, поэтому можно выделить ряд типовых шумов. Существует и такое понятие, как цветные шумы. Эти шумы названы различными цветами спектра по аналогии со светом видимого спектра. «Белый» шум – случайный сигнал, значения которого определяются нормальным (Гаусовским) распределением. Пример: тепловой (джонсовский) шум Рис. 7. Импульсный сигнал и модуль спектра Также существуют розовый, красный (броуновский, коричневый), синий, фиолетовый, серый, оранжевый, зеленый и черный шумы. 3. ПАРАМЕТРЫ СИГНАЛОВ Длительность сигнала T определяет интервал времени, в течение которого сигнал существует (отличен от нуля); Максимальное и минимальное значения показывают диапазон изменения значений сигнала. Динамический диапазон — логарифм отношения наибольшего возможного значения какой-либо величины к наименьшему возможному: Ширина спектра сигнала — полоса частот, в пределах которой сосредоточена основная энергия сигнала; Отношение сигнал/шум равно отношению мощности полезного сигнала к мощности шума; Частота дискретизации дискретного сигнала — частота следования отсчетов. Период дискретизации — расстояние между двумя соседними отсчетами. Текущее среднее значение за определенное время: (1/Т) ∫ + T t t s(t) dt. Постоянная составляющая: (1/Т) ∫ T 0 s(t) dt. Среднее выпрямленное значение: (1/Т) ∫ T 0 |s(t)| dt. Среднее квадратичное значение: ∫ T 0 2 dt x(t) T 1 3.1. Энергетические параметры В теории сигналов широко используются энергетические характеристики. Пусть сигнал представляет изменение напряжения U(t) или тока i(t). Тогда на резисторе с сопротивлением R выделяется мгновенная (текущая) мощность Если мгновенная мощность сигнала используется для сравнения различных сигналов, то можно принять R = 1 Ом («нормировать» мощность). Тогда выражения для мгновенной мощности имеют одинаковый вид. Поэтому в теории сигналов при нято определять мгновенную мощность следующим образом: Энергия и средняя мощность сигнала, заданного на интервале [ t 1 , t2 ] , соответственно определяются выражениями: Если сигнал определен на интервале 0 < t < ∞ , то средняя мощность ЛИТЕРАТУРА 1. Давыдов А.В. Лекции по теории сигналов и ЦОС http://prodav.narod.ru/ 2. Вадутов О.С. http://portal.tpu.ru/SHARED/v/VOS 3. А. Оппенгейм Цифровая обработка сигналов 4. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов 5. Дьяконов В., Абраменкова И. MATLAB обработка сигналов и изображений 6. Юкио Сато Обработка сигналов. Первое знакомство 7. Баскаков С.И. Радиотехнические сигналы и цепи 8. Гоноровский И.С. Радиотехнические сигналы и цепи |