пз физра. Лекция 2 Элементы аналитической геометрии Понятие об аналитической геометрии
 Скачать 1.28 Mb.
|
|
Управление социальными системами Математика Лекция 2 Элементы аналитической геометрии Понятие об аналитической геометрии Аналитическая геометрия ─ это ветвь математики, изучающая геометрические образы средствами алгебры на основе метода координат. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости: 2 Понятие об аналитической геометрии Уравнение Определяет на плоскости линию L как совокупность всех точек, удовлетворяющих данному уравнению, называемому уравнением линии L. Каждая точка линии L удовлетворяет уравнению. 3 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Уравнения прямой на плоскости 1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом: 4 Уравнения прямой на плоскости 2) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку M(x 1 ;y 1 ) с заданным угловым коэффициентом k: Пример. Пусть M(-2;3) и k=2. Построить уравнение прямой. Решение: 5 Уравнения прямой на плоскости 3) Уравнение вертикальной прямой, проходящей через заданную точку M(x 1 ;y 1 ): Пример. Уравнение вертикальной прямой, проходящей через точку M(2;3): 6 Уравнения прямой на плоскости 4) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M 1 (x 1 ;y 1 ) и M 2 (x 2 ;y 2 ) • а) если точки не лежат на одной вертикальной или горизонтальной прямой ( ) Пример. Пусть M 1 (2;-3) и M 2 (-1;2). Построить уравнение прямой. Решение: 7 Уравнения прямой на плоскости 2) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M 1 (x 1 ;y 1 ) и M 2 (x 2 ;y 2 ) • б) если точки лежат на одной вертикальной прямой ( ) • в) если точки лежат на одной горизонтальной прямой ( Горизонтальная прямая – частный случай наклонной прямой при α=0. 8 Уравнения прямой на плоскости Следствие: Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки M 1 (x 1 ;y 1 ) и M 2 (x 2 ;y 2 ): Пример. Пусть M 1 (2;- 3) и M 2 (- 1;2). Угловой коэффициент прямой, проходящей через эти точки: 9 Уравнения прямой на плоскости 5) Общее уравнение прямой на плоскости: причем коэффициенты А и В не обращаются одновременно в ноль ( ). Частные случаи: 10 Уравнения прямой на плоскости Уравнением первой степени двух переменных называется алгебраическое уравнение, в каждое слагаемое которых входят как множители координаты, причем суммарная степень координат не больше 1. ─ уравнение 1 степени двух переменных на плоскости 11 Уравнения прямой на плоскости • 6) Уравнение прямой «в отрезках»: Пример. Уравнение можно представить в виде 12 Приложения • 1) Необходимое и достаточное условие параллельности прямых с угловыми коэффициентами k 1 и k 2 : • 2) Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых с угловыми коэффициентами k 1 и k 2 : 13 14 Приложения • 3) Острый угол φ между прямыми, заданными уравнениями : 15 Элементы аналитической геометрии в пространстве Уравнения плоскости а) 16 17 Уравнения плоскости б) Общее уравнение плоскости 18 Расстояние от точки до плоскости Найти расстояние d от точки M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) до плоскости Решение: Пример. Расстояние от точки М(-3;1;2) до прямой 3x+4y-12z+2=0 19 Расположение плоскостей 20 Расположение плоскостей 21 Кривые второго порядка • При изучении линий на плоскости их классифицируют по сложности уравнений: • уравнения 1 степени прямые • уравнения 2 степени кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола. • 22 Окружность Окружность – геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от некоторой точки, называемой центром . • Каноническое уравнение окружности r – радиус окружности 23 Эллипс Эллипс – геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная . • Каноническое уравнение эллипса 24 Эллипс . Планеты и кометы Солнечной системы движутся по эллипсам, в одном из фокусов – Солнце. 25 Гипербола Гипербола – геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых разность расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная • Каноническое уравнение гиперболы 26 Гипербола 27 Парабола Парабола – геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой Каноническое уравнение параболы Пусть директриса параллельна оси Oy и ее уравнение , 𝑝 > 0, а фокус - точка , то уравнение параболы: Если 𝑝 < 0, то 28 Парабола Если директриса параллельна оси Ox : Если вершину параболы перенести в точку , то уравнение параболы примет вид: 29 Общий вид уравнения кривой второго порядка 30 Приведение уравнения кривой к каноническому виду • Основной прием – выделение полных квадратов. 31 Приведение уравнения кривой к каноническому виду 32 |