Понятие о производной функции, ее геометрический и физический см. Лекция Тема

• Название: Лекция Тема
• Дата: 14.03.2023
• Размер: 119.86 Kb.
• Имя файла: Понятие о производной функции, ее геометрический и физический см.docx
• Тип: Лекция; #987029

ПЛАН ЗАНЯТИЯ №2

Вид занятия лекция

Тема. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Производная суммы, разности, произведения, частного.

Цель:

• 
  сформировать понятия производной функции; рассмотреть физический и геометрический смысл производной; алгоритм нахождения производной; научить вычислять производную функции, используя данный алгоритм; познакомить с правилами дифференцирования на основе определения нахождения производных некоторых элементарных функций, формировать умения применять полученные знания
  
• 
  развить умение логически и аргументировано рассуждать, используя обобщения, анализ, сравнение;
  
• 
  воспитывать наблюдательность в ходе отыскания математических зависимостей, повышать интерес к математике.
  

Литература

• 
  Ш.А.Алимов, Ю.М.Колянин, М.В.Ткачева, НЕ Федорова, М.И.Шабунин. Математика: алгебра и начала математического анализа 10-11 класс: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и углубленный уровни/ Ш.А.Алимов и др./-3-е изд.-М:Просвещение, 2016. -463с. (Глава VIII, §44, 46)
  
• 
  Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы.-В 2 ч. Ч.1 Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г.Мордкович. – 14-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013.- 400с. (Глава 5, §27, 28)
  
• 
  Н. И. Шкиль, З. И. Слепкань, Е. С. Дубинчук .Алгебра и начала анализа :учебник для 11 класса общеобразовательных учебных заведений/Шкиль Н.И и др.;Пер. с укр.-К: Зодіак-еко, 2003 .-400с. (Глава 1 §9-10, 12)
  

СТРУКТУРА ЗАНЯТИЯ

Организационная часть Приветствие, проверка отсутствующих, задание дежурным, настрой группы на плодотворную работу. Проверка домашнего задания

Актуализация опорных знаний и мотивация научной деятельности

путем фронтальной беседы повторить понятие

• 
  Предел функции
  
• 
  Приращение аргумента
  
• 
  Приращение функции
  

Вопрос занятия

1. 
   Задачи, которые приводят к понятию производной
   
2. 
   Производная, ее геометрический и физический смысл
   
3. 
   Производная суммы/разности
   
4. 
   Производная произведения/частного
   

Подведение итогов: обобщение материала

Выдача задачи для самостоятельной работы студентов

Лекция № 3 (занятие №3)

Тема. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Производная суммы, разности, произведения, частного.

Перейдем к основным идеям одного из важнее разделов математики – дифференциального исчисления. Методы дифференциального исчисления дают возможность свести изучение сложного процесса к более простому – равномерному, найти его скорость и ускорение, определить условия оптимального прохождения процесса, оценить допущенные погрешности, построить графики и др. Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором рассматривается исследования функций с помощью производных и дифференциалов.

1. 
   Задачи, которые приводят к понятию производной
   

Задача 1 (о мгновенной скорости). Пусть некоторая материальная точка движется по оси x, так что x(t) есть координата точки в момент времени t. Спустя время координата точки будет , т.е. за время точка пройдет путь . Поэтому средняя скорость точки за интервал времени будет равна . Чтобы найти мгновенную скорость точки в момент времени надо устремить к нулю, то есть



Задача 2 (о касательной к графику). Пусть кривая задана уравнением . Соединим две ее точки М₀( , ) и М( , ) секущей.

Тогда дробь = , где есть угол наклона секущей к оси OX (в треугольнике М₀МТ отношение катетов)



При точка M начинает двигаться к точке M₀. При этом вся секущая будет поворачиваться около точки M₀ и в пределе она превратиться в касательную к точке M₀. Угол при этом перейдет в угол , который эта касательная образует с осью х. Поэтому можно утверждать, что

,

где  угол, образованный касательной к кривой в точке и осью OX, k  угловой коэффициент касательной.

Задача 3 (о скорости химической реакции) Пусть (t) есть количество вещества прореагировавшего за время t. Спустя время количество прореагировавшего вещества будет , т.е. за время количество прореагировавшего вещества . Поэтому средняя скорость химической реакции за интервал времени будет равна . Чтобы найти мгновенную скорость химической реакции в момент времени надо устремить к нулю, то есть



Поскольку с помощью предела решают кроме рассмотренных ещё и много других важнейших задач (например: задача о величине переменного тока, который течет в проводнике; нахождении линейной плотности неоднородного стержня, теплоемкости тела при его нагревании, угловой скорости тела, которое вращается и многие др), то целесообразно всесторонне изучить данный предел, в частности, указать способы его вычисления. Этот предел в математике и носит название производной.

2. 
   Производная, ее геометрический и физический смысл
   

Определение: Производной данной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда последнее стремится к нулю и такой предел существует и конечен.

Заметим, что производную можно рассматривать как функцию аргумента x. Эта функция обозначается f '(x)

Производная обозначается символами f'(x), y', . Конкретное значение производной при x=a обозначается f'(a) или y'|_x=a.

Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило:

1. 
   Придать x приращение Δx и найти наращенное значение функции f(x + Δx).
   
2. 
   Найти приращение функции Δy = f(x + Δx) – f(x).
   
3. 
   Составить отношение и найти предел этого отношения при Δx→0.
   

Примеры.

1. 
   Найти производную функции y = x²
   

а) в произвольной точке;

б) в точке x= 2.

а)

1. 
   f(x + Δx) = (x + Δx)²;
   
2. 
   Δy = (x + Δx)² – x²=2xΔx– x²;
   
3. 
   .
   

б) f '(2) = 4

2. 
   Используя определение найти производную функции в произвольной точке.
   
   1. 
      .
      
   2. 
      
      
   3. 
      
      

Учитывая задачи о мгновенной скорости и касательной к графику легко построить следующие утверждения:

Физический смысл производной: скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.



Геометрический смысл производной: у'(x₀) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x₀ (т.е. при данном значении аргумента x, производная равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М₀(x;y) с положительным направлением оси Ox).

Определение. Касательной к графику функции в точке М₀(x₀, y₀) назовем предельное положение секущей М₀М, когда точка М, двигаясь вдоль кривой, стремиться к совпадению с точкой М_0..

Уравнение касательной к графику функции в точке М₀ (x₀, y₀):

.

(вывод формулы самостоятельно, у=kx+b-уравнение прямой, k= )

3. 
   Производная суммы/разности
   

Итак, мы дали определение производной, объяснили ее физический и геометрический смысл. Теперь необходимо сделать следующий шаг - рассмотреть правила дифференцирования.

Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x.

Основные правила дифференцирования выражаются формулами:

1. 
   
   

• 
  
  

2. 
   
   

• 
  
  

3. 
   
   

• 
  
  
• 
  
  

Формулы 1 и 2 докажите самостоятельно.

Доказательство формулы 1.

Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента x+Δx имеем y(x+Δx)=u(x+Δx) + v(x+Δx).

Тогда

Δy=y(x+Δx) – y(x) = u(x+Δx) + v(x+Δx) – u(x) – v(x) = Δu +Δv.

Следовательно,

.

(построить вывод следствия)

4. 
   Производная произведения/частного
   

Доказательство формулы 2.

Пусть y=u(x)·v(x). Тогда y(x+Δx)=u(x+Δx)·v(x+Δx), поэтому

Δy=u(x+Δx)·v(x+Δx) – u(x)·v(x).

Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x, то они непрерывны в этой точке, а значит u(x+Δx)→u(x), v(x+Δx)→v(x), при Δx→0.

Поэтому можем записать



На основании этого свойства можно получить правило дифференцирования произведения любого числа функций.

Пусть, например, y=u·v·w. Тогда,

y ' = u '·(v·w) + u·(v ·w) ' = u '·v·w + u·(v '·w +v·w ') = u '·v·w + u·v '·w + u·v·w '.

(построить вывод следствия)

Доказательство формулы 3.

Пусть . Тогда



При доказательстве воспользовались тем, что v(x+Δx)→v(x) при Δx→0.

(построить вывод следствий)


Вопросы для самопроверки

1) При каком движении средняя скорость всегда совпадает с мгновенной?

2) Закон прямолинейного движения тела выражается формулой x = kt + b. Какое механическое содержание коэффициентов k, b?

3) Дать определения производной заданной функции.

4) Охарактеризовать символы

5) Который геометрический и физический смысл производной?

6) Как найти производную, исходя из ее определения?

7) Доказать, пользуясь определением производной,

Задания для самостоятельного решения

[ш -11]– прочитать § 6,7,8, ответить на вопросы стр.49; выполнить задания №17,18(1,2).

Исходя из определения производной, непосредственно найти производные от функций в заданных точках:

а) вычислить и . .

б) вычислить и . .