Лекция. Лекция - Определители 2 и 3-го порядков. Решение систем линейных. Лекция. Определители 2 и 3го порядков. Решение систем линейных уравнений & Определители 2го и 3го порядков п. Основные понятия Определение 1
 Скачать 421.01 Kb.
|
|
1 ЛЕКЦИЯ. Определители 2 и 3-го порядков. Решение систем линейных уравнений & 1. Определители 2-го и 3-го порядков п. 1.1. Основные понятия Определение 1. Пусть дана таблица 4-х чисел: 22 21 12 11 a a a a (1.1) Определителем 2-го порядка, который будем обозначать символом 22 21 12 11 a a a a (1.2) называется число 21 12 22 11 a a a a , то есть 21 12 22 11 22 21 12 11 a a a a a a a a , (1.3) где числа 21 12 22 11 , , , a a a a называются элементами определителя 2-го порядка; 12 11 , a a и 22 21 , a a - строками; 21 11 , a a и 22 12 , a a - столбцами определителя; произведение 22 11 a a - это произведение элементов определителя главной диагонали; 12 21 a a - произведение элементов определителя побочной диагонали. Таким образом, произведение элементов главной диагонали берется со своим знаком, а произведение элементов определителя побочной диагонали – с противо- положным знаком. Символически можно записать: Определение 2. В общем случае число ij a означает элемент определителя, находящегося на пересечении i-й строки и j-го столбца. Определитель 2-го порядка состоит из двух строк и двух столбцов. Пример 1.1.Вычислить определитель 2 12 10 ) 4 ( 3 ) 2 ( 5 2 4 3 5 Определение 3. Пусть дана таблица чисел 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a Определителем 3-го порядка, который обозначается символом 2 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a (1.4) называется число, равное алгебраической сумме 11 32 23 33 21 12 31 22 13 13 32 21 31 23 12 33 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a . (1.5) Таким образом, по определению имеем 11 32 23 33 21 12 31 22 13 13 32 21 31 23 12 33 22 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a . (1.6) Произведение элементов главной диагонали и параллельно ей (отмечены жир- ной чертой) берутся со своим знаком, а произведение элементов побочной диагона- ли и параллельно ей (отмечены пунктирной чертой) – с противоположным знаком. Такое правило вычисления определителя 3-го порядка называется «правилом тре- угольника» (или Саррюса), которое символически можно записать так: Определитель 3-го порядка содержит три строки и три столбца. Пример 1.2.Вычислить определитель 8 70 18 32 60 28 24 2 5 7 6 3 1 4 2 4 4 5 3 4 7 1 6 2 2 6 5 4 7 2 3 4 1 2 Второй способ: составим таблицу (Саррюса), полученную из элементов опре- делителя, если приписать к ним первый и второй столбцы определителя 3 Надо взять все возможные произведения элементов, зачеркнутых прямыми. При этом, три произведения, соответствующие прямым, параллельным главной диа- гонали, берут со знаком плюс, а остальные три произведения, соответствующие прямым, параллельным побочной диагонали, берут со знаком минус. Пример 1.3.Вычислить определитель 8 70 18 32 60 28 24 2 5 7 6 3 1 4 2 4 4 5 3 4 7 1 6 2 2 5 4 2 3 1 2 6 5 4 7 2 3 4 1 2 п. 1.2. Свойства определителей Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка. (Эти свойства рекомендуется студентам доказать самостоятельно, используя прави- ло вычисления определителя). Свойство 1. («Равноправность строк и столбцов»). Определитель не изменит- ся, если его строки заменить столбцами, и наоборот. Иными словами, 33 23 13 32 22 12 31 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a (1.7) В дальнейшем строки и столбцы будем просто называть рядами определителя. Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак на обратный, например: 33 32 31 13 12 11 23 22 21 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a (1.8) Здесь первую строку заменили второй. Свойство 3. Если все элементы какого-либо ряда равны нулю, то и определи- тель равен нулю, например: 0 0 0 0 33 32 31 23 22 21 a a a a a a (1.9) Свойство 4. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю, например: 0 33 32 31 13 12 11 13 12 11 a a a a a a a a a (1.10) Свойство 5. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя, например: 4 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a k a a a a a a ka ka ka (1.11) Из свойств 4 и 5 следует, что если все элементы некоторого ряда пропорцио- нальны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель равен нулю. Действительно, 0 0 33 32 31 13 12 11 13 12 11 33 32 31 13 12 11 13 12 11 k a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a (1.12) Свойство 6. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют со- бой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей: d a a c a a b a a a a a a a a a a a d a a a c a a a b a a a 32 31 22 21 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 (1.13) Свойство 7. («Элементарные преобразования определителя»). Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число. Пример 1.4.Доказать, что 32 33 32 31 22 23 22 21 12 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a k a a a a k a a a a k a a a a a a a a a a a a Решение: Действительно, используя свойства 6, 5 и 4, получим 0 32 32 31 22 22 21 12 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 32 33 32 31 22 23 22 21 12 13 12 11 k a a a a a a a a a k a a a a a a a a a a k a a a a k a a a a k a a a Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраи- ческого дополнения. п. 1.3. Минор, алгебраическое дополнение Определение 4. Минором некоторого элемента a ij определителя 3-го порядка который обозначают M ij , называется определитель второго порядка, получаемый из исходного вычеркиванием строки и столбца, например: 33 32 13 12 21 a a a a M (1.14) Определение 5. Алгебраическим дополнением (адъюнктой) элемента a ij опре- делителя 3-го порядка, которое обозначается A ij , называется минор M ij , взятый со знаком (-1) i+j , то есть 5 A ij =(-1) i+j M ij Например: 33 32 13 12 21 1 2 21 ) 1 ( a a a a M А (1.15) Т. о., если сумма номера строки и столбца определителя есть чётное число, то получаем минор со знаком «+», и наоборот, если нечётное число – со знаком «-». Или же можно легко запомнить, используя шахматный порядок в виде: элементы, находящиеся на главной и побочной диагоналях, берутся со знаком +; остальные со знаком -. Продолжим запись свойств определителя. Свойство 8. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответ- ствующие им алгебраические дополнения. Проиллюстрируем и одновременно докажем свойство 8 на примере определи- теля 3-го порядка. В этом случае свойство 8 означает, что В самом деле, имеем ) ( 32 23 33 22 11 32 31 22 21 13 33 31 23 21 12 33 32 23 22 11 13 13 12 12 11 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A a A a A a 32 21 13 31 23 12 33 21 12 32 23 11 33 22 11 31 22 32 21 13 31 23 33 21 12 ) ( ) ( a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 31 22 13 a a a Свойство 9. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю, например: 0 23 13 22 12 21 11 A a A a A a (1.17) Замечание 1. Указанные свойства справедливы для определителей любого по- рядка. п. 1.4 . Определитель n-го порядка и его свойства. Определение 6. Определителем n-го порядка называется сумма парных произ- ведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения. 12 12 11 11 2 1 2 22 21 1 12 11 A a A a a a a a a a a a a mn m m n n … n n A a 1 1 (1.18) В этом случае говорят, что определитель разложен по элементам первой стро- ки. 6 Определители любого порядка обладают теми же свойствами что и определи- тели 2-го и 3-го порядков. Пример 1.5.Вычислить определитель 4-го порядка 0 1 2 3 0 1 1 5 2 6 7 4 0 3 6 2 Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю. 42 21 2 1 2 3 1 1 5 3 6 2 2 0 1 2 3 0 1 1 5 2 6 7 4 0 3 6 2 Таким образом, для вычисления определителя 4-го порядка надо понизить по- рядок определителя. Существует два правила понижения порядка. 1) разложить определитель по элементам какой-либо строки, либо столбца (св.-во 8); 2) накопить нули в какой-либо строке, либо столбце (св.-во 8,7). Пример 1.6. Вычислить определитель 4-го порядка 1 4 2 0 2 5 1 3 2 2 1 1 2 0 3 2 I способ: Удобнее пользоваться разложением по строке или столбцу, содер- жащим наибольшее количество нулей. Разложим определитель по первой строке: 63 6 2 0 31 3 9 2 4 2 0 5 1 3 2 1 1 2 1 2 0 2 1 3 2 1 1 0 1 4 0 2 5 3 2 2 1 ) 3 ( 1 4 2 2 5 1 2 2 1 ) 2 ( II способ: 63 ) 8 160 12 48 64 5 ( 1 4 2 8 1 2 6 4 5 ) 1 ( 1 1 4 2 0 8 1 2 0 6 4 5 0 2 2 1 1 1 4 2 0 2 5 1 3 2 0 3 2 2 2 1 1 1 1 1) умножаем каждый элемент первой строки на 2 и складываем с соответствующими элементами второй строки; 2) умножаем каждый элемент первой строки на (-3) и складываем с соответствую- щими элементами третьей строки; 3) разлагаем по элементам первого столбца (св.-во 8). 7 &2. Системы линейных уравнений п. 2.1. Основные понятия Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида , 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 , , m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a где числа a ij , i= m , 1 , j= n , 1 называются коэффициентами системы, числа b i – свобод- ными членами. Подлежат нахождению числа x n Решением системы называется n значений неизвестных х 1 =с 1 , х 2 =с 2 , …, х n =c n , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно ре- шение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот. Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преоб- разованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над стро- ками матрицы. Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю: 0 ...., , 0 2 2 1 1 1 2 12 1 11 n mn m m n n x a x a x a x a x a x a Однородная система всегда совместна, так как х 1 =х 2 =…=х n =0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным. п. 2.2. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 8 Формулы i i x , i= n , 1 (2.1) называются формулами Крамера. Или , , , z y x z y x где - определитель, составленный из коэффи- циентов при неизвестных; z y x , , - вспомогательные определители, полученные из определителя заменой столбца коэффициентов при соответствующем неиз- вестном свободными членами. Пример. Решить систему 7 3 , 0 2 2 1 2 1 x x x x Решение: 0 7 3 1 1 2 , 7 3 7 1 0 1 , 14 7 1 0 2 2 . Значит, 1 7 7 1 x , 2 7 14 2 x Ответ: (1;2) Пример. Решить систему 4 2 3 4 10 2 3 8 2 z y x z y x z y x Решение: 1) 14 2 3 4 1 2 3 1 2 1 2) 42 4 3 4 10 2 3 8 2 1 ; 28 2 4 4 1 10 3 1 8 1 ; 14 2 3 4 1 2 10 1 2 8 z y x 3) 3 14 42 ; 2 14 28 ; 1 14 14 z y x z y x Проверка: 4 3 2 2 3 1 4 10 3 2 2 1 3 8 3 2 2 1 1 4 4 10 10 8 8 Ответ: x=1; y=2; z=3 При решении системы уравнений 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11 , , b z a y a x a b z a y a x a b z a y a x a могут иметь место три случая: 1. 0 и хотя бы один из вспомогательных определителей системы не равен ну- лю. В этом случае система имеет единственное решение; 2. 0 , 0 , 0 , 0 z y x В этом случае система имеет бесконечное множе- ство решений; 3. 0 , , , 0 z y x В этом случае система решений не имеет. |