Лекция числовые ряды. Числовые ряды. Основные понятия и теоремы. Пусть дана произвольная числовая последовательность n а а а
 Скачать 346.31 Kb.
|
|
1 ЛЕКЦИЯ 8. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. §1. Числовые ряды. Основные понятия и теоремы. Пусть дана произвольная числовая последовательность ,... ,..., , 2 1 n а а а Формально образуем из ее элементов бесконечную сумму вида 1 2 1 n n n а a a a ( 1 ) Определение. Выражение вида ( 1 ) называется числовым рядом. При этом отдельные слагаемые i а называются членами ряда ( 1 ). Определение. Сумму первых n членов ряда ( 1 ) называют n-ой частичной суммой ряда и обозначают символом S n Итак, по определению S n = n a a a 2 1 . (2) Определение. Ряд (1) называется сходящимся, если сходится последовательность n S частичных сумм этого ряда, а предел S указанной последовательности n S суммой ряда ( 1 ), n n S S lim Таким образом, для сходящегося ряда (1 ), имеющего сумму S, мы можем записать равенство S = 1 n n а . В случае, если для данного ряда ( 1 ) предел последовательности частичных сумм не существует, то этот ряд называется расходящимся. Пример 1. Ряд составленный из членов геометрической прогрессии 1 2 1 k k n q q q q (3) сходится при q < 1 и расходится при q 1. В случае сходимости имеет сумму, равную S = 1∕ (1- q). Отметим два простых свойства произвольного ряда, непосредственно вытекающие из определения его сходимости: Теорема 1. Отбрасывание конечного числа членов ряда (или добавление к ряду конечного числа членов) не влияет на сходимость или расходимость этого ряда. Теорема 2. Если C=const , то ряд 1 n n Cа сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд 1 n n а . 2 Теорема 3. (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд ( 1 ) сходится, то 0 lim n n a . (4) §2. Знакопостоянные ряды. Определение. Ряды, все члены которых положительны или отрицательны, называются знакопостоянными рядами. Будем рассматривать ряды с положительными членами. Последовательность частичных сумм такого ряда является неубывающей. Теорема 4. Для того, чтобы ряд с положительными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена. Аналогичная теорема справедлива для рядов с отрицательными членами. Теорема 5. (признак сравнения). Пусть даны два ряда 1 n n а ( 5 ) и 1 n n b ( 6 ) с положительными членами и пусть начиная с некоторого номера n справедливо неравенство a n в n Тогда из сходимости ряда ( 6 ) следует сходимость ряда ( 5 ) , а из расходимости ряда ( 5 ) следует расходимость ряда ( 6 ). Теорема 6. (признак Даламбера). Пусть дан ряд 1 n n а с положительными членами. Если существует предел L a a n n n 1 lim ( 7 ) то данный ряд сходится при L < 1 и расходится при L > 1. Tеорема 7. (признак Коши). Пусть дан ряд 1 n n а с положительными членами. Если существует предел L a n n n lim ( 8 ) то данный ряд сходится при L < 1 и расходится при L > 1. Теорема 8. (интегральный признак Коши). Пусть функция f (x) неотрицательна и не возрастает на [1, + ∞) и в точках x = n принимает значения a n = f (n). Тогда числовой ряд 1 n n а сходится в том и только в том случае, когда сходится несобственный интеграл 3 1 ) ( dx x f В качестве примера использования интегрального признака рассмотрим ряд, который называется обобщенным гармоническим 1 1 n n . (9 ) Возьмем функцию f (x)= х 1 , она убывает и положительна на полупрямой х ≥1 и удовлетворяет условию f (n)= n 1 . Так как несобственный интеграл 1 1 1 ) ( dx x dx x f сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1, то данный ряд по теореме 5 сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1. Определение. Ряд вида ( 7 ) при α = 1, т.е. ряд 1 1 n n ( 10 ) называется гармоническим. Пример 2. Исследовать сходимость ряда 1 3 ) 1 ( 1 n n n Решение. Проверим вначале выполнение необходимого признака сходимости ряда (4). Выпишем общий член ряда 3 ) 1 ( 1 n n a n и найдем его предел при n →∞ . Получим 0 3 ) 1 ( 1 lim lim n n a n n n Следовательно, необходимое условие сходимости ряда (4) выполнено. Далее, исследуем сходимость ряда с помощью достаточных признаков сходимости . В данном случае удобнее использовать признак сравнения ( теорема 5). Для этого возьмем ряд 1 1 n n , где α = 3/2. Этот ряд сходится (9). Сравним исходный ряд с этим рядом 4 2 / 3 1 1 3 1 3 ) 1 ( 1 n n n n n n n a n Из полученного неравенства следует, по признаку сравнения исходный ряд 1 3 ) 1 ( 1 n n n сходится. Пример 3. Исследовать сходимость ряда 1 1 3 3 n n n Решение. Решаем аналогично примеру 1. Получим, общий член ряда 1 3 3 n n n a и 1 3 / 1 1 1 lim 1 3 3 lim lim n n n n n n n a Т. к. предел равен 1, то не выполняется необходимое условие сходимости ряда (4) и, следовательно, данный ряд расходится. Замечание. Необходимое условие сходимости ряда (4) удобно применять в тех случаях, когда оно легко проверяется. В противном случае можно пользоваться достаточным признаками сходимости. Пример 4. Исследовать сходимость ряда 1 1 5 2 n n n Решение. Общий член ряда имеет вид 1 5 2 n n n a Т.к. общий член содержит показательные функции, то здесь удобнее признак Коши ( теорема 7 ). По формуле (8) получим 5 2 5 1 1 1 5 2 lim 1 5 2 lim lim n n n n n n n n n n n n a Т. к. значение предела меньше 1, то по признаку Коши числовой ряд сходится. §3 Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница 5 Определение. Ряд называется знакочередующимся, если члены этого ряда поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки. Знакочередующийся ряд удобно записать в виде ) 1 ( 1 2 1 n n c с с ( 11 ) где все с i > 0. Теорема 9. (признак Лейбница). Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда ( 11 ) монотонно убывают с 1 > с 2 > …>с n > …, и общий член ряда стремится к нулю при n → ∞, т.е. 0 lim n n c , то ряд ( 11 ) сходится. §4 Ряды с членами произвольного знака. Абсолютно и условно сходящиеся ряды Пусть дан ряд 1 n n а , ( 12 ) где a 1 , a 2 , …, a n ,…, могут быть как положительными, так и и отрицательными, причем расположение положительных и отрицательных членов в ряде совершенно произвольно. Наряду с рядом (12) рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (12): 1 2 1 n n n а а а а ( 13 ) Определение. Ряд (12 ) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (13). Определение. Ряд ( 12 ) называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, в то время как соответствующий ряд из модулей ( 13 ) расходится. Теорема 10. Абсолютно сходящийся ряд сходится, т.е. из сходимости ряда ( 13 ) вытекает сходимость ряда ( 12 ) . Пример 1. Исследовать сходимость ряда ! 1 ) 1 ( ! 2 3 ! 1 2 1 1 n n n и установить характер сходимости. Решение. Данный ряд является знакочередующимся. Для исследования его сходимости воспользуемся признаком Лейбница (теорема 9). Сравним члены ряда по абсолютной величине. Начиная со второго члена ряда выполняется ! 1 6 4 2 3 2 n n , 6 т.е. члены ряда убывают по абсолютной величине. Найдем предел общего члена ряда 0 1 )! 1 ( 1 lim ! 1 lim lim n n n n n с n n n n Таким образом, условия теоремы Лейбница выполняются и следовательно, знакочередующийся ряд сходится. Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд составленный из абсолютных величин членов исходного ряда и исследуем его сходимость. Получим знакопостоянный числовой ряд ! 1 ! 2 3 ! 1 2 1 n n Для исследования его сходимости применим признак Даламбера. Получим ! 1 n n a n , ! ) 1 ( 2 1 n n a n 0 ) 1 ( 2 lim ) 1 ( )! 1 ( ) 2 ( ! lim ! 1 : )! 1 ( 2 lim 2 n n n n n n n n n n L n n n < 1. Ряд составленный из абсолютных величин сходится по признаку Даламбера, следовательно, исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно |