Лекция 19. Формула Тейлора. Ряд Тейлора. Лекция 19. Формула Тейлора. Ряд Тейлора. 19 Формула Тейлора1

• Название: Лекция 19. Формула Тейлора. Ряд Тейлора. 19 Формула Тейлора1
• Анкор: Лекция 19. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.doc
• Дата: 01.03.2018
• Размер: 362.5 Kb.
• Имя файла: Лекция 19. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.doc
• Тип: Лекция; #16092

Лекция 19. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.
19.1. Формула Тейлора¹.
Рассмотрим произвольный многочлен степени n:

.

Пусть – любое фиксированное число. Полагая , получим:

. (19.1)

Запишем также в виде

, (19.2)

где – числа, зависящие от и – коэффициенты разложения по степеням . Например, .

Из (19.1) не видно, что от на самом деле не зависит. Найдём производные :

. (19.3)

Следующие производные равны нулю.

Полагая в формулах (19.2) и (19.3) , получаем:

, , , , ,

то есть

. (19.4)

Таким образом,

. (19.2*)

Это формула Тейлора для многочлена по степеням .

Отметим, что правая часть (19.2*) фактически не зависит от .
 Пример 19.1. Пусть , .

,

, ,

после чего получаем формулу бинома Ньютона

. 
19.2. Остаточный член формулы Тейлора.
Рассмотрим любую функцию , которая имеет непрерывные производные до -го порядка в некоторой окрестности точки . Составим многочлен Тейлора n-й степени по степеням :

. (19.5)

совпадает с функцией в точке , но для всех x он не равен . Кроме того,

, , .

Положим

. (19.6)

Здесь – остаточный член формулы Тейлора. Он показывает, какую погрешность мы допускаем при замене на многочлен Тейлора (19.5).
Если функция имеет в окрестности точки непрерывную производную , то для из этой окрестности найдётся точка такая, что



(остаточный член в форме Лагранжа).

Функцию можно записать в виде:

. (19.6*)

Если , то формулу (19.6*) называют формулой Маклорена¹.

Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора.
Остаточный член в форме Коши: , где .

Формула Тейлора с остаточным членом в смысле Пеано²:

.

Эта формула приспособлена для изучения функции в окрестности точки .
19.3. Ряд Тейлора.
Определение 19.1. Выражение вида

, (19.7)

или

, (19.7*)

где – числа, зависящие от индекса k, называется рядом (числовым рядом).

Определение 19.2. Конечные суммы называются частичными суммами ряда (19.7).

Определение 19.3. Если существует конечный предел

, (19.8)

то говорят, что ряд (19.7) сходится к числуS и называют Sсуммой ряда:

.

Определение 19.4. Если предел частичных сумм S_n ряда (19.7) не существует или равен , то ряд (19.7) называется расходящимся рядом.
Если функция имеет производные любого порядка в окрестности точки , то можно функцию представить в виде суммы

.

Такое разложение называется рядом Тейлора функции по степеням . Если , то это будет ряд Маклорена.

Особый интерес представляет тот случай, когда ряд Тейлора функции по степеням сходится в некоторой окрестности точки и при том к самой функции . Если это имеет место, то

, , (19.9)

то есть функция есть сумма её ряда Тейлора в некоторой окрестности точки . В этом случае говорят, что функция разлагается в ряд Тейлора по степеням , сходящийся к ней.
♦ Теорема 19.1. Пусть функция на отрезке имеет производные любого порядка и остаток её формулы Тейлора стремится к нулю при на этом отрезке:

. (19.10)

Тогда функция разлагается в ряд Тейлора на этом отрезке.

Доказательство. Пусть функция имеет на отрезке производные любого порядка. Тогда эти производные непрерывны на , потому что если имеет производную на , то производная непрерывна на .

Поэтому для нашей функции имеет смысл формула Тейлора:

, .

В силу (19.10)

.

То есть в этом случае многочлен Тейлора функции по степеням стремится при к самой функции:

, . (19.11)

А это означает, что ряд Тейлора функции сходится на и имеет своей суммой :

, . ■
♦ Теорема 19.2 (достаточный критерий сходимости остатка формулы Тейлора к нулю). Если функция имеет на отрезке производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числом , , то остаток её формулы Тейлора на этом отрезке стремится при к нулю:

. (19.12)

Доказательство. Воспользуемся формой Лагранжа остаточного члена:

. (19.13)

Так как правая часть (19.13) стремится к нулю при , то имеет место (19.12). ■
19.4. Формулы и ряды Тейлора элементарных функций.
1) . Эта функция бесконечно дифференцируема на :

, , , .

Формула Тейлора с и остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид:

, , .

На отрезке

,

где при . То есть на функция разлагается в ряд Маклорена по степеням x:

.

 Пример 19.2. Вычислим e с точностью до 0,001:

, где , .

Надо подобрать n настолько большим, чтобы . Так как , решим неравенство . Оно начинает выполняться при . Следовательно,

. 
2) . Данная функция имеет производную любого порядка и

.

Надо учесть, что

Функция разлагается в сходящийся к ней на ряд Тейлора по степеням x:

.

Формула Тейлора функции по степеням x имеет вид:

,

где

, .

Отсюда следует, что и

.

 Пример 19.3. Вычислим .

Ряд Тейлора для синуса . Поэтому

,

то есть .

На самом деле остаток имеет вид , но для наших целей достаточно . Надо иметь в виду, что если некоторая функция от x есть , то она есть также (но вообще не наоборот). 
3) . Аналогично можно получить, что

.

 Пример 19.4. (с точностью до ). 

 Пример 19.5. Вычислим .

По аналогии с примером 19.3 получим

,

то есть . 
4) Функция определена и сколько угодно раз дифференцируема для . Для при запишем формулу Тейлора. Так как , , то формула Тейлора имеет вид:

.

При , поэтому

.

Например, .
5) Функция . Производные , . Формула Тейлора по степеням x имеет вид:

.

Для при , поэтому

.

Если , то функция есть многочлен. В этом случае для и ряд представляет собой конечную сумму – многочлен Тейлора.

1 Тейлор Брук (1685-1731) – английский математик.

1 Маклорен Колин (1698-1746) – шотландский математик.

2 Пеано Джузеппе (1858-1932) – итальянский математик.