Лекция 04. Лекция 4 Трансцендентные нелинейные уравнения с одной переменной при решении задач теплотехники и теплоэнергетики
 Скачать 448.83 Kb.
|
|
Лекция № 4 Трансцендентные нелинейные уравнения с одной переменной при решении задач теплотехники и теплоэнергетики Нелинейные уравнения с одной переменной алгебраические и трансцендентные. Отделение корней. Метод бисекций. В общем случае нелинейное уравнение можно записать в виде f (x) = 0, (1) где функция f (определена и непрерывна наконечном или бесконечном интервале а, b]. Нелинейные уравнения с одним неизвестным подразделяются на алгебраические и трансцендентные. Уравнение (1) называется алгебраическим, если функция является алгебраической функцией. Путем алгебраических преобразований из всякого алгебраического уравнения можно получить уравнение в канонической форме P n (x) = a 0 ·x n + a 1 ·x n – 1 +...+a n = где а, а, …, а п – коэффициенты уравнениях неизвестное, п – степень алгебраического уравнения. Всякое алгебраическое уравнение имеет, по крайней мере, один корень вещественный или комплексный. При приведении алгебраического уравнения (1) к канонической форме будем иметь те же корни, что и для исходного уравнения. Однако при этом могут появиться некоторые лишние корни. Например, уравнение 1 1 2 1 2 2 2 х х х может быть приведено к канонической форме х + х + х – х – 5 = 0. Если функция F(x)неявляется алгебраической, то уравнение (1) называется трансцендентным. Общим для этих уравнений является невозможность их аналитического решения. Примеры трансцендентных уравнений в математике х – 10·sin x = 0; х – 2·cos х = 0; lg (x + 5) = cos х. Примеры появления трансцендентного уравнения в задачах теплотехники. Взаимосвязь давления и температуры водяного пара T T T P 5 10 52 , 2 lg 99 , 3 91 , 2816 82 , 22 lg , где Т – температура, КР давление, Па Трансцендентное уравнение получается при необходимости рассчитать температуру пара при заданном его давлении. Тепловой поток, передаваемый через основание продольного ребра прямоугольного профиля высотой b: 0 0 0 0 2 где 0 – разность между температурой окружающей среды и температурой ребра в его основании, К 0 – толщина ребра в основании, м – коэффициент теплоотдачи между поверхностью ребра и окружающей средой, Вт/(м 2 ·К); – коэффициент теплопроводности материала ребра, Вт/(м·К); b – высота ребрам. Трансцендентное уравнение получается при необходимости вычислить толщину основания ребра, передающего заданный тепловой поток. В некоторых случаях решение трансцендентных уравнений можно свести к решению алгебраическихуравнений. Поскольку подавляющее большинство нелинейных уравнений с одной переменной не решается путем аналитических преобразований (точными методами, на практике их решают численными методами. Решить уравнение – это значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти значения корней с заданной точностью. Задача численного нахождения корней уравнения (1) обычно состоит из двух этапов отделение корней, те. нахождение достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которых содержится одно значение корня, и уточнение корней, те. вычисление корней с заданной степенью точности в некоторой окрестности. Наиболее распространенными на практике численными методами решения уравнения (1) являются метод простой итерации, метод половинного деления (дихотомии, метод хорд, метод касательных (Ньютона. Применение того или иного численного метода для решения уравнений (1) зависит от числа корней, задания исходного (начального) приближения и поведения функции f (x). Задача численного решения уравнения (1) фактически состоит из двух этапов отделение корней (либо удаление корней, уточнение корней. Отделение корней Первый этап численного решения уравнения (1) состоит в отделении корней, те. в установлении всех отрезков [a; b] [A; B], содержащих строго по одному корню. Очевидным условием наличия корня на достаточно малом отрезке [a; b] будет неравенство знака функции на границах этого отрезка, те. f (a)·f (b) < 0, либо sign( f (a)) ≠ sign( f (b)). Процедура отделения корней уравнения f (x) = 0 Предварительно выбрать интервал [A, B], содержащий все корни. 1. Создать подпрограмму-функцию для вычисления f (x); 2. В головной программе задать границы интервала A, B; длину h отрезка, содержащего один корень 3. Вычислить значение функции на левой границе выбранного интервала y2 = f (A); 4. Организовать основной цикл по x от A до В с шагом h: 4.1 Присвоить ранее вычисленное значение функции на левой границе отрезка y1 = y2; 4.2 Вычислить значение функции на правой границе отрезка y2 = f (x + h); 4.3 Проверить условие если y1·y2 < 0, то вывести на печать передать в подпрограмму) левую и правую границы отрезка [x; x + h], содержащего один корень 5. Завершить работу программы. Методы приближённого решения уравнения f (x) = 0 Для уточнения корней уравнения (1) хорошо зарекомендовали себя на практике следующие численные методы метод половинного деления (метод бисекций), метод простой итерации, метод касательных (метод Ньютона, метод секущих. Метод половинного деления (метод бисекций) Метод бисекций состоит в построении последовательности вложенных отрезков а, b n ] | а, b n ] а – 1 , b n – 1 ] … [A, B]}. На концах этих отрезков функция должна принимать значения разных знаков. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Процесс построения такой последовательности отрезков уменьшающейся длины позволяет найти нуль функции f корень уравнения f (x)= 0) с любой заданной точностью. Порядок применения метода половинного деления метода бисекций) Предварительно выделить отрезок [a, b], содержащий корень. 1. Создать подпрограмму-функцию для вычисления f (x); 2. Задать точность , начальные границы отрезка a, b. 3. Вычислить первое приближение y1 = f (a); 4. Основной цикл выполняется пока (b – a) > 2·: 4.1 Вычислить x = (a + b) / 2; y = f (x); 4.2 Проверить условие если y·y1 < 0, то присвоить b = x, иначе выполнить присвоения ах, а также y1 = y; 5 Вывести корень уравнениях и завершить работу программы. |