Лекция 1. Лекция Проецирование точки
 Скачать 1 Mb.
|
|
Лекция 1. Проецирование точки. Введение Чертеж – это своеобразный язык, с помощью которого, исполь- зуя всего лишь точки, линии и ограниченное число геометрических знаков и цифр, человек имеет возможность изобразить на поверх- ности геометрические фигуры (машины, приборы, инженерные со- оружения и т.д.). Этот графический язык является интернациональным, он поня- тен любому технически грамотному человеку, независим от того, на каком языке он говорит. Начертательная геометрия (НГ) составляет теоретическую базу для составления чертежа. Говорят, “если чертеж – язык техники, то Начертательная Геометрия – грамматика этого языка”. Предмет начертательной геометрии. Начертательная геометрия – раздел геометрии. Предметом НГ является изложение и обоснование способов изображения про- странственных фигур (линий, поверхностей и т.д.) и способов ре- шения задач геометрического характера по заданным изображени- ям данной фигуры. Цели НГ: - Научиться строить изображения - Научиться читать эти изображения - Научиться решать задачи геометрического характера на этих изображениях - Развивать пространственное воображение!!! ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ Плоскости проекций: горизонтальная Н фронтальная V профильная W Точки в пространстве: А, В, С и другие прописные буквы латинского алфавита, а также 1 0 , 2 0 , 3 0 и другие цифры с обозначением 0 Проекции точек: горизонтальные a, b, c, 1, 2, 3 ... фронтальные a', b', c', 1', 2', 3'... профильные a, b, c, 1, 2, 3 ... Линии в пространстве: l 0 , m 0 , n 0 , p 0 , q 0 или по точкам определяющим, линию. Прямая, проходящая через точки А и В (АВ); Луч с началом в точке А [АВ); Отрезок прямой, ограниченный точками Аи В [АВ]. Проекции линий: горизонтальные l, m, n, p… или проекциями точек, определяющих линию; фронтальные l', m', n', p'… или проекциями точек, определяющих линию; профильные l, m, n, p… или проекциями точек, определяющих линию. Плоскости: Р, Q, (АВС), (DEF) ... Следы плоскости: горизонтальные P h , Q h , T h ... фронтальные P v , Q v , T v ... профильные P w , Q w , T w ... Символы, означающие отношения между геометрическими фигу- рами: совпадение =; конгруэнтность ; параллельность ; перпендикулярность ; объединение ; пересечение ; включение ; принадлежность . Символы, обозначающие логические операции: союз И ; логическое следствие ; эквивалентность . Методы проецирования. В курсе НГ под проецированием понимается отображение пространственного образа на плоскость, которую называют плоско- стью проекций. Наиболее распространенными способами проецирования яв- ляются центральное и параллельное проецирование Центральное проецирование (Коническое) Для получения центрального проецирования задаются аппаратом проецирования: Метод проекций заключается в том, что через т. А проводят проецирующий луч до пересечения с плоскостью проекций Р, тогда проекцией точки a p называют точку пере сечения проецирующего луча с плоскостью проекций Р: [SA) Р=a p – проекция т. А на плоскости Р Проекцию линии можно по- строить, проецируя ряд ее точек, то- гда в своей совокупности проеци- рующие лучи образуют коническую поверхность (коническое проециро- вание). А – объект проецирования S – центр проецирования Р – плоскость проекций SA – проецирующий луч Если точка принадлежит плоско- сти проекций, то ее проекция на эту плоскость совпадает с самой точкой: CP c p =C Если точка расположена на проецирующем луче параллель- ном плоскости проекций, то ее проекция на эту плоскость нахо- дится в несобственной точке: SD P d р Параллельное проецирование (Частный случай центрального проецирования S ) Параллельной проекцией точки называют точку пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций, проведенного парал- лельно заданному направлению. Аппарат проецирования: А – объект проецирования Р – плоскость проекций S – направление проецирования Проекцию линии можно построить, проецируя ряд ее то- чек, тогда в своей совокупности проецирующие лучи образуют цилиндрическую поверхность. Параллельное проецирование в зависимости от угла наклона проецирующих лучей к плоскости проекций подразделяется на ко- соугольное и прямоугольное (ортогональное): φ≠90º – косоугольное проецирование φ=90º – прямоугольноепроецирование Параллельное прямоугольное проецирование При параллельном прямоуголь- ном проецировании необходимо опу- стить перпендикуляр из точки на плоскость проекций: a p – прямоугольная (ортогналь- ная) проекция т. А Прямоугольное проецирование обладает рядом преимуществ: 1. Простота геометрических построений для определения орто- гональных проекций точек; 2. Возможность при определенных условиях сохранить на про- екциях форму и размеры проецируемой фигуры. Свойства проецирования: 1). Проекцией точки называют точку пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций. 2). Каждая точка пространства имеет единственную свою проекцию на плоскости проекций. 3). Каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества точек пространства, расположенных на проецирующем луче. 4). !!! Одна проекция точки не определяет однозначно ее положе- ния в пространстве. Прямоугольное проецирование с числовыми отметками Чтобы определить положение точки в пространстве по ее про- екции необходимо дополнительное условие. Р – плоскость нулевого уровня Проекция с числовыми от- метками определяет положение точки в пространстве относи- тельно плоскости проекций: т. А +3 ед. (положительное) т. В – 3 ед. (отрицательное) Проецирование точки на две взаимно-перпендикулярные плоскости проекций При рассмотрении центрального и параллельного способов проецирования отмечено, что они позволяют однозначно получить проекции точки на плоскости проекций, но не дают возможности воспроизвести (реконструировать) положение точки в пространстве по одной его проекции. Для того чтобы получить ортогональный чертеж, обладающий свойством “обратимости” необходимо иметь по крайней мере, две связанные между собой ортогональные плоскости проекций: опре- деление положения точки в пространстве производится по их пря- моугольным проекциям на двух и более плоскостях проекций - ме- тод Монжа. Рассмотрим две взаимно-перпендикулярные плоскости проек- ций. Если: Aa Aa' = Q; Aa H и Aa' V Q H и Q V Q X aa x X и a'a x X Теорема: проекции некоторой точки получаются расположенными на прямых перпендикулярных к оси проекций и пересекающих эту ось в одной и той же точке: a x Метод параллельного прямоугольного проецирования на две взаимно-перпендикулярные плоскости проекций обеспечивают вы- разительность, точность и удобоизмеримость изображений предме- тов на плоскости. Основные термины и определения: H – горизонтальная плоскость проекций V – фронтальная плоскость проекций H V X = H V– ось проекций S 1 V; S 2 H a – горизонтальная проекция т. А a' – фронтальная проекция т. А Две плоскости делят пространство на четыре четверти: I четверть – над Н перед V; II четверть – над Н за V; III четверть - под Н за V; IV четверть - под Н перед V; Объект может находится в любой четверти пространства Для получения изображений на плоскости Г. Монж предло- жил совместить плоскости проекций в одну плоскость, совпадаю- щую с плоскостью чертежа – эпюра Монжа (комплексный чер- теж). При этом фронтальная плоскость проекций остается непо- движной, а горизонтальная вращением вокруг оси X совмещается с плоскостью чертежа (обратим внимание: задняя полуплоскость Н при этом поднимается). aa x – расстояние точки А до плоскости V a'a x – расстояние точки А до плоскости H Фронтальная и горизонтальная проекции точки располагаются на одной прямой, перпендикулярной к оси проекций aa'- линия связи: aa х Х и a'a х Х При переходе от наглядного изображения к комплексному чертежу утратили наглядность, но комплексный чертеж обеспечи- вает точность, простоту построений и возможность представления объектов любой сложности. Однако, чтобы по комплексному чер- тежу представить пространственное изображение объекта необхо- дима работа воображения. Ортогональное проецирование Одна проекция точки не опре- деляет однозначно ее положе- ния в пространстве: проекции а, являющейся про- екцией точки в пространстве, будет соответствовать множе- ство точек пространства А, А1, …, лежащих на одном проеци- рующем луче. Задача не имеет единственного решения. Метод Монжа Как минимум две проекции точки однозначно определяют ее поло- жение в пространстве: каждая из проекций а', а1', а2' имеет свое единственное отобра- жение точки в прост-ранстве А, А1, … Проецирование точки на три взаимно-перпендикулярные плоскости проекций В практике для составления чертежа изделия зачастую необ- ходимо не две, а три и более число плоскостей проекций. Помимо горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций зачастую используется и третья плоскость проекций, перпендику- лярная к плоскостям V и Н - профильная плоскость проекций W. Для получения проекций точки А в системе трех взаимно- перпендикулярных плоскостей проекций необходимо осуществить проецирование на три плоскости проекций Н, Vи W. Положение т. Аотносительно плоскостей проекций определя- ется расстоянием этой точки до соответствующей плоскости про- екций: X A = Aa = a a z = aa y = 0a x - абсцисса (расстояние точки до профильной плоскости проекций) Y A = Aa = a a z = aa x =0a y - ордината (расстояние точки до фронтальной плоскости проекций) Z A = Aa =a a x =a a y =0a z - аппликата( расстояние точки до го- ризонтальной плоскости проекций) При переходе к чертежу горизонтальная и профильная плос- кости проекций совмещаются с фронтальной путем вращения во- круг соответствующих осей. W – профильная плоскость проекций H V = X – ось проекций (абсцисс) H W = Y – ось проекций (ординат) V W = Z– ось проекций (аппликат ) По двум заданным проекциям (а и а') всегда можно построить недостающую ее третью проекцию (а" ), т.к. а" a z = аa x Чертеж в безосной системе Чертеж без указания осей называется безосным. Плоскости проекций принимаются неопределенными и могут пе- ремещаться параллельно самим себе. Профильная проекция точки строится с помощью постоянной ли- нии чертежа. Для т. А 1 профильная плоскость (W 1 ) смещена относительно т. А Чертеж в безосной системе Чертеж в осной системе Отображение геометрического образа (точки) в четвертях про- странства |