Многочлены от одной переменной. Лекция 6 Многочлены от одной переменной
![]()
|
Лекция №6 Многочлены от одной переменнойВыражение вида ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Два многочлена называются тождественно равными, если их числовые значения совпадают при всех значениях ![]() ![]() ![]() ![]() Операции над многочленами:
Суммой и разностью многочленов и называется следующий многочлен: ![]() ![]() Степень полученного многочлена не превосходит максимальной степени многочленов и .
Умножим одночлен на многочлен : ![]() ![]() т.е. каждый член многочлена умножается на одночлен. Здесь применяем правило работы со степенями.
Умножим многочлен на : ![]() ![]() ![]() В итоге свели операцию умножения многочленов к умножению одночлена на многочлен. Заметим, что при умножении многочленов степени и получается многочлен степени . При умножении многочленов необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.
Разделим многочлен на , то есть представим выражение ![]() ![]() где - частное от деления, - делимое, - делитель, - остаток. При делении многочлена на многочлен , где , нужно найти многочлены и такие, чтобы выполнялось равенство Теорема Безу Теорема Безу. Остаток от деления многочлена ![]() ![]() ![]() Следствие 1: ![]() Таким образом, число ![]() ![]() ![]() ![]() Если многочлен ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следствие 1. Многочлен ![]() ![]() ![]() Следствие 2. Если многочлен ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема Виета Теорема Виета. Если многочлен ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Замечание. Формулы Виета сохраняют силу и при наличии кратных корней, но в этом случае надо каждый корень учитывается столько раз, какова его кратность. Наибольший общий делитель многочленов (НОД). Наибольшим общим делителем отличным от нуля многочленов ![]() ![]() ![]() ![]() Для нахождения НОД многочленов применяется алгоритм Евклида, который состоит в следующем. Пусть даны многочлены ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Корни многочленов. Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если мы будем делить многочлен ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Действительно, пусть ![]() Беря значения обеих частей этого равенства при ![]() ![]() что доказывает теорему. Следствие: Число с тогда и только тогда будет корнем многочлена ![]() ![]() ![]() Кратные корни. Если в разложении многочлена -степени ![]() некоторые множители окажутся одинаковыми, то ![]() , то -называется корнем кратности , -кратности и т.д. Теорема . Если а является корнем многочлена кратности , то для производной это число является корнем кратности . Доказательство. Пусть , где ![]() ![]() т.е. является корнем кратности. Следствие. Число а является корнем кратности для ,…, корнем кратности 1 для . Условия равенства двух многочленов Определение. Многочлены называются тождественно равными, если при всех значениях переменной их значения совпадают. Теорема 1. У равных многочленов равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной. Доказательство: 1.Если коэффициенты при соответствующих степенях переменной равны, то многочлены равны. ![]() ![]() При любом значении х=с, значения многочленов равны. А(с) – В(с) = 0 2. Если многочлены равны, то и коэффициенты при соответствующих значениях х равны. ![]() ![]() А(х) = В(х)А(х) – В(х) = 0 при любом значении х=с. Вычтем значения многочленов в столбик: ![]() Но сумма может быть равна 0 при любом с только если значения всех выражений в скобках равно 0, значит ; ; ; … Границы корней многочленов Для многочлена ![]() 1) верхняя граница модулей корней - число ![]() ![]() 2) верхняя граница положительных корней - число ![]() ![]() 3) нижняя граница положительных корней - число ![]() ![]() ![]() 4) верхняя граница отрицательных корней - число - ![]() ![]() ![]() 5) нижняя граница отрицательных корней - число - ![]() ![]() ![]() Схема Горнера Схема Горнера - один из простейших способов деления многочлена ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. В первую пустую ячейку запишем 5, просто перенеся ее из соответствующей ячейки первой строки: ![]() Следующую ячейку заполним по такому принципу: ![]() ![]() Аналогично заполним и четвертую: ![]() ![]() Для пятой ячейки получим ![]() ![]() И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем ![]() ![]() Задача решена, осталось только записать ответ: ![]() Как видите, числа, расположенные во второй строке (между первым и последним), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Полученный результат говорит также и о том, что 1 является корнем многочлена ![]() Приведем еще один пример. Разделим многочлен ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если наша цель - найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз подряд, - до тех пор, пока мы не исчерпаем все корни. Например, отыщем все корни многочлена ![]() ![]() Итак, в остатке имеем 0, т.е. единица действительно является корнем данного многочлена. Попробуем проверить единицу еще несколько раз. Новую таблицу для этого создавать не будем, а продолжим использование предыдущей: ![]() Вновь в остатке ноль. Продолжим таблицу до тех пор, пока не исчерпаем все возможные значения корней: ![]() Итог: ![]() Конечно, данный метод подбора малоэффективен в общем случае, когда корни не являются целыми числами, но для целых корней метод довольно-таки неплох. Рациональные дроби Рассмотрим ![]() где ![]() ![]() ![]() Теорема (о разложении правильной рациональной дроби) Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Все коэффициенты разложения (2) являются действительными числами и определяются однозначно. Пример 1. Представить рациональную дробь ![]() Решение. ![]() ![]() ![]() ![]() Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x. ![]() Решая систему получим: ![]() ![]() ![]() ![]() Имеем разложение ![]() Пример для самостоятельного решения. Представить рациональную дробь ![]() Указание. Приравниваем знаменатель к нулю ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() К последней дроби применяем теорему о разложении правильной рациональной дроби. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие, знаменатель которой разложен на попарно простые линейные множители. Пусть дана правильная дробь ![]() ![]() ![]() В этом случае справедлива формула Лагранжа: ![]() где ![]() Интерполирование Постановка задачи. Пусть в точках ![]() ![]() ![]() ![]() Таблица 1
Функция f(x) называется интерполирующей или интерполяционной для ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Будем считать, что интерполяционная функция f(x) есть многочлен степени n-1, тогда задача интерполяции формулируется так: для функции ![]() ![]() ![]() найти многочлен ![]() ![]() найти его n коэффициентов ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Найти многочлен наименьшей степени по данной таблице его значений:
Решение. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример для самостоятельного решения. Найти многочлен наименьшей степени по данной таблице его значений:
|