Лекция 10 П. Лекция 10 1 Поток вектора
 Скачать 400.36 Kb.
|
|
Лекция 10 3.1.5. Поток вектора E электростатического поля. Теорема Гаусса – Остроградского для вектора Рассмотрим произвольную поверхность S, которая находится в неоднородном электростатическом поле (риса. Введем понятие потока ФЕ вектора E через произвольную поверхность как = = = = n E S Ed S d E d s s E s E , , α cos Ф Ф (3.12) где S d - вектор, величина которого равна площади dS элементарной площадки, направленный по нормали к площадке dS риса. Рис. 3.5. Поток вектора E равен количеству силовых линий электрического поля, пронизывающих поверхность S. На рис. 3.6 приведены примеры расчета потока E через различные поверхности S (риса, б, в поверхность S - плоская рис. 3.6, г S – замкнутая поверхность. В последнем случае поток E через замкнутую поверхность равен нулю, так как количество линий E , входящих ( + N ) и выходящих ( − N ) из нее, одинаково, но они берутся с противоположными знаками ( 0 cos + , 0 cos − ) [3]. n E E E n S dS α dl Га б обход Рис. 3.6 Поток вектора напряженности можно определить с помощью теоремы Гаусса поток вектора E через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов , охватываемых этой поверхностью, и деленной на εε 0 = S q S d E 0 εε (3.13) Эта теорема является следствием закона Кулона и принципа суперпозиции для электростатических полей. Рассмотрим доказательство теоремы в случае поля точечного заряда. В качестве замкнутой поверхности возьмем сферу радиусом R. Точечный положительный заряд q поместим в центр этой сферы (риса. Рис. 3.7 Таким образом, поток вектора напряженности через выбранную сферическую поверхность равен 0 2 2 0 2 0 0 2 0 ε / π 4 πε 4 πε 4 0 cos πε 4 α cos q R R q dS R q dS R q EdS s s = = = = q E E E E E E E E n n R q q + + а б α=0 Ф = ES Ф = EScosα α Ф = 0 Ф = 0 E E E E α замкнутая поверхность а б в г – – – + + + Поскольку поток вектора электрического поля совпадает с количеством силовых линий, пронизывающих поверхность, то, вместо сферы можно взять произвольную замкнутую поверхность (рис. 3.7, б. При этом полученный результат не изменится, так как число таких линий в случаях аи (б) одинаково. 3.1.6. Применение теоремы Гаусса – Остроградского к расчету электростатических полей Теорему Гаусса применяют для нахождения выражения модуля вектора напряженности в случае электростатических полей, обладающих какой-либо симметрией. Алгоритм применения теоремы Гаусса 1) из симметрии распределения зарядов определить направление вектора E в каждой точке поля 2) выбрать произвольную замкнутую поверхность, содержащую внутри себя заряд (часть заряда, создающего поле, и отражающую симметрию поля. Для удобства, как правило, выбираются поверхности, элементы которых параллельны или перпендикулярны силовым линиям 3) рассчитать поток вектора E через выбранную в п поверхность 4) вычислить заряд, находящийся внутри данной поверхности 5) с помощью теоремы Гаусса, рассчитать модуль вектора напряженности. Рассмотрим конкретные примеры применения теоремы Гаусса. Пример 1. Электрическое поле равномерно заряженной по поверхности бесконечно протяженной плоскости. Поле плоского конденсатора 1 этап Введем поверхностную плотность заряда σ, как заряд, приходящийся на единицу площади поверхности dS dq = σ , (3.14) E E где dq – заряд находящийся на элементарной поверхности dS. Если заряд q равномерно распределен по поверхности S, то поверхностная плотность заряда во всех ее точках будет одинаковой и равной Поле бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскости является однородным (во всех точках поля модуль E одинаков, линии перпендикулярны к плоскости (риса. Рис. 3.8 2 этап. Замкнутую поверхность, через которую будем рассчитывать поток вектора E , выберем в виде цилиндра, образующая которого перпендикулярна к плоскости риса этап Поток ФЕ через боковую поверхность выбранного цилиндра будет равен нулю (=90 0 , линии E не пересекают боковой поверхности) и, поэтому остается только поток через основания цилиндра ( S S S = = 2 1 ) = + = = 2 1 2 α cos α cos α cos s S s e ES EdS EdS EdS 4 этап. Рассчитаем заряд плоскости, попадающий внутрь выбранного цилиндра = = = s s S dS dq q σ σ E n E E E n n r +σ r 0 1 2 а б 5 этап. Для расчета напряженности поля плоскости применяем теорему Гаусса (3.13): 0 εε σ 2 S ES = ; Е, (3.15) где введением σ , учтен случай отрицательно заряженной плоскости [3]. На рис. 3.8, б приведен график зависимости ( ) r E – напряженности поля плоскости от расстояния r от нее. С помощью формулы (3.15) и принципа суперпозиции (3.8) можно расчитать поле плоского конденсатора, как поле двух параллельных плоскостей с равными по модулю и противоположными по знаку поверхностными плотностями зарядов (риса. Применив принцип суперпозиции, видим, что поле конденсатора существует только между его пластинами (рис. 3.9, б, а модуль вектора напряженности этого поля равен 0 Е, (3.16) где q – модуль заряда одной из пластин конденсатора площади S. Рис. 3.9 Пример 2. Поле равномерно заряженной бесконечно длинной прямолинейной нити. +σ –σ +q –q d φ 1 φ 2 б а 1 этап. Введем линейную плотность τ заряда, как заряд, приходящийся на единицу длины нити dl dq = τ , (3.17) где dq – заряд, находящейся на элементе dl длины нити. Если нить заряжена равномерно, то линейная плотность заряда во всех ее точках одинакова и вычисляется как l q = τ , где q - заряд всей нити длиной l. Поле равномерно заряженной нити обладает осевой симметрией – линии E представляют собой прямые, выходящие из нити и лежащие в плоскостях, перпендикулярных к ней (риса. Причем на одинаковых расстояниях от нити, те. на цилиндрических поверхностях, модуль E будет одинаковым [3]. Рис. 3.10 2 этап. Замкнутую поверхность, через которую будем рассчитывать поток вектора E , выберем в виде цилиндра высотой H и радиусом r, ось которого совпадает с нитью. 3 этап. Так как линии напряженности параллельны основаниями пересекают только боковую поверхность цилиндра, то поток E через основания цилиндра равен нулю. Поэтому поток вектора E сквозь выбранный цилиндр равен потоку только через его боковую поверхность E E E E E E n n n r r r 2 r 1 1 E 2 0 0 +τ б а rH E ES EdS EdS бок S s E бок π 2 α cos α cos = = = = 4 этап. Внутрь цилиндра попадает заряд, находящийся на отрезке нити длиной Н H dl dq q = = = τ 5 этап. Чтобы рассчитать напряженность поля нити, используем теорему Гаусса (3.13): r E H rH E 0 0 πεε 2 τ , εε τ π 2 = = (3.18) На рис. 3.10, б приведен график зависимости ( ) r E – напряженности поля нити от расстоянии r от нее. Пример 3. Поле равномерно заряженной (зарядом q) по поверхности сферы радиусом R. 1 этап. Поле такой сферы обладает сферической симметрией – линии E представляют собой прямые, выходящие из центра положительно заряженной сферы заряда q риса. Причем на одинаковом расстоянии от центра сферы, те. на сферических поверхностях, модуль E будет одинаковым [3]. 2 этап. В качестве замкнутой поверхности, через которую будем рассчитывать поток вектора E , выберем сферическую поверхность радиусом R r 3 этап. Поток вектора напряженности через выбранную сферическую поверхность радиуса r равен 2 π 4 α cos : r E dS E EdS R r s s e = = = 4 этап. Внутрь выбранной поверхности попадает весь заряд сферы радиуса R q q = 5 этап. По теореме Гаусса рассчитаем напряженность поля сферы 2 0 0 2 πεε 4 , εε π 4 r q E q r E = = Рис. 3.11 Аналогичный расчет для расстояний r Σ = 0, Е E следует, что внутри сферы поле отсутствует, аза ее пределами оно совпадает с полем точечного заряда q, помещенного в центр сферы [3]: 2 0 2 2 0 πεε 4 : , 0 : r R r q E R r E R r = = = , (3.19) где введена поверхностная плотность заряда σ 2 4 На рис. 3.11, б приведен график зависимости ( ) r E – напряженности поля равномерно заряженной по поверхности сферы от расстояния r от ee центра. Вопросы и задания для самоконтроля к лекции 10 1. Поток вектора напряжённости ФЕ, создаваемого бесконечно протяженной заряженной нитью, через боковую поверхность S цилиндра равен E E E E E E E E n n n n r r r R R E а б 1) Ф 2) Ф Ф Ф. Точечный заряд q 6 − находится внутри замкнутой полой поверхности. Если внутри этой поверхности добавить заряда снаружи q + , то поток вектора напряженности электростатического поля через данную замкнутую поверхность 1) уменьшится 2) увеличится 3) не изменится 3. Точечный заряд находится в центре сферической поверхности. Если увеличить радиус сферической поверхности, то поток вектора напряженности электрического поля через поверхность сферы 1) уменьшится 2) увеличится 3) не изменится 4. Полая металлическая сфера радиусом R заряжена положительным зарядом q. Величина напряженности электрического поля Е на расстоянии R/3 от центра сферы равна R q E E R q E R q E 0 2 0 2 0 εε 4 3 ) 4 0 ) 3 εε 4 9 ) 2 εε 4 ) 1 = = = = 5. Верные соотношения для величины напряженности поля, созданного заряженными плоскостями, в точках 1, 2, 3: 0 2 0 1 εε ) 2 2εε ) 1 = = E E 0 3 1 0 3 εε 2 ) 4 2εε 3 ) 3 = = = E E E |