выф ыв. ввы. 1-Лекция 10. Лекция 10. Совместное применение нескольких фундаментальных законов
 Скачать 0.75 Mb.
|
|
Лекция 10. Совместное применение нескольких фундаментальных законов. План: 1. Предварительные понятия газовой динамики; 2. Уравнение неразрывности для сжимаемого газа; 3. Уравнение движения газа; 4. Уравнение энергии; 5. Краевые условия для уравнений газовой динамики; 6. Некоторые особенности моделей газовой динамики. Законы сохранения массы, импульса, энергии используем для построения математической модели, описывающей течение сжимаемого газа. Обсудим отличия полученной модели от моделей, рассмотренных ранее, а также некоторые следующие из нее свойства газодинамических движений. 1.Предварительные понятия газовой динамики. Заметное изменение плотностей жидкостей и твердых тел может достигаться лишь при огромных давлениях в десятки и сотни тысяч атмосфер и выше. Газообразные среды гораздо легче подвергаются сжатию: при перепаде давления в одну атмосферу плотность газа, первоначально находившегося при атмосферном давлении, уменьшается или увеличивается на величину, сопоставимую с начальной его плотностью. В газовой динамике, изучающей движение сжимаемых сред под действием каких-либо внешних сил или сил давления самого вещества, считается выполненным неравенство L , где -длина свободного пробега, L - характерные размеры области рассматриваемого течения (сплошная среда). Считается также выполненной гипотеза о ЛТР (см. п. 1 § 2). В условиях ЛТР сжимаемую среду можно рассматривать как совокупность большого числа жидких частиц с размерами, много большими , но много меньшими, чем L .Для каждой такой частицы, связанной с небольшой фиксированной массой среды, вводятся характеризующие ее средние величины — плотность , давление , температура , внутренняя энергия и т. д., а также скорость v ее макроскопического движения как единого целого. Все эти величины в общем случае зависят от трех пространственных переменных x , y , z и времени t В дальнейшем будем также предполагать отсутствие в среде процессов теплопередачи, вязкого трения, источников и стоков энергии, например, излучения, и, кроме того, отсутствие внешних объемных сил и источников (стоков) массы в веществе. 2. Уравнение неразрывности для сжимаемого газа. Применим рассуждения, аналогичные тем, что использовались для вывода уравнений неразрывности (7) § 1, (5) § 2 для течения грунтовых вод и процесса теплопередачи. Рассмотрим в некоторой области пространства, занятой движущимся газом, элементарный кубик со сторонами dx , dy , dz и подсчитаем в нем баланс массы за время dt (рис. 33). Здесь x v , y v , z v - компоненты скорости по соответствующим осям. Рис. 33 По оси х x через грань с координатой x в кубик за время dt поступает масса газа, равная dy v x dz dt , посколку величина x v не что иное, как поток массы по направлению оси x . За то же самое время из грани с координатой dx x вытекает масса dt dz dy v d v x x , где через x v d обозначено приращение потока массы при переходе от координаты x к координате dx x . Суммируя оба последних выражения и учитывая, что dx v x v d x x , получаем величину изменения массы в кубике за время dt благодаря движению газа вдоль оси x : dt dz dy dx v x dm x x (1) Точно таким же образом находим изменения массы за счет движения по осям y , z : , dt dz dy dx v z dm dt dz dy dx v y dm z z y y (2) dz dy dx dt t v z v y v x dm dm dm dm z y x z y x В фиксированном объеме кубика изменение находящейся в нем массы газа выражается также через изменение его плотности со временем: dz dy dx dt t dm (3) Суммируя x dm , y dm , z dm и приравнивая результат к dm , получаем из (1)- (3) искомое уравнение неразрывности 0 v di t , (4) выражающее закон сохранения массы вещества применительно к движению сжимаемого газа. По своей форме и смыслу (скорость изменения величины определяется дивергенцией потока этой величины) оно вполне аналогично уравнению неразрывности (7) § 1 и уравнениям (5) § 2, (11) § 3. Однако аналогия с течением грунтовых вод на этом заканчивается. При свободном движении газа его динамика определяется лишь силами давления самого газа, в отличие от движения жидкости, испытывающей сопротивление частиц грунта. Рис.34 3.Уравнения движения газа. Для их получения применим второй закон Ньютона к элементарной жидкой частице, имеющей в некоторый момент t форму кубика с гранями dx , dy , dz (рис. 34).Жидкая частица - это перемещающийся в пространстве и меняющий свою форму объем, содержащий в разные моменты времени t одни и те же атомы и молекулы газа. Тем самым его масса dm постоянна. Для простоты вывода будем считать, что за короткое время dt кубик не меняет своей формы и смещается по всем направлениям на расстояние, много меньшее его размеров. Определим сначала силу, действующую на кубик, например в направлении оси y . Она, очевидно, равна разности давлений на левой и правой гранях, умноженной на их площади (иных сил по предположению нет): dz dx t z dy y x p t z y x p F y , , , , , , Сила y F равна ускорению жидкой частицы в направлении y , умноженному на ее массу dm dx dy dz : dt dv F y y dx dy dz (5) Заменяя в первом выражении для y F разность давлений через производную от давления по y и приравнивая его к (5), приходим к уравнению, описывающему движение газа вдоль оси dy dp dt dv y (6) Точно так же получаем уравнения движения по направлениям x , z : dx dp dt dv x , (7) dz dp dt dv z , (8) имеющие, как и (6), очевидный физический смысл. В векторной форме уравнения (6)-(8) имеют вид gradp dt v d (9) Поясним, что в (6)-(9) через dt df / обозначена полная (субстанциональная, т. е. связанная с фиксированными частицами газа) производная по времени какой-либо величины, характеризующей данную неизменную массу газа. Раскрыв dt df / через частные производные по x , y , z и t в соответствии с правилом f grad v t f dt df / / , придем к уравнениям движения Эйлера gradp v grad v t v 1 (10) Будучи записаны покоординатно, они принимают вид x p z v v y v v x v v t v x z x y x x x 1 , (11) y p z v v y v v x v v t v y z y y y x y 1 , (12) z p z v v y v v x v v t v z z z y z x z 1 (13) В отличие от течения грунтовых вод, градиенты давления в уравнениях движения газа (6)-(13) определяют компоненты ускорения вещества, а не компоненты его скорости (ср. с законом Дарси (9) § 1). Уравнения (4), (11)-(13) содержат пять неизвестных величин - , p , x v , y v , z v . Для их замыкания естественнее всего использовать закон сохранения энергии. 4. Уравнение энергии. Для его получения используем ту же упрощенную схему, что и в п. 3: будем рассматривать изменение внутренней энергии фиксированной массы газа dm за короткий промежуток времени dt Так как по сделанным допущениям в веществе отсутствует теплопроводность, вязкость и источники (стоки) энергии, то это изменение вызывается лишь работой сил давления на гранях кубика при его сжатии или расширении. Работа давления, связанная с движением граней объема вдоль оси x , очевидно, равна dz dy dt dx x v x v p dA x x x , где слагаемые в скобках можно, отбрасывая члены второго порядка малости, переписать через производую x v x / и получить x v p dA x x dx dy dz dt . Здесь p - среднее давление в элементарном объеме. Аналогично, y v p dA y y dx dy dz dt , z v p dA z z dx dy dz dt . Полная работа, совершенная над газом за время dt , есть v pdiv dA dA dA dA z y x dx dy dz dt Она равна изменению внутренней энергии объема, т. е. dz dy dx d dA , - удельная внутренняя энергия. Приравняв оба выражения для dA и устремив к нулю dt , окончательно получим 0 div v p dt d , (14) где dt d / - полная (субстанциональная) производная внутренней энергии по времени. Заметим, что с помощью уравнений неразрывности и движения уравнение (14) приводится, подобно (4), к дивергентному виду pv v v v t 2 div 2 2 2 (15) Слева в (15) стоит производная от полной (внутренней и кинетической) энергии газа в данной точке пространства. Так как термодинамические свойства вещества предполагаются известными, то - известная функция уже введенных величин p и , и уравнение (14) либо (15) дает недостающую связь для определения искомых газодинамических величин. 5. Уравнения газовой динамики в лагранжевых координатах. В полученных моделях течение газа характеризуется зависимостью величин от декартовых координат x , y , z и времени t . Этот способ описания (эйлеров подход) трактует движение среды с точки зрения неподвижного стороннего наблюдателя и удобен, например, при изучении обтекания газом моделей летательных аппаратов в аэродинамических трубах. В лагранжевом подходе координата связывается не с определенной точкой пространства, а с определенной, фиксированной частицей вещества - жидкой частицей. Лагранжевы координаты удобны, например, при анализе некоторых внутренних процессов, протекающих в частице, скажем, химических реакций, скорость которых определяется не пространственным положением частицы, а ее температурой и плотностью. Лагранжев подход может быть полезен и по другим причинам: он, например, неявно использовался в пп. 3, 4 для упрощенного вывода уравнений движения и энергии (рассматривалась жидкая частица в виде кубика). Особенно наглядную и простую форму газодинамические уравнения в лагранжевых координатах имеют в одномерном случае. Действительно, взяв в направлении оси x столб единичного сечения, левая граница которого подвижна и связана с фиксированными частицами вещества, можно ввести лагранжеву координату по правилу x x dx t x x m 0 , , dx dm , (16) где ) ( 0 t x - координата частиц столба на его левом конце, ) (t x - текущая координата (в качестве частицы с координатой ) ( 0 t x можно выбрать частицу около твердой стенки, ограничивающей газ, или у границы с пустотой, если таковые имеются). Величина c - масса столба между точками 0 x , x Связь (16) дает наиболее естественный и простой способ введения. лагранжевой переменной (называемой в этом случае массовой координатой). Теперь все газодинамические величины трактуются как зависящие не от , x t а от t m, . Получим для них уравнения движения из одномерных уравнений в эйлеровой форме x v x v t , x p x v v t v 1 , (17) x v p x v t Выражения, стоящие в (17) слева, это уже вводившиеся субстанциональные производные, описывающие изменение со временем величин, относящихся к фиксированной массовой координате m . Тогда, используя (16), из (17) получаем m v t 1 , (18) m v t v , (19) m v p t (20) Здесь t / - субстанциональная производная по времени от соответствующих величин. Физическая трактовка уравнений движения (19) и энергии (20) та же, что и в эйлеровых координатах (в отличие от уравнения неразрывности (18)). Последнее представляет собой очевидное свойство: объем (а с ним и плотность) фиксированной жидкой частицы изменяется со временем благодаря разности скоростей на ее границах. С помощью (19) уравнение энергии можно записать в дивергентном виде pv m v t 2 2 , (21) где слева стоит производная по времени относительно полной энергии частицы. Если решение лагранжевых уравнений найдено, в частности, найден удельный объем t m t m V , / 1 , , то зависимость газодинамических функций от эйлеровой координаты находится из квадратуры (см. (16)) dm t m V dx , , m t x dm t m V t m x 0 0 , , С помощью таких же рассуждений нетрудно получить лагранжевы уравнения в случае цилиндрической и сферической симметрии, когда газодинамические величины зависят лишь от одной пространственной координаты r ( r - расстояние от оси или от центра симметрии) и от времени t . Они также имеют весьма простой и наглядный вид, чего нельзя сказать о двумерном и трехмерном случае. Несмотря на разные формы записи, эйлеровы и лагранжевы уравнения газовой динамики обладают, естественно, аналогичными свойствами, являясь нелинейными гиперболическими уравнениями в частных производных (нестационарными и в общем случае многомерными). На их основе получаются более сложные модели движения сжимаемых сред, включающие дополнительные физические процессы. Так, для газа, обладающего теплопроводностью, участвующей в процессе переноса энергии, уравнения неразрывности (18) и движения (19) остаются в силе, а уравнение энергии приобретает вид m W dm dv p t , (22) где m T W / - поток тепла, T , - коэффициент теплопроводности. Внутренняя энергия жидкой частицы такого газа изменяется не только за счет работы сил давления, но и из-за наличия теплопередачи. Более простые, чем (18)—(20), модели газовой динамики получаются при соответствующих дополнительных предположениях (см. п. 7). 6.Краевые условия для уравнений газовой динамики. Наиболее наглядна их постановка в случае одномерного течения газа, описываемого уравнениями (18)-(20). Рассмотрим такое течение в трубе, внутри которой помещен газ, ограниченный справа и слева непроницаемыми твердыми стенками - поршнями (рис. 35). Частицам, находящимся у левой стенки, припишем координату 0 m ; тогда координата частиц у правой стенки равна M m , где M - полная масса газа между поршнями в столбе единичного сечения. Внутренние частицы имеют координату M m 0 . Уравнения (18)- (20) рассматриваются в области M m 0 и при 0 t Для определения течения при всех M m 0 и 0 t необходимо задать: 1) начальные условия, т. е. состояние газа в момент 0 t , m v m v o 0 , , m p m p o 0 , , m m o 0 , , (23) M m 0 ; в (23) вместо p или можно, пользуясь уравнениями состояния среды, задавать начальную температуру m T m T 0 0 , ; 2) граничные условия, т. е. зависимость от времени газодинамических величин на границах 0 m , M m , например, закон изменения давления t p t o p 1 , , t p t M p 2 , , 0 t , (24) или закон изменения скорости поршней (т. е. их траекторию в эйлеровых координатах, так как v t x / ) t v t v 1 , 0 , t v t M v 2 , , 0 t (25) Знание краевых условий (23) и (24) (либо (25)) полностью определяет однозначное решение рассматриваемой задачи о поршне. В качестве граничных условий допускаются также различные комбинации (24) и (25), когда на левой границе поддерживается известное давление t p 1 , а на правой задается известная скорость t v 2 (или наоборот, как на рис. 35). Рис. 35 Если интересоваться лишь течением в окрестности одного из поршней, считая влияние второго поршня несущественным, то достаточно задать лишь одно из условий (24) (или (25)), например, при 0 m , и условие (23) при всех 0 m (газ занимает полупространство, ограниченное слева поршнем). Наконец, граничные условия (24) или (25) вообще не задаются, когда влиянием границ на движение газа в центральной области можно пренебречь (рассматривая процесс при достаточно малых временах). Тогда из исходной задачи для уравнений (18)-(20) получается задача Коши - задача об эволюции со временем некоторого первоначального распределения газодинамических величин, заданного в неограниченном пространстве. При этом начальные данные (23) определены для всех - m , а уравнения решаются в области - 0 , t m Важный класс краевых условий - условия на границе с вакуумом. Пусть сильно сжатый газ, имеющий высокое давление, начинает истекать в сравнительно разреженную среду, находящуюся при низком давлении. Идеализируя этот процесс, можно считать давление и плотность в пространстве, в которое истекает газ, равными нулю, т. е.задавать условие 0 , 0 1 t t p , либо 0 , 0 2 t t p (либо 0 , 0 2 1 t t p t p ), в зависимости от конкретной постановки задачи. 7. Некоторые особенности моделей газовой динамики. Для пояснения этих особенностей предварительно упростим уравнения (18)-(20), используя два обстоятельства. Первое из них - отсутствие в среде (по предположению) изменений энергии за счет теплопроводности, вязкости, излучения, внешних источников и стоков энергии и т. д.С термодинамической точки зрения это означает, что процесс адиабатический и энтропия S каждой фиксированной жидкой частицы со временем не меняется. Тогда уравнение энергии (20) можно переписать в эквивалентной форме 0 t S (26) В этом нетрудно убедиться, также чисто формально применяя второе начало термодинамики pdV d TdS (27) к жидкой частице. Второе обстоятельство - особенная простота выражения энтропии через давление и плотность в случае идеального газа: 0 V ln S p С S , (28) где 1 - показатель адиабаты, равный отношению удельной теплоемкости при постоянном давлении p C и постоянном объеме V C , 0 S - несущественная константа. Из (26) с учетом (28) имеем 0 t p , что эквивалентно выражению ) (m p , (29) означающему независимость от времени энтропии любой частицы газа. Функция ) (m описывает распределение энтропии по массе газа, определяемое по заданным в момент 0 t функциям 0 ) ( , 0 ) ( 0 0 m m p Используя интеграл (29) вместо дифференциального уравнения (20), сведем (18), (19) к дифференциальному уравнению второго порядка относительно плотности: m m t 1 0 2 2 , (30) где 0 0 ,а постоянная ( 0 - энтропия, предполагаемая не зависящей также и от массовой координаты (случай изэнтропического течения). Гиперболичность уравнения (30) и тем самым уравнений газовой динамики легко установить не прибегая к вычислению характеристик, а получив его линейный аналог. Для этого рассмотрим малые возмущения газодинамических величин в окрестности постоянного решения 0 , t m Представляя возмущенное решение в виде 0 , t m и предполагая малыми как сами возмущения, так и их производные, из (30) получаем уравнение для (черточку опускаем): 2 2 2 0 2 2 m c t (31) Линейное уравнение (31) полностью аналогично уравнению колебаний струны из § 2 гл. III, имеющему, как известно, гиперболический тип. Оно описывает распространение малых (звуковых) возмущений в газе (уравнение акустики) со скоростью звука 0 0 0 / p c и, в силу линейности, для него нетрудно найти общее решение. Еще одно упрощение уравнений (18), (19), (29) получается в предположении о том, что течение имеет характер простой волны, т. е. любые газодинамические величины являются функциями какой-то одной выбранной величины, например плотности. Из (18), (19), (29) и с учетом того, что , v v получаем m v t p 2 1 , m t v p 1 0 , где p v - производная скорости по плотности. Исключая из последних уравнений величину p v , приходим к уравнению Хопфа 0 2 1 0 m t (32) Уравнение (32) первого порядка, но оно содержит типичную газодинамическую нелинейность, и поэтому служит хорошей моделью для изучения нелинейных эффектов, характерных для течений сжимаемого газа. Самый яркий из них - «градиентная катастрофа», заключающаяся в появлении в волнах сжатия бесконечных градиентов газодинамических величин, несмотря на то, что в начальный момент времени все функции являются гладкими. Поясним это понятие следующими простыми рассуждениями. Уравнение Хопфа может быть записано в характеристическом виде 0 s dt d (33) Здесь индекс s означает, что полная производная по времени берется вдоль характеристики - линии в координатах m , t , на которой значение решения (плотности) остается постоянным во все моменты. Раскрывая (33) в виде 0 m dt t dm t s , (34) где t m s -значение координаты т для данной характеристики в разные моменты времени, и сравнивая (32) и (34), находим уравнение характеристики 0 2 1 0 s s m t t m Из этого выражения видно, что состояния с большим значением плотности распространяются по массе газа с большей скоростью, чем состояния с меньшей плотностью, и в какой-то момент времени «догоняют» последние. В решении образуется неоднозначность, его градиенты в точке «слияния» состояний с разными плотностями неограниченно возрастают. Схематически этот процесс изображен на рис. 36, где показана эволюция со временем начального профиля плотности треугольной формы: вершина треугольника через некоторое время оказывается в точке с той же координатой k m , что и его передний фронт. Рис.36 «Градиентная катастрофа» — нелинейный эффект (подробнее см. гл. V). Он не возникает в линейном уравнении (31) и линейном уравнении переноса (3) § 1, получающемся из (32) при рассмотрении малых возмущений в окрестности постоянного решения. Существование этого эффекта приводит к необходимости рассматривать разрывные решения уравнений газовой динамики (заметим, что при прохождении разрыва через жидкую частицу ее энтропия изменяется). В этом состоит важное отличие нелинейных гиперболических уравнений от параболических (модели в § 1, 2). Контрольные вопросы и задания 1.Что понимается под сплошной средой? 2.Какой закон выражает уравнение неразрывности? 3.Какой закон используется для вывода уравнения движения газа? 4.При вывода уравнения движения газа как и движущие силы учитываются? 5.Какой закон выражает уравнение энергии для газа? 6.Чем отличаются эйлеров и лагранжев подходы? 7.Как вводятся лагранжевые координаты? 8.К какому типу относятся уравнения движения газа? 9.Для каких функций задаются начальные условия? 10.Для каких величин задаются граничные условия? 11.Что означает ”градиентная катастрофа” ? Литература 1.Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2 изд. испр. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 320 с. 2.Ашихмин В.Н., Гитман И.Б., Келлер И.Э. и др. Введение в математическое моделирование. - М.: Логос, 2005. – 440 с. 3. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. - М: Комкнига. 2007. – 192 с. 4. Lawson D. Marion G. An introduction to mathematical modeling. 2008. http//people.maths.bris.as.uk 5. Kuznetsov Iu.A. Mathematical modelling of biological processes. Nizhni Novgorod. 2015. www.unn.ru/books/met-files/kuznetsov_IuA_IEE_01.pdf 6. Moghadas S.M., Taberi-Douraki M. Mathematical modelling. A graduate textbook. John Wiley and Sons, Inc. 2019. 7. Heinz Stefan. Mathematical modelling. Springer.2011. www.twirpx.com. |