Применение производной в экономических исследованиях. Лекция 8 Применение производной в экономических исследованиях Основные понятия темы Производственные функции
 Скачать 0.55 Mb.
|
|
Лекция № 8 Применение производной в экономических исследованиях Основные понятия темы: 1. Производственные функции. 2. Эластичность функции, ее экономический смысл и свойства. 3. Исследование динамики полной выручки в зависимости от эластичности спроса. 4. Исследование динамики функции полных, средних, предельных издержек, построение их графиков, экономический анализ. 5. Условия получения максимальной прибыли. 1. Производственные функции. Определение. Производственной функцией называется экономико- математическое выражение, связывающее результаты производственной деятельности с влияющими на эти результаты показателями. Определение. Для функции y=f(x), имеющей экономическое содержание область определения: ) 0 , 0 ( y x называется экономически обусловленной областью определения Определение. Функция, устанавливающая зависимость спроса на данный товар от его цены, называется функцией спроса и обозначается D=f(p). Определение. Функция, устанавливающая зависимость цены товара от спроса на данный товар, называется функцией цен спроса и обозначает p=g(D). Приведенная зависимость определяет функцию цены в зависимости от спроса на товар. Определение. Зависимость предложения S какого-либо товара от его цены p называют функцией предложения S=f(p). Определение. Зависимость предложения S отопределенной цены p называют функцией цен предложения p=g(S). Функции издержек. Определение. Функция, определяющая зависимость между издержками производства определенного товара и объемом производства, называется функцией полных издержек (затрат). Если через TC обозначить полные издержки производства Q единиц продукции, то функцию полных издержек можно записать в виде: TC =f(Q), ) ; 0 [ Q Определение. Средние затраты (или издержки на единицу продукции) определяются как Q Q TC AC ) ( Определение. Средний прирост издержек производства Q TC означает прирост издержек производства в расчете на единицу прироста количества продукции. Определение. Предельными издержками производства называется Q Q TC Q Q C T MC ) ( lim 0 ) ( Предельные издержки производства MC показывают дополнительные или добавочные издержки, связанные с производством еще одной единицы продукции. Если количество проданного товара Q умножить на его цену p, получим суммарную(полную) выручку продавца или же суммарные расходы покупателя ) (D g D p D TR Суммарная выручка есть функция спроса D(p). Определение. Предел ) ( ) ( lim 0 D MR D R T D TR D называется предельной выручкой от продажи D единиц товара. Предельная выручка MR(D)=TR’(D) показывает дополнительную выручку от продажи еще одной единицы товара. Определение. Прибыль предприятия PR(Q) определяется как разность между полной выручкой TR(Q), полученной от реализации произведенной продукции, и полными издержками TC(Q) на производство этой продукции (Q - количество произведенной продукции): ) ( ) ( ) ( Q TC Q TR Q PR . Условие получения прибыли: ) ( ) ( Q TC Q TR . 2. Эластичность функции 1. Понятие эластичности функции одной переменной. Пусть дана непрерывная и дифференцируемая в некотором интервале функция y=f(x). Дадим приращение x фиксированному значению из аргумента из этого интервала, так чтобы значение x x тоже принадлежало этому интервалу. Тогда x x есть относительное приращение аргумента в точке x. При этом функция тоже получит приращение ) ( ) ( x f x x f y . Выражение y y назовем относительным приращением функции в процентах в точке x, соответствующим относительному приращению аргумента. Определение. Эластичностью функции y=f(x) относительно x называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при 0 x и обозначается y y x x y y x x y y x x x y y y E x x x x 0 0 0 lim lim : lim ) ( y y x y E x ) ( (1) Эластичность функции показывает относительное изменение функции в процентах, соответствующее относительному приращению аргумента x на 1 процент. Определение. Эластичность функции – это мера реакции функции на относительное изменение аргумента на 1 процент. Свойства эластичности функции. 1) Если 1 ) ( y E x , то есть если изменению аргумента на 1 процент соответствует изменение функции более чем на 1 процент, то говорят, что функция эластична. 2) Если 1 ) ( 0 y E x , то есть если изменению аргумента на 1 процент соответствует изменение функции менее чем на 1 процент, то говорят, что функция неэластична. 3) Если 1 ) ( y E x , то есть если изменению аргумента на 1 процент соответствует изменение функции на 1 процент, то говорят, что функция нейтральна. 4) Если 0 ) ( y E x , то функция y=f(x) абсолютно неэластична. 5) Если ) ( y E x , то функция y=f(x) абсолютно эластична. 6) Если в некоторых случаях коэффициент эластичности оказывается величиной отрицательной, то это означает, что эластичность определяется при значении x, принадлежащем интервалу, где функция является убывающей. На знак минус перед полученным числом не обращают внимания, рассматривая его по абсолютной величине. 7) Эластичность произведения двух функций u и v равна сумме эластичностей сомножителей, то есть ( ) ( ) ( ) x x x E u v E u E v (2) 8) Эластичность частного двух функции равна разности эластичностей делимого и делителя, то есть ( ) ( ) x x x u E E u E v v (3) Эластичность некоторых экономических показателей 1.Эластичность спроса и предложения относительно цены товара. Введем понятие эластичности спроса относительно цены ; другими словами, определим изменение спроса, вызываемое определенным изменением цены. Функция спроса есть убывающая функция цены, то есть 0 p D , так как с увеличением цены на товар спрос на него понижается. Поэтому в формуле эластичности спроса впереди ставится знак минус: dp dD D p D D p D E p p ) ( (4) Эластичность спроса относительно цены показывает изменение спроса на данный товар, если его цена возрастет на 1 процент. Если 1 ) ( D E p , то спрос эластичен; если 1 ) ( D E p , то спрос нейтрален; если 1 ) ( D E p , то спрос неэластичен. Если ) (D E p , то говорят что спрос абсолютно эластичен. Если 0 ) ( D E p , то говорят что спрос абсолютно неэластичен. Так как функция предложения S = f(p) – возрастающая относительно цены функция, то формула эластичности предложения относительно цены имеет вид: p p S S p S E ) ( (5) 3. Исследование динамики полной выручки в зависимости от эластичности спроса. Предположим, что функция спроса на товар есть D = f(p). Выручка от продажи данного товара составляет p D p TR ) ( Тогда предельная выручка будет равняться: 1 p p p p D D p D D p D p D R T MR С учетом формулы (4) получим )) ( 1 ( D E D R T p p (6) Это выражение определяет зависимость между выручкой от продажи товара и спросом. Из уравнения (6) можно сделать следующие выводы: 1) Если 1 ) ( D E p , то 0 p R T , то есть если спрос эластичен, то с повышением цены товара выручка от его продажи снижается . Следовательно, при эластичном спросе на данный товар цены повышать нецелесообразно. 2) Если 1 ) ( D E p , то 0 p r T , то есть TR – постоянная; это означает, что при нейтральном спросе выручка от продажи данного товара не зависит от изменения цены. Значение цены, при котором спрос нейтрален является критической точкой полной выручки на экстремум, причем полная выручка достигает при этом значении максимума , так как знак производной p R T меняется с плюса на минус. Для коммерсанта оптимальным является такое значение цены на данный товар, при котором спрос нейтрален, так как при этом значении цены полная выручка от продажи этого товара будет максимальной. 3) Если 1 ) ( 0 D E p , то 0 p R T , то есть если спрос неэластичен, то с повышением цены выручка возрастает. Исследование динамики функции полных, средних, предельных издержек, построение их графиков, экономический анализ. Исследование динамики функции предполагает определение: 1) области определения(для производственных функций – экономически обусловленной области определения), точек разрыва и интервалов непрерывности; 2) Интервалов возрастания и убывания, точек экстремума; 3) интервалов выпуклости и вогнутости, точек перегиба; 4) темпов возрастания и убывания. Пример 1. Дана функция полных издержек 15 20 4 3 1 ) ( 2 3 Q Q Q Q TC 1. Исследовать динамику полных издержек и построить кривую; 2. При каком объеме производства Q предельные издержки минимальны? Построить кривую предельных издержек. 3. При каком объеме производства «Q» переменные средние издержки минимальны? Построить кривую переменных средних издержек. 4.Провести экономический анализ. Решение. Полные издержки производства «Q» единиц продукции равны сумме переменных издержек Q Q Q Q VC 20 4 3 1 ) ( 2 3 и постоянных издержек 15 ) ( Q FC 1. Исследуем динамику полных издержек и построим кривую. 1) экономически обусловленная область определения функции полных издержек: 0 ) ( ; 0 Q TC Q Функция непрерывна при всех 0 Q 2) Найдем интервалы возрастания и убывания, точки экстремума функции TC(Q) . Для этого: 20 8 ) ( 2 Q Q Q C T . Из 0 ) ( Q C T имеем 0 20 8 2 Q Q . Так как дискриминант D<0, то действительных корней нет, нет критических точек на точки экстремума, а значит, нет и точек экс- тремума, проверив знак TC’ (Q) в какой- либо точке из промежутка Q >0, убеж- даемся, что TC’ (Q) >0 при всех Q>0. Таким образом, функция полных издержек при всех Q>0 возрастает, точек экстремума нет. 3)Найдем интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Для этого находим: 8 2 ) ( Q Q C T . Из 0 ) ( Q C T имеем Q=4 - критическая точка на точку перегиба. 0 Q TC ׳ (Q) + 0 Q 4 Tr ״ (Q) + - При Q<4 кривая выпуклая 0 ) ( Q C T ; при Q > 4 кривая вогнутая 0 ) ( Q C T Q=4 - точка перегиба: 3 1 52 ) 4 ( TC TC перег 4) Определим темпы изменения функции TC(Q) . Для этого интервалы возрастания и убывания, выпуклости и вогнутости наложим на числовую прямую. 0 4 Q 0 ) ( 0 ) ( Q C T Q C T 0 ) ( 0 ) ( Q C T Q C T ) ( ) ( Q C T Q C T На промежутке (0;4) функция TC(Q) возрастает все медленнее; на ; 4 воз- растает все быстрее. 5)Построим кривую полных издержек (рис.1). При Q = 0, TC(0)=15 ; с осью абсцисс кривая не пересекается, так как функция TC(Q) возрастает при всех Q >0 . Рис.1 4 15 TC(Q) 6 Q TC ׳ (Q) 20 8 4 VC ср (Q ) TC(Q),TC ׳ (Q),VC ср (Q) 0 2.Определим, при каком объеме производства «х» предельные издержки 20 8 ) ( 2 Q Q Q C T будут ми- нимальны. Для этого находим 8 2 ) ( Q Q C T и приравняем нулю: 0 ) ( Q C T ; Q=4 . Легко проверить, что при 0 ) ( ), 4 ; 0 ( Q C T Q ( ) (x C T убывает), а при всех 0 ) ( ), 4 ; 0 ( Q C T Q ( ) (x C T возрастает). Значит,при Q=4 предельные издержки ) (x C T минимальны: 4 ) 4 ( min C T C T Кривой предельных издержек ) (Q C T будет парабола (рис. 1). 3. Определим, при каком объеме производства «Q» переменные средние издержки 20 4 3 1 ) ( ) ( 2 Q Q Q Q VC Q VC ср будут минимальны. Для этого найдем 4 3 2 ) ( Q Q C V ср . Из 0 ) ( Q C V ср имеем 6 ; 0 4 3 2 Q Q . Легко убедиться, что при всех 0 ) ( ) 6 ; 0 ( Q C V Q ср (переменные средние издержки убывают), а при всех 0 ) ( ) ; 6 ( Q C V Q ср (переменные средние издержки возрастают). Значит, при Q=6 переменные средние издержки ) (Q C V ср минимальны: 8 ) 6 ( min ср ср VC VC Кривой переменных средних издержек будет парабола (рис.1) 20 4 3 1 ) ( ) ( 2 Q Q Q Q VC Q VC ср 4. Экономический анализ. 1) Так как при изменении объема производства от 0 до 4 ед. полные издержки растут медленно, а после 4 ед. начинают расти быстро, то объем производства выгодно наращивать до 4 ед. 2) Тогда, при объеме производства до 4 ед. предельные издержки снижаются от 20 ед. до 4ед.; дальнейшее увеличение объема выпускаемой продукции приводит к росту предельных издержек. 3) При изменении объема производства от 0 до 6 ед. переменные средние издержки снижаются от 20 ед. до 8 ед., а при дальнейшем увеличении объема производства переменные средние издержки начинают расти. 2. Условия получения максимальной прибыли. Предположим, что предприятие производит Q единиц некоторой продукции и собирается реализовать ее на рынке с максимальной прибылью. Тогда цена спроса Q единиц товара определяется функцией p = p(Q). Суммарные издержки производства Q единиц продукции составляют TC(Q), а выручка от реализации произведенного товара по цене p: . ) ( ) ( Q p Q Q TR Тогда прибыль предприятия определяется функцией ) ( ) ( ) ( ) ( Q TC p Q Q TC Q TR Q PR . Условие получения прибыли: ) ( ) ( Q TC Q TR (1) Но нам нужно получить максимальную прибыль, поэтому, используя необходимое условие существования экстремума функции одной переменной, получаем: 0 ) ( ) ( ) ( Q C T Q R T Q R P Или ) ( ) ( Q C T Q R T (2) Итак, если предприятие при некотором объеме производства Q получает максимальную прибыль, то предельная выручка равна предельным издержкам (или скорость изменения полных издержек должна равняться скорости изменения полной выручки). Используя второй достаточный признак существования экстремума функции одной переменной, имеем: 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Q C T Q R T Q C T Q R T Q R P Или ) ( ) ( Q C T Q R T (3) Итак, если темп роста суммарной выручки меньше темпа роста суммарных (полных) издержек, то при таком объеме производства Q прибыль предприятия будет максимальной. Для достижения максимальной прибыли предприятие должно производить такое количество продукции Q 0 , при котором выполнялась бы система: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 0 0 Q C T Q R T Q C T Q R T Q TC Q TR (4) Пример. Завод производит Q единиц продукции в месяц, суммарные издержки производства которого составляют 3 5 3 ) ( 2 3 Q Q Q Q TC Полная выручка от реализации этой продукции Q Q TR 6 ) ( . При каком объеме производства x завод получит максимальную прибыль? Решение. Экономически обусловленная область определения: 0 ) ( 0 ) ( 0 Q TR Q TC Q В силу условия TR(Q)>TC(Q), получим: 0 3 3 3 5 3 6 2 3 2 3 Q Q Q Q Q Q Q ; -Q 3 +3Q 2 +3Q-9>0 Методом подбора найдем один корень Q=3, разделим 0 9 3 9 3 3 3 3 9 3 3 2 2 3 2 3 Q Q Q Q Q Q Q Q Q Раскладывая левую часть неравенства на линейные множители, получим: 0 3 3 ) 3 ( ) 3 )( 3 ( 2 Q Q Q Q Q И решая последнее неравенство, находим с учетом условия 0 Q : 3 ; 3 Q . Таким образом, при 3 ; 3 Q предприятие будет иметь прибыль, определяемую равенством 3 3 ) ( ) ( ) ( 2 3 Q Q Q Q TC Q TR Q PR x 3 3 3 - + + - Найдем предельную выручку 6 ) ( x R T и предельные издержки 5 2 ) ( 2 Q Q Q C T Если прибыль максимальная, то TR’(Q) = TC’(Q), то есть 5 2 6 2 Q Q , отсюда 2 1 0 Q ( второй корень отрицательный). Так как при всех 0 Q 0 ) ( 0 ) ( Q C T и Q R T , то при увеличении количества произведенной продукции Q как полные издержки, так и полная выручка возрастают. Найдем 2 2 ) ( 0 ) ( Q Q C T и Q R T При 2 1 0 Q 2 2 ) 2 1 ( 0 ) 2 1 ( C T и R T , значит ) 2 1 ( ) 2 1 ( C T R T Итак все условия системы (4) выполнены при 2 1 0 Q . Следовательно, при объеме производства 2 1 Q у.е. прибыль предприятия PR(Q) максимальна и составляет 771 , 15 3 2 1 5 2 1 3 2 1 ) 2 1 ( 2 3 max PR у.е. |