Лекция 13. Поток векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса.. Лекция 12. Поток векторного поля. Формула ОстроградскогоГаусса. Дивергенция и циркуляция векторного поля
 Скачать 148.81 Kb.
|
|
Лекция 12. Поток векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция и циркуляция векторного поля. Понятие потока векторного поля Пусть векторное поле образовано вектором ( ) r a M . Для наглядности будем считать ( ) r a M вектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность S находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество жидкости протекает через поверхность S. Выберем определенную сторону поверхности S. Пусть (cos , cos , cos ) r n = α β γ − единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности S. Разобьем поверхность на элементарные площадки 1 2 , , ..., n S S S . Выберем в каждой площадке точку ( 1, 2, ..., ) i M i n = (см. рис. 4) и вычислим значение вектора ( ) r a M в каждой точке: 1 2 ( ), ( ), ..., ( ) r r r n a M a M a M Будем приближенно считать каждую площадку плоской, а вектор r a постоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу времени через i S протекает количество жидкости, приближенно равное i i i h S Π ≈ ⋅ ∆ , где i S ∆ − площадь i-й площадки, i h − высота i-го цилиндра с образующей ( ) r i a M . Но i h является проекцией вектора ( ) r i a M на нормаль r i n : Пр ( ) ( ) r r r r i i n i i i h a M a M n = = ⋅ , где r i n − единичный вектор нормали к поверхности в точке i M . Следовательно, общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за единицу времени, найдем, вычислив сумму 1 1 ( ) r r n n i i i i i i a M n S = = Π ≈ Π = ⋅ ⋅ ∆ ∑ ∑ Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа элементарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров i d площадок): 1 (max 0) lim ( ) r r i n i i i n i d a M n S →∞ = → Π = ⋅ ⋅ ∆ ∑ или, согласно определению поверхностного интеграла первого рода ( ) r r S a M ndS Π = ⋅ ∫∫ Независимо от физического смысла поля ( ) r a M полученный интеграл называют потоком векторного поля. Потоком вектора r a через поверхность S называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности, т.е. Рис. 4 S a ndS Π = ⋅ ∫∫ r r Так как (cos , cos , cos ) r n = α β γ , ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) r a P x y z Q x y z R x y z = , то поток вектора a r , можно записать в виде ( cos cos cos ) S P Q R dS Π = α + β + γ ∫∫ Используя взаимосвязь поверхностных интегралов I и II рода, поток вектора можно записать как ( ). S Pdydz Qdxdz Rdxdy Π = + + ∫∫ Отметим, что поток Π вектора a r есть скалярная величина. Величина Π равнаобъему жидкости, котораяпротекаетчерезповерхность S заединицувремени. В этом состоит физическийсмыслпотока. Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем V. Тогда поток вектора записывается в виде r r S andS Π = ∫∫ В этом случае за направление вектора нормали r n обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности S. Если векторное поле ( ) r r a a M = есть поле скоростей текущей жидкости, величина потока Π через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V и втекающей в нее за единицу времени. При этом если Π > 0, то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополнительные источники. Если Π < 0, то внутри области V имеются стоки, поглощающие избыток жидкости. Можно сказать, что источники – точки, откуда векторные линии начинаются, а стоки – точки, где векторные линии кончаются. Так, в электростатическом поле источником является положительный заряд, стоком – отрицательный заряд. Если Π = 0, то из области V вытекает столько же жидкости, сколько в нее втекает в единицу времени; внутри области либо нет ни источников, ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимно компенсируется. Пример. Дано электрическое векторное поле, в каждой точке которого по закону Кулона действует вектор F r = (ae/r 2 ) 0 r r , где r − расстояние данной точки от начала координат, e − положительный электрический заряд, 0 r r − единичный вектор, направленный по радиусу-вектору данной точки, a − const. Определить поток векторного поля через сферу x 2 + y 2 + z 2 = R 2 . Решение. Поток равен поверхностному интегралу 0 2 S S ae FndS r ndS r Π = = ∫∫ ∫∫ r r r r Точки сферы S отстоят от начала координат на расстоянии r = R =const. Нормальный вектор к поверхности S параллелен радиусу-вектору, поэтому 0 r n r r = l , тогда 2 сф 2 2 2 4π 4π S ae ae ae dS S R ae R R R Π = = = = ∫∫ Формула Остроградского-Гаусса Область Τ в пространстве, ограниченная кусочно-гладкой поверхностью Σ , называется простымтелом, если всякая прямая, проходящая через точку Τ ∈ M и параллельная координатной оси, пересекает Σ не более чем в двух точках. Связь между поверхностным интегралом по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области устанавливается в следующей теореме. Теорема 1. Пусть Τ - простое тело, а Τ Σ ∂ = - кусочно-гладкая поверхность. Функции ( ) M P , ( ) M Q , ( ) M R и их частные производные ( ) M P x ′ , ( ) M Q y ′ , ( ) M R z ′ непрерывны на множестве Σ Τ ∪ . Пусть + Σ - внешняя сторона поверхности Σ . Тогда справедлива формула ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y x M R z x M Q z y M P z y x M R Q M P z y x d d d d d d d d d Σ Τ Σ + + = ′ + ′ + ′ ∫∫∫ ∫∫ ∪ + , которая называется формулой Остроградского – Гаусса. Доказательство. Представим внешнюю сторону поверхности в виде объединения незамкнутых частей: − + + ∪ ∪ = 3 0 2 1 Σ Σ Σ Σ (см. рисунок 1). Пусть поверхность + 1 Σ задана явно уравнением ( ) y x f z , 1 = , ( ) D y x ∈ , , поверхность − 3 Σ задана явно уравнением ( ) y x f z , 2 = , ( ) D y x ∈ , . Функции ( ) y x f , 1 , ( ) y x f , 2 непрерывно дифференцируемы в замкнутой области D . Поверхность 0 2 Σ - цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Oz z + 1 Σ 1 n r 0 2 Σ 2 n r 3 n r − 3 Σ O y D x Рисунок 1. Поскольку тройной интеграл в доказываемой формуле можно представить суммой тройных интегралов от каждого слагаемого подынтегральной функции, то рассмотрим, к примеру, интеграл от функции ( ) M R z ′ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = ′ = ′ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∪ y x M R z M R y x z y x M R y x f y x f D D y x f y x f z z d d d d d d d d , , Σ Τ , , 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ − = − = D D y x y x f y x R y x y x f y x R y x f y x R d d , , , d d , , , , , , 1 2 1 ( ) ( ) ∫∫ − D y x y x f y x R d d , , , 2 Поскольку ( ) ∫∫ = 0 2 Σ 0 d d y x M R , то по формулам для вычисления поверхностных интегралов второго рода и их свойствам имеем: ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = ′ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ − + ∪ 3 0 2 1 Σ Σ Σ Τ Σ d d d d d d d d d y x M R y x M R y x M R z y x M R z ( ) ∫∫ + Σ d d y x M R Аналогично устанавливаются равенства ( ) ( ) ∫∫∫ ∫∫ ∪ + = ′ Σ Τ Σ d d d d d z y M P z y x M P z , ( ) ( ) ∫∫∫ ∫∫ ∪ + = ′ Σ Τ Σ d d d d d z x M Q z y x M Q z Складывая почленно последние три равенства получаем формулу Остроградского- Гаусса. Теорема доказана. Понятие дивергенции. Формула Остроградского–Гаусса в векторной форме Важной характеристикой векторного поля является так называемая дивергенция, характеризующая распределение и интенсивность источников и стоков поля. Дивергенцией (или расходимостью) векторногополя ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) r r r r a M P x y z i Q x y z j R x y z k = + + в точке M называется скаляр вида P Q R x y z ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ и обозначается символом div ( ) r a M , т.е. div ( ) r P Q R a M x y z ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ Отметим некоторые свойства дивергенции. 1. Если r a – постоянный вектор, то div 0 r a = 2. div( ) div r r c a c a ⋅ = ⋅ , где const c = 3. div( ) div div r r r r a b a b + = + 4. Если U – скалярная функция, r a − вектор, то div( ) div grad r r r U a U a a U ⋅ = ⋅ + Используя понятие потока и дивергенции векторного поля, запишем формулу Остроградского–Гаусса в так называемой векторной форме. Рассматривая область V, ограниченную замкнутой поверхностью S, можно утверждать, что левая часть формулы Остроградского-Гаусса есть поток вектора a r через поверхность S; подынтегральная функция правой части формулы есть дивергенция вектора a r . Следовательно, формулу Остроградского-Гаусса можно записать в виде div r r r S V a ndS adxdydz Π = ⋅ = ∫∫ ∫∫∫ Формула Остроградского–Гаусса означает, что потоквекторногополячерез замкнутуюповерхность S (внаправлениивнешнейнормали, т.е. изнутри) равентройному интегралуотдивергенцииэтогополяпообъему V, ограниченномуданнойповерхностью. Как видно из определения дивергенция векторного поля в точке является скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном векторном поле. Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают, что ( ) r a M есть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что: при div ( ) 0 r a M > точка M представляет собой источник, откуда жидкость вытекает; при div ( ) 0 r a M < точка M есть сток, поглощающий жидкость. Как следует из последнего равенства, величина div ( ) r a M характеризуетмощность (интенсивность, плотность) источникаилистокавточке M. В этом состоит физическийсмыслдивергенции. Понятно, что если в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S, нет ни источников, ни стоков, то div 0 r a = Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна нулю, т.е div 0 r a = , называется соленоидальным . Пример. Найти поток радиуса вектора r r = x i r + y j r + z k r через замкнутую поверхность S: z = 1 - 2 2 , x y + z = 0 (0 1 z ≤ ≤ ). Решение. Найдем дивергенцию данного векторного поля: div r r = 3 x y z x y z ∂ ∂ ∂ + + = ∂ ∂ ∂ Искомый поток найдем по формуле Остроградского −Гаусса (при вычислении нтеграла используем цилиндрические координаты): 1 2 1 0 0 0 2 1 0 0 div 3 3 1 1 3 (1 ) 3 2 ( ) 2 3 V V dxdydz dxdydz d d dz d d −ρ π π Π = = = ϕ ρ ρ = = ϕ ρ − ρ ρ = ⋅ π − = π ∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ r Циркуляция векторного поля Пусть векторное поле образовано вектором ( ) r a M . Возьмем в этом поле некоторую замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление (рис. 2). Пусть r r r r r xi yj zk = + + − радиус-вектор точки M на контуре L. Известно, что вектор r r r r dr dxi dyj dzk = + + направлен по касательной к кривой в направлении ее обхода (рис. 2) и | | r dr dl = , где dl − дифференциал дуги кривой ( 2 2 2 ( ) ( ) ( ) dl dx dy dz = + + ). Криволинейный интеграл по замкнутому L от скалярного произведения вектора r a на вектор dr , касательный к контуру L, называется циркуляцией вектора r a вдоль L, т.е. r L C a dr = ⋅ ∫ Рис. 2 Так как a dr Pdx Qdy Rdz ⋅ = + + , то последнее равенство можно также записать в виде ( ). L C Pdx Qdy Rdz = + + ∫ Циркуляция C, записанная в этом виде имеет простой физическийсмысл: есликривая L расположенавсиловомполе, тоциркуляция – этоработасилы ( ) r a M поляпри перемещенииматериальнойточкивдоль L. Пример. Найти циркуляцию вектора a r = (x 2 - y) i r + x j r + k r вдоль окружности L: x 2 + у 2 = 1, z = 1 в положительном направлении. Решение. Параметрические уравнения данного контура L имеют вид x = cost, y = sint, z = 1, 0 2 t ≤ ≤ π Найдем циркуляцию, сводя вычисление криволинейного интеграла второго рода к вычислению определенного интеграла по параметру t: C = C adr ∫ r r = L Pdx ∫ + Q dy + R dz= ( ) ( ) 2π 2π 2π 2 2 0 0 0 cos sin cos cos sin L x y dx xdy dz t t d t td t dt = − + + = − + + = ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2π 2π 2π 2π 3 2 2 2 2 0 0 0 0 cos sin cos sin cos cos cos 2π 2π. 3 t t t t t dt dt td t = − + = + = + = ∫ ∫ ∫ |