Колебания. Лекция колебания. ВОЛНЫ ГАРМОНИЧЕСКИЕ колебания. Характеристики колебаний
 Скачать 0.64 Mb.
|
|
Кочережко Л.В. Кафедра ФММИ ОмГМУ, 2017 1 Лекция КОЛЕБАНИЯ. ВОЛНЫ 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛЕБАНИЙ Любое отклонение физического тела или параметра его состояния, то в од- ну, то в другую сторону от положения равновесия называется колебательным движениемили просто колебанием. Колебательные процессы широко распространены в природе и технике, например, качание маятника часов, переменный электрический ток, изменения температуры и давления в окружающей среде или в живом организме, механиче- ские смещения сердца, легких, грудной клетки в процессе жизнедеятельности ор- ганизма, электрические колебания, возникающие в органах и тканях при их воз- буждении и т. д. Хотя физическая природа колебаний может быть разной (механическая или электромагнитная), все колебательные процессы описываются одинаковыми ха- рактеристиками и уравнениями. Различают периодические и непериодические колебания. Колебание назы- вается периодическим, если значения физических величин, изменяющихся в про- цессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени. Простейшим типом периодических колебаний являются гармонические ко- лебания. Различные периодические процессы можно представить как совокуп- ность гармонических колебаний Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся вели- чина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Гармоническое ко- лебание величины s описывается уравнением типа: ) sin( 0 0 t A s или ) cos( 0 0 t A s , (1). где А – максимальное значение колеблющейся величины, называемое ам- плитудой колебаний, 0 – круговая или циклическая частота, 0 – начальная фа- за колебаний в момент времени 0 t , ) ( 0 0 t – фаза колебаний в момент времени t . Так как синус и косинус изменяются в пределах от -1 и до +1, то s может при- нимать значения от +А до -А. Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом колебаний. Пе- риод колебаний – это время одного полного колебания. Период колебаний опре- деляется по формуле: 0 2 T . (2) Величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний (линейной частотой колебания). Частота колебаний – это число периодов коле- баний (число колебаний), совершаемых в единицу времени. Частота колебаний определяется по формуле: Кочережко Л.В. Кафедра ФММИ ОмГМУ, 2017 2 0 1 2 T . (3) Единица частоты – герц (Гц): 1 Гц – частота периодического процесса, при которой за 1 с совершается одно колебание. Линейная частота связана с циклической частотой соотношением: 2 0 . (4) Рассмотрим механические гармонические колебания, например, колебания пружинного маятника и математического маятника, если не учитывать силу со- противления (трения). Колебания пружинного маятника происходят под действи- ем силы упругости, которая согласно закону Гука, пропорциональна изменению длины пружины или смещению х материальной точки: -kx F упр , где k – жесткость пружины. Колебания математического маятника происходят под действием силы по- добной упругой, т. к. она пропорциональна смещению материальной точки и направлена к положению равновесия. Такая сила называется квазиупругой. Мо- дуль этой силы определяется по формуле: упр x F mg kx l В этих механических колебаниях колеблющейся величиной является сме- щение материальной точки от положения равновесия на пружине и на нерастя- жимой нити, поэтому выражение (1) можно записать для смещения материальной точки. Характеристиками механических гармонических колебаний являются сле- дующие величины: 1. смещение (s) – расстояние, на которое отклоняется колеблющаяся систе- ма в данный момент времени от положения равновесия; 2. амплитуда колебаний (А) – максимальное смещение; 3. период колебаний (Т). Период колебаний пружинного маятника определя- ется по формуле k m T 2 . Период колебаний математического маятника опреде- ляется по формуле g l T 2 ; 4. линейная частота колебаний ( ); 5. циклическая или круговая частота колебаний ( 0 );. 6. начальная фаза колебаний ( 0 ) в момент времени 0 t и фаза колебаний ) ( 0 0 t в момент времени t 2. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБА- НИЙ Гармоническое колебание можно представить графически в виде разверну- той и векторной диаграммы. Кочережко Л.В. Кафедра ФММИ ОмГМУ, 2017 3 Развернутая диаграмма представляет собой график синуса или косинуса, по которому можно определить смещение колеблющейся системы в любой мо- мент времени (рис. 1). Способ представления колебаний с помощью вращающегося вектора ам- плитуды называется векторной диаграммой (рис. 2). Проведем ось ОХ. Из точки О под углом 0 к оси ОХ проведем вектор А, мо- дуль которого равен амплитуде колебания (положение 1 вектора амплитуды). Проекция вектора А на перпендикуляр к оси ОХ равна смещению в начальный момент времени: 0 0 sin A s . Будем вращать вектор А с угловой скоростью 0 против часовой стрелки. За промежуток времени t вектор амплитуды повернется на угол t 0 (положение 2 вектора амплитуды), а его проекция на перпендикуляр к оси ОХ ) sin( 0 0 t A s . При вращении вектора амплитуды его проекция будет изменяться со временем и принимать значения от –А до +А. За время, равное периоду колебаний вектор амплитуды повернется на угол 2 , а его проекция совершит одно полное колебание. Следовательно, вращаю- щийся вектор амплитуды полностью характеризует колебательное движение в любой момент времени. S t t 1 t 2 S 1 S 2 Рис. 1. Развернутая диаграмма О Х А 1 А 2 S 0 S 0 ω 0 t 0 Рис. 2. Векторная диаграмма Кочережко Л.В. Кафедра ФММИ ОмГМУ, 2017 4 3. ВИДЫ КОЛЕБАНИЙ В зависимости от характера взаимодействия колеблющейся системы с окружающими телами различают свободные, вынужденные и автоколебания. Колебания называются свободными (или собственными), если они совер- шаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсут- ствии внешних воздействий на колебательную систему. Свободные колебания делятся на затухающие и незатухающие. Если пренебречь силой сопротивления (трения), действующей на колеба- тельную систему, то свободные колебания будут незатухающими. Свободные не- затухающие колебания являются гармоническими. Амплитуда таких колебаний не изменяется. Свободные незатухающие колебания – это идеальные колебания, ко- торые не существуют в природе. Свободные незатухающие колебания соверша- ются с частотой собственных колебаний ω 0 , которая зависит только от свойств самой колебательной системы. В реальном случае на колеблющееся тело действует сила трения, характер колебаний изменяется, и колебания становятся затухающими. Затухающие коле- бания – это колебания, амплитуда которых вследствие потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. Уравнение для смещения материальной точки, совершающей свободные за- тухающие колебания, записывается в виде: ) sin( 0 0 t e A s t , или ) cos( 0 0 t e A s t , (5) где А 0 – начальная амплитуда, β – коэффициент затухания, ω – круговая ча- стота затухающих колебаний. Амплитуда затухающего колебания выражается формулой: t e A A 0 . (6) График затухающего колебания на рисунке 3 показан сплошной линией, а изменение амплитуды показано пунктирными линиями. Коэффициент затухания β связан с коэффициентом трения (сопротивления) r соотношением: Рис. 3. Затухающие колебания S t О А 0 Кочережко Л.В. Кафедра ФММИ ОмГМУ, 2017 5 m r 2 . (7) Круговая частота затухающих колебаний выражается через собственную частоту колебательной системы и коэффициент затухания: 2 2 0 . (8) При очень малом трении 2 0 2 , частота затухающих колебаний близка к частоте собственных колебаний системы, а период затухающих колебаний близок к периоду незатухающего свободного колебания: 0 2 2 0 2 2 2 T . (9) Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэффициентом за- тухания: чем быстрее тормозящее действие среды, тем больше β и тем быстрее уменьшается амплитуда. На практике затухание колебаний характеризуют логарифмическим декре- ментом затухания. Логарифмический декремент затухания – это величина, рав- ная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, раз- деленных интервалом времени, равным периоду колебаний: T e e A e A T t A t A T T t t ln ln ) ( ) ( ln ) ( 0 0 . (10) При сильном затухании 2 0 2 , период колебания является мнимой вели- чиной. Движение в этом случае не является периодическим, и называется оно апериодическим. Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колеба- ния, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помо- щью какого-либо периодически действующего фактора, изменяющегося по гар- моническому закону. В механических колебаниях роль такого фактора играет вы- нуждающая сила. Колебания в этом случае будут являться вынужденными. Вынужденные колебания – это колебания, возникающие в системе под дей- ствием внешней периодически изменяющейся силы. Предположим, что на материальную точку, кроме силы упругости (или ква- зиупругой силы) и силы трения, действует внешняя вынуждающая сила: t F F cos 0 , где F 0 – амплитуда силы, ω – круговая частота колебаний вынуждающей силы. В начальной стадии колебательного процесса (при установлении колебаний) амплитуда вынужденных колебаний возрастает до определенного значения. Когда амплитуда устанавливается на постоянном уровне, колебание считается устано- вившимся. График вынужденного колебания представлен на рисунке 4. Кочережко Л.В. Кафедра ФММИ ОмГМУ, 2017 6 Установившееся вынужденное колебание, происходящее под воздействием гармонически изменяющейся силы, тоже является гармоническим. В установив- шемся режиме частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей си- лы. Амплитуда вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде вы- нуждающей силы и имеет сложную зависимость от коэффициента затухания сре- ды и круговых частот собственного и вынужденного колебаний. Амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при не- которой определенной частоте вынуждающей силы, называемо резонансной. Са- мо явление – достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний – называют резонансом. Резонансная частота определяется по формуле: 2 2 0 2 рез . (11) Из формулы (11) видно, что при малом трении ( 2 0 2 ) 0 рез , т.е. резо- нанс в системе без затухания наступает тогда, когда частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний. Уравнение смещения материальной точки при вынужденных колебаниях, а также уравнение амплитуды и резонансной амплитуды являются довольно слож- ными, поэтому они не рассматриваются. Незатухающие колебания могут поддерживаться в системе даже при нали- чии сил сопротивления, если на систему периодически оказывается внешнее воз- действие, при этом амплитуда и частота вынужденных колебаний зависит от это- го внешнего воздействия. Существуют и такие колебательные системы, которые сами регулируют пе- риодическое восполнение растраченной энергии и поэтому могут колебаться дли- тельное время. В таких системах поддерживаются автоколебания. Автоколебания – незатухающие колебания, поддерживающие в системе за счет внутреннего источника энергии. Сами системы называются автоколебатель- ными. Причем амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой си- стемы, а не определяются внешними воздействиями. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая поступление энергии от источника энергии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями). Рис. 4. Вынужденные колебания S t О Установление колебаний Кочережко Л.В. Кафедра ФММИ ОмГМУ, 2017 7 Автоколебательная система состоит из трех основных элементов: 1) соб- ственно колебательная система; 2) источник энергии; 3) регулятор поступления энергии в колебательную систему. Схема колебательной системы с каналом об- ратной связи показана на рисунке 5. Примером механической автоколебательной системы являются механиче- ские часы, в которой маятник является колебательной системой, пружина или поднятая гиря – источником энергии, а анкер – регулятор поступления энергии в колебательную систему. 4. СЛОЖЕНИЕ И РАЗЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ Большинство колебательных процессов в биологии и медицине являются не гармоническими, а сложными. Однако любое сложное колебание можно предста- вить в виде суммы гармонических. Совокупность гармонических составляющих, на которые разлагается слож- ное колебание, называется гармоническим спектром этого колебания. Результирующее смещение тела, участвующего в нескольких колебатель- ных движениях, получается как геометрическая сумма независимых смещений, которые тело приобретает, участвуя в каждом из слагаемых колебаний. При сло- жении гармонических колебаний результирующее колебание будет определяться частотой, амплитудой, фазой и направлением слагаемых колебаний. Участвуя в двух гармонических колебаниях, происходящих в одном направлении с одинаковой частотой, тело совершает гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и составляющие колебания. Если составляющие колебания имеют одинаковые направления, но различ- ные частоты, то результирующее колебание не гармоническое, но периодическое, с частотой наименьшей из составляющих. Если материальная точка участвует в двух колебаниях одинаковой частоты, направления которых перпендикулярны, то траектория колеблющейся точки представляет собой эллипс, форма которого зависит от соотношения амплитуд составляющих колебаний. Если частоты слагаемых колебаний не совпадают, то траектории результи- рующего движения являются сложными петлеобразными кривыми, называемыми фигурами Лиссажу. Источник энергии Регулятор Колебательная система Обратная связь Рис. 5. Схема автоколебательной системы Кочережко Л.В. Кафедра ФММИ ОмГМУ, 2017 8 5. ЭНЕРГИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ Пусть материальная точка массой m совершает свободные гармонические колебания с амплитудой колебаний А и частотой собственных колебаний 0 около положения равновесия вдоль одной прямой. Запишем уравнение гармонического колебательного движения материаль- ной точки: ) sin( 0 0 t A s Определим скорость колеблющейся материальной точки: ) cos( 0 0 0 t A s Кинетическая энергия материальной точки определяется по формуле: ) ( cos 2 2 ) ( cos 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 2 2 t kA t mA m E К , где 2 0 m k Материальная точка совершает гармонические колебания под действием упругой силы, для пружинного маятника k – коэффициент упругости, называе- мый жесткостью пружины Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы, определяется по формуле: ) ( cos 2 2 ) ( sin 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 t kA t kA kx E П Полная механическая энергия материальной точки складывается из кинети- ческой и потенциальной энергий: 2 2 ) ( cos 2 ) ( cos 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 A m kA t kA t kA Е E E П К . (12) При отсутствии сил трения полная механическая энергия колеблющейся си- стемы прямо пропорциональна массе, квадрату амплитуды, квадрату циклической частоты и не зависит от времени. 6. ВОЛНЫ. УРАВНЕНИЕ ВОЛНЫ Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды (твердой, жидкой или газообразной) передаются другим точкам среды с некоторой конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волновым процессом или волной. Среди разнообразных волн, встречающихся в природе и технике, выделяют три вида: волны на поверхности жидкости, механические (упругие) и электро- магнитные волны. Рассмотрим механические волны. Механической (упругой) волной называют механические возмущения, рас- пространяющиеся в пространстве и несущие энергию. Упругие волны возникают благодаря связям, существующим между части- цами среды: перемещение одной частицы от положения равновесия приводит к Кочережко Л.В. Кафедра ФММИ ОмГМУ, 2017 9 перемещению соседних частиц. Чем дальше частица среды расположена от ис- точника колебаний, тем позднее она начнет колебаться. Фазы колебаний частиц среды и источника отличаются друг от друга. При распространении упругой волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. От частицы к частице передается состояние колебательного движения и его энергия. Основным свойством всех волн независимо от их природы является перенос энергии без переноса вещества. Упругие волны бывают продольные и поперченные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, а в попереч- ных – в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны. Продольные волны распространяются в средах, в которых возникают упру- гие силы при деформациях сжатия и растяжения, т.е. в твердых, жидких и газооб- разных телах. Поперечные волны распространяются в средах, в которых возника- ют упругие силы при деформации сдвига, т.е. только в твердых телах. Упругая волна называется гармонической, если колебания частиц среды яв- ляются гармоническими. Основные характеристики гармонической волны: 1. характеристики колебательного процесса ( T A s , , , , , 0 ); 2. характеристики волнового процесса (длина волны λ и фазовая скорость ); 3. уравнение волны. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ. Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется фаза колебаний за период колебания: T , (13) где – это фазовая скорость. Фазовая скорость – это скорость распространения фиксированной фазы ко- лебаний. Фазовая скорость и есть скорость распространения волны. Фазовая скорость связана с частотой колебаний соотношением: T . (14) Уравнение волны – это зависимость смещения колеблющейся частицы, участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени. Для волны, распространяющейся вдоль направления ОХ, эта зависимость записывается в общем виде: ) , ( t x f s Пусть волна распространяется вдоль оси ОХ (рис. 6) без затухания так, что амплитуды всех точек волны одинаковы и равны А. Пусть в точке с координатой 0 x находится источник колебаний. Зададим уравнение колебания источника гармоническим законом: t A t s sin ) , 0 ( Кочережко Л.В. Кафедра ФММИ ОмГМУ, 2017 10 Рассмотрим некоторую точку, находящуюся на расстоянии х от источника колебаний. До этой точки колебание от начала координат дойдет через время x , поэтому колебания этой точки будут отставать от колебаний источника. Уравнение колебания данной точки имеет вид: ) ( sin ) ( sin ) , ( x t A t A t x s , (15) где const A – амплитуда волны, ω –циклическая частота волны, ) ( x t – фаза волны. Уравнение (15) и есть уравнение волны, которое позволяет определить сме- щение любой точки, участвующей в волновом процессе, в любой момент време- ни. В общем случае уравнение волны имеет вид: 0 0 ) ( sin ) ( sin ) , ( x t A t A t x s , где 0 – начальная фаза колебаний. Подставим в уравнение (15) выражение для фазовой скорости (14) и выра- жение для круговой частоты (4). Преобразуем аргумент синуса, получим: 2 sin 2 2 sin 2 2 sin ) ( 2 sin ) ( sin ) , ( x t A x t A x t A x t A x t A t x s Для характеристики гармонической волны используется волновое число 2 k . Уравнение волны (15) можно записать в виде: ) sin( ) , ( kx t A t x s . (16) В общем случае уравнение волны с учетом волнового числа имеет вид: ) sin( ) , ( 0 kx t A t x s 7. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВОЛНЫ Волновой процесс связан с распространением энергии. Энергетическими характеристиками волны являются: энергия колебания одной частицы, объемная плотность энергии, поток энергии, плотность потока энергии. 1. Энергия колебания одной частицы определяется по формуле: 2 2 2 A m E . (17) 0 x ) ( sin ) , ( x t A t x s х t A t s sin ) , 0 ( Рис. 6. Распространение колебаний Х Кочережко Л.В. Кафедра ФММИ ОмГМУ, 2017 11 2. Объемная плотность энергии – это средняя энергия колебательного дви- жения всех частиц, содержащихся в единице объема волнового пространства (в 1 м 3 ). Объемная плотность энергии равна отношению энергии всех колеблющихся частиц, находящихся в некотором объеме, к величине этого объема: V E N , (18) где N – количество колеблющихся частиц, V – объем волнового простран- ства. Подставим в формулу (18) выражение для энергии (17), получим: 2 2 2 2 2 2 A V A Nm , (19) где – плотность среды, V Nm 3. Поток энергии волн – это средняя энергия, переносимая волной в едини- цу времени (за 1 с) через некоторую поверхность, перпендикулярную направле- нию распространения волн. Выделим объем среды, в которой распространяется волна, в виде прямо- угольного параллелепипеда (рис. 7). Площадь боковой грани параллелепипеда равна S. Скорость распространения волны равна υ. За время t волна пройдет рас- стояние l. Можно сказать, что за время t сквозь площадку S волна перенесет энер- гию, равную энергии частиц, находящихся в объеме Sl V . Если энергию всех ча- стиц, находящихся в объеме V, разделить на время, то получится, энергия, пере- несенная волной за 1 с через площадку S. Эта энергия и будет являться потоком энергии. Поток энергии волн Ф определяется по формуле: t E N , (20) где N – количество колеблющихся частиц в объеме волнового пространства V, Е – энергия колебания одной частицы. Покажем связь потока энергии с объемной плотностью энергии и скоростью распространения волны: S t l S t V V t V E N t E N . (21) Единицей потока энергии волн является ватт (Вт). S υ l Рис. 7. Объем волнового пространства Кочережко Л.В. Кафедра ФММИ ОмГМУ, 2017 12 4. Плотность потока энергии волн или интенсивность волн – это средняя энергия, переносимая волной в единицу времени (за 1 с) через единичную пло- щадку (1 м 2 ), перпендикулярную направлению распространения волн. Плотность потока энергии волн I определяется по формуле: S t E N I (22) Плотность потока энергии можно определить как отношение потока энер- гии волн Ф к площади поверхности S, перпендикулярной направлению распро- странения волн: S I . (23) Единицей плотности потока энергии волн является ватт на квадратный метр (Вт/м 2 ). |