Лекция 6. ИДУ. Лекция Несобственные интегралы от неограниченных функций на отрезке
 Скачать 94.14 Kb.
|
|
Лекция 6. Несобственные интегралы от неограниченных функций на отрезке(Несобственные интегралы 2-го рода) Признаки сходимости несобственных интегралов.Абсолютная и условная сходимости несобственных интегралов.Несобственные интегралы с несколькими особенностями.П  Рис. 1 усть  непрерывна на  , но не ограничена в левой окрестности точки  . Определенный интеграл  не существует, т.к. – неограниченная. Рассмотрим  . Т.к. непрерывна на  , то  – определенный интеграл.Опр. Несобственным интегралом 2 рода по  от функции , неограниченной в окрестности точки , называется предел  Если существует конечный предел (2), то несобственный интеграл 2-го рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся. Геометрический смысл: При  – площадь фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 15). Рис. 2  – несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой . – несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой   Рис. 3 Свойство линейности. Если ,  сходятся, то сходятся интегралы  .Вычисление несобственного интеграла 2-го рода. Случай функции с особой точкой    – первообразная для Таким образом, сходится   конечный предел первообразной .Примеры.    =  Рассмотрим интегралы:  Рассмотрим случай интеграла с особой точкой в левом конце отрезка:    Случай    Аналогично рассматривается интеграл с особой точкой в правом конце отрезка. Таким образом   имеет при  порядок роста  относительно  ).Исследование несобственных интегралов 2-го рода на сходимость. Признаки сходимости: Признак сравнения: Пусть   Если  сходится, то  также сходится.Если  расходится, то также расходится.Предельный признак сравнения. Пусть   и  при  , т.е.  .Тогда интегралы и оба сходятся или оба расходятся. Если сходится  , то сходится и .Примеры. 1.  При   ,  При    Замечание. Если непрерывна на  кроме точки  и не ограничена в окрестности точки  , тогда  (Для первого и второго интегралов в правой части особой точкой является  правый или левый конец отрезка). сходится сходятся оба интеграла  и  Пример.  Примеры несобственных интегралов с несколькими особыми точками  Исходный интеграл сходится, если сходятся оба интеграла в правой части:  .  .    .(несобственный интеграл 2-го рода  + несобственный интеграл 1-го рода  ). – сходится при   – сходится при  Значит,  расходится для любого . . При   При  . Таким образом, исходный интеграл расходится. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Рассмотрим несобственный интеграл  Опр. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл  .Опр. Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, но интеграл расходится.Пример.  (без доказательства, см. рис. 17). Рис. 4 |