Лекция 5. Лекция Туынды. Туындыны геометриялы жне физикалы маыналары. Функцияны нктедегі дифференциалдануы. Функцияны дифференциалдануы мен зіліссіздігі арасындаы байланыс. Дифференциалдау ережелері. Элементар функцияларды дифференциалдау
 Скачать 143.97 Kb.
|
|
Лекция 4. Туынды. Туындының геометриялық және физикалық мағыналары. Функцияның нүктедегі дифференциалдануы. Функцияның дифференциалдануы мен үзіліссіздігі арасындағы байланыс. Дифференциалдау ережелері. Элементар функцияларды дифференциалдау.  функциясы  нүктесінде және оның қандайда бір маңайында анықталған функция болсын. - нүктесіндегі аргумент өсімшесі  , ал оған сәйкес келетін функция өсімшесі:  арқылы белгіленсін. Анықтама. Егер  нақты мәнді шегі бар болса, онда шектің мәнін  функциясының - нүктесіндегі туындысы дейді де символдарының бірімен белгіленеді. Сонымен,  (1)немесе  Егер (1) - шек  немесе  болса, онда функциясының - нүктесінде ақырсыз туындысы бар дейді.Егер (1) - теңдіктегі шек  немесе  жағдайында қарастырылса, онда шек (егер ол бар болса) функциясының нүктесіндегі оң жақты туындысы, ал  немесе  жағдайында қарастырылса, онда сол жақты туындысы деп аталады да, олар сәйкес  символдары арқылы белгіленеді.Функцияның нүктесінде туындысы бар болуы үшін:1)  ; 2)  шарттарының орындалуы қажетті және жеткілікті. Онда . (2)Теорема. Егер  функциясының нүктесінде ақырлы туындысы бар болса, онда функциясы осы - нүктесінде үзіліссіз болады.Ескерту. Функция нүктеде үзіліссіз болса да, оның бір жақты ақырлы туындылары болмауы да мүмкін. Мысал ретінде мынадай функцияны қарастырайық:  ,  ,  Сонымен, функция нүктеде үзіліссіз болғанымен, ол нүктеде функцияның туындысы болмауы мүмкін екен. Салдар. Егер нүктесі функциясының үзіліс нүктесі болса, онда осы нүктеде - тің ақырлы туындысы болмайды.Туындының механикалық және геометриялық мағынасы Лездік жылдамдық.  материялық нүктенің түзудегі қозғалысының заңдылығын өрнектейтін функция болсын.  уақытқа дейін материялық нүкте  , ал  уақытқа дейін  жол жүреді. Сондықтан -ден уақытқа дейін ол - жол жүреді. Бұл жолды қозғалыс уақыты  -ға бөліп, қозғалыстың -ден -ға дейінгі уақыт аралығындағы орташа жылдамдығын табамыз: .Бұл жылдамдықтың  жағдайдағы шегі (егер бар болса) қозғалыстың уақыт кезеңіндегі лездік жылдамдығы деп аталады:  туынды материялық нүктенің мезгіліндегі жылдамдығы болады.Жанама туралы есеп.  аралығында үзіліссіз функциясы берілсін. Оның  - графигінен  нүктесін белгілеп (1-2 суреттер) осы нүктедегі қисыққа жүргізілген жанаманы анықтайық. Ол үшін - қисығынан басқа  нүктесін аламыз (1 - суретте  , ал 2 - суретте  жағдайы көрсетілген).  мен  нүктелері арқылы өтетін,  - тің өсу жағына қарай бағытталған  түзуін қиюшы деп атаймыз. Оның - өсінің оң бағытымен арасындағы бұрышын  деп белгілейік және  . Егер  , онда  және В нүктесі қисығы бойымен - нүктесіне ұмтылады. Осыдан бұрышы қандайда бір  мәніне  ұмтылса, онда шегі бар және ол функциясының нүктесіндегі туындысына тең: . Керісінше, егер  туындысы бар болса, онда  .Анықтама. - қисығының нүктесіндегі жанамасы деп  және  нүктелері арқылы өтетін ( - тің өсу жағына қарай бағытталған) - қиюшының ұмтылатын  - түзуін айтады. Аналитикалық геометриядан  нүктесі арқылы өтетін бұрыштық коэффициенті  ,  болатын түзу теңдеуі түрінде жазылатыны белгілі. Олай болса, қисығының  нүктесіндегі жанама теңдеуі (3)түрінде, ал нүктедегі нормаль теңдеуі. (4)түрінде жазылады. |