Лекция 3. Лекция 3
![]()
|
Лекция 3. Матрицы. Операции над матрицами. Матрицы специального вида. Квадратные матрицы и их определители. Свойства определителей. Обратные матрица и условие ее существования. Ранг матрицы В теории систем линейных уравнений, в дифференциальных уравнениях и др. математичеких объектах большую роль играют матрицы – таблицы чисел, с помощью которых можно не только компактно записать системы уравнений, но и, производя над ними определенные действия, решать сами уравнения. Перейдем к изложению основных понятий и утверждений, связанным с матрицами. 1. Матрицы и действия над ними. Матрицы специального вида Определение 1. Матрицей размера ![]() ![]() состоящую из ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Действия сложения и вычитания над матрицами одинакового размера определяются равенствами: ![]() (т.е. при сложении или вычитании матриц складываются (соответственно вычитаются) их элементы, находящиеся на одинаковых местах). Умножение матрицы на число определяется равенством ![]() (т.е. при умножении матрицы на число надо каждый элемент этой матрицыа умножить на это число). Матрицы можно умножать друг на друга только в том случае, когда их размеры согласованы, т.е., когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы: ![]() ![]() вектор-столбец ![]() ![]() ![]() ![]() в) произведением матриц ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Например, ![]() Часто встречаются матрицы следующего специального вида: 1. Единичная матрица: ![]() 2. Диагональная матрица: ![]() ![]() ![]() 3.Треугольная матрица: ![]() 4. Матрица трапециевидной формы: ![]() При решении линейных систем уравнений будут встречаться матрицы ступенчатого вида. Чтобы описать их, введем понятие опорного элемента строки. Это не равный нулю первый слева элемент строки. Например, в строке ![]() Определение 2. Матрица ![]() а) опорный элемент каждой строки находится правее опорного элемента предыдущей строки; б) если в матрице есть нулевая строка, то и все следующие ее строки также нулевые. Ясно, что диагональная, верхне-треугольная и трапециевидная матрицы являются ступенчатыми. Другой пример матрицы ступенчатого вида: ![]() 2. Определители матрицы и их свойства Мы имели уже дело с определителями второго и третьего порядков на предыдущих лекциях. Дадим теперь общее понятие определителя ![]() ![]() ставится в соответствие число ![]() определяемое ниже (см. определение 5) и называемое определителем (или детерминантом) матрицы ![]() Определение 3. В матрице ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ясно, таких миноров может быть несколько. Пусть теперь матрица ![]() Определение 4. Минор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определение 5. Пусть в квадратной матрице ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() (т.е. сумма произведений элементов ![]() ![]() Как мы уже отметили выше, определитель порядка ![]() ![]() ![]() ![]() Перечислим основные свойства определителей. Сначала заметим, что матрица ![]() ![]() спонированной к ![]() ![]() 1) При транспонировании матрицы ![]() ![]() 2) При перестановки каких-либо двух строк (или двух столбцов) матрицы ее определитель изменяет знак на противоположный. 3) Определитель, у которого есть нулевая строка (или нулевой столбец) равен нулю. 4) Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) пропорциональны элементам другой строки (или столбца ) равен нулю. 5) Общий множитель элементов любой строки (или столбца) можно выносить за знак определителя : ![]() ![]() 6) Если к какой-нибудь строке определителя прибавить другую строку, умноженную на любое число ![]() 7) (сумма определителей) ![]() 8) Определитель произведения двух квадратных матриц одной и той же размерности равен произведению определителей этих матриц: ![]() Доказательство всех этих свойств проводится с использованием определения 5. Докажем, например, свойство 5. Имеем ![]() Свойство 5 доказано. 3. Обратимость матриц. Вычисление обратной матрицы Определение 6. Говорят, что квадратная матрица ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Нетрудно показать, что если матрица ![]() ![]() Теорема 1. Для того чтобы матрица ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() Например, ![]() ![]() 4. Ранг матриц. Теорема о базисном миноре Сначала введем понятие линейной зависимости и независимость строк (столбцов) матрицы. Определение 6. Строки ![]() ![]() ![]() ![]() Если же равенство (2) (где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Например, строки ![]() ![]() (здесь ![]() ![]() ![]() Введем теперь следующее важное понятие. Определение 7. Рангом произвольной матрицы ![]() ![]() ![]() Например, ранг матрицы ![]() Пусть дана произвольная матрица ![]() Определение 8. Базисным минором матрицы ![]() ![]() ![]() ![]() Нетрудно доказать следующее утверждение. Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы ![]() Отсюда, в частности, следует, что при транспонировании матрицы ее ранг не изменяется, поэтому ранг матрицы равен также максимальному числу ее линейно независимых строк. Из теоремы о базисном миноре также вытекает, что ранг матрицы ступенчатого вида равен числу её опорных элементов. 1 Полезно запомнить, что в ![]() ![]() ![]() ![]() |