Уравнения параболического типа. Лекция 10 Уравнения параболического типа
 Скачать 62.29 Kb.
|
|
Лекция 10 Уравнения параболического типа Ключевые слова: уравнения параболического типа, уравнение теплопроводности, уравнение диффузии, интеграл Фурье, одномерное уравнение, двумерное уравнение. Уравнения параболического типа получаются при исследовании таких физических явлений, как теплопроводность, диффузия, распространение электромагнитных полей в проводящих средах, движение вязкой жидкости. К уравнениям параболического типа относятся уравнения теплопроводности, уравнения диффузии. Они могут быть одномерными, двумерными или трехмерными, однородными или неоднородными. Одномерная задача о распределении температуры в стержне приводится к исследованию уравнения теплопроводности, которое в общем виде может быть представлено в виде:  где  - коэффициент теплопроводности, зависящий от свойств материала,  - удельная теплоемкость и плотность вещества,  - функция плотности тепловых источников. Если стержень однородный, это уравнение примет вид:  где  - коэффициент температуропроводности,  .Если объемные источники тепла отсутствуют, то получим  Для нахождения единственного решения уравнения теплопроводности или диффузии необходимо задать начальные и граничные условия. Так как в уравнении теплопроводности содержится только первая производная по времени, начальное условие будет одно - оно будет определять значение искомой функции в начальный момент времени. Существует множество граничных условий. Основными видами являются граничные условия краевых задач первого, второго и третьего типа. Первая краевая задача поставлена, если на конце стержня поддерживается температура, изменяющаяся по определенному закону:  где  - заданная функция времени.Вторая краевая задача поставлена, если на конце стержня задан тепловой поток  . Например: Тогда граничное условие примет вид:  В случае теплоизолированного конца тепловой поток через него отсутствует и  Третья краевая задача поставлена, если на конце стержня происходит теплообмен с окружающей средой. Граничное условие в этом случае имеет вид:  где   - температура окружающей среды,  - коэффициент теплообмена.Также существуют и другие граничные условия. Например, если процесс теплопроводности изучается на ограниченном участке, находящемся достаточно далеко от концов стержня, что их влияние практически не будет сказываться, то стержень можно считать бесконечным и задать только начальное условие где - заданная функция времени.В случае, когда изучаемый участок стержня находится вблизи от одного его конца и далеко от другого конца, то можно ставить задачу для полубесконечного стержня, формулируя начальное и одно граничное условие. Можно рассмотреть еще один предельный случай, когда процесс теплопроводности изучается в течение длительного времени. В этом случае влияние начальных условий будет с течением времени ослабевать и распределение температуры будет определяться только граничными условиями. Рассмотрим простейший процесс такого типа – охлаждение бесконечного стержня. В начальный момент времени температура неравномерно нагретого длинного стержня задана функцией  . Требуется найти распределение температур для любого  . Стержень очень длинный, поэтому температурные условия на его концах можно не учитывать. При отсутствии тепловых источников температура различных точек стержня определяется уравнением .Для решения задачи воспользуемся методом разделения переменных. Представив решение в виде  , получим . Решение этих уравнений имеет вид:  .В результате получаем следующее семейство частных решений уравнения  .Так как с течением времени температура стержня не может возрастать, показатель экспоненты в  должен быть отрицательным. Следовательно,  и  - вещественное число. Причем  . Чтобы получить решение, удовлетворяющее начальному условию, надо взять суперпозицию частных решений, соответствующих различным значениям . Но так как в рассматриваемом случае изменяется непрерывно, сумму нужно заменить интегралом: ,Неизвестные функции  должны быть такими, чтобы выполнялось условие :  Это интеграл Фурье. Используя теорию интегралов Фурье, найдем  . |