Лекция условия экстремума функционала. Обобщения пзви необходимые и достаточные условия экстремума для простейшей вариационной задачи
 Скачать 0.62 Mb.
|
|
1 ЛЕКЦИЯ 7. УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛА. ОБОБЩЕНИЯ ПЗВИ НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ДЛЯ ПРОСТЕЙШЕЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ Рассмотрим простейшую задачу вариационного исчисления (ПЗВИ), состоящую в отыскании экстремума (минимума или максимума) функционала [ ( )] ( , , ) b a I y x F x y y dx на классе допустимых функций 1 ( ) [ , ] y x C a b , удовлетворяющих граничным условиям ( ) , ( ) y a A y b B Необходимые условия экстремума для поставленной задачи были сформулированы в виде уравнения Эйлера в лекции 6. Введем некоторые новые понятия. Приведем формулировки 2-го необходимого при- знака экстремума функционала и достаточных условий экстремума, называемых условиями Лежандра. Поле экстремалей Рассмотрим однопараметрическое семейство кривых на плоскости, описываемых уравнением ( , ), y y x C где С − произвольная постоянная. Говорят, что семейство кривых образует собственное поле в некоторой области D плоскости Oxy, если через каждую точку области D проходит и притом только одна кри- вая этого семейства (см. рис.1). Изображенное семейство − это однопараметрическое семей- ство парабол 2 , y x C область D − произвольная область в плоскости Oxy. Семейство ( , ) y y x C кривых на плоскости образует центральное поле в области D , если существует единственная точка 0 0 ( , ) A x y D , через которую проходят все кривые семейства, а через любую другую точку области D проходит и притом только одна кривая семейства (см. рис. 2). В этом случае семейство кривых представляет собой пучок линий, при этом точку A называют его центром. На рис. 2 изображен пучок парабол семейства 2 y Cx с центром в начале координат. В любой области, включающей начало координат, это семейство образует центральное поле. В области, не содержащей точки О(0; 0), поле − собственное. Рис. 1 Рис. 2 О х О х у у 2 y x C 2 y C x 2 На рис. 3 изображено однопараметрическое семейство парабол 2 ( ) y x C с верши- нами ( ,0), С расположенными на оси абсцисс. Наглядно видно, что данное семейство не об- разует ни собственного, ни центрального поля ни в одной из областей верхней или нижней полуплоскости и всей координатной плоскости. Однопараметрическое семейство экстремалей образует поле экстремалей в области D, если оно является собственным или центральным полем. Пусть функция ( ) y y x является экстремалью вариационной задачи (1), (2). Кривая ( ) y y x называется включенной в поле экстремалей, если в области D существует поле экстремалей ( , ) y y x C , которое при некотором значении 0 C C содержит экстремаль ( ) y y x , и эта экстремаль не лежит на границе поля экстремалей. Второе необходимое условие экстремума. Если на экстремали ( ) y y x функционал (1) достигает экстремума, то её можно включить в поле экстремалей. Заметим, что для ПЗВИ поле должно быть центральным. В ряде случаев проверку этого условия можно выполнить путем анализа однопара- метрического семейства экстремалей, удовлетворяющих одному из граничных условий. В общем случае используют условие Якоби, являющееся необходимым условием экстремума функционала (см. учебники по ВИ). Пример 1. Проверить условие включения экстремали функционала /4 2 2 0 [ ] (4 8 tg ) , (0) 1, 0 4 I y y y y x dx y y в поле экстремалей. □ 1. Найдем экстремали как решения уравнения Эйлера 0. y y d F F dx Вычислим компоненты уравнения: 8 8, 2 , 2 . y y y d F y F y F y dx Уравнение Эйлера: 8 8 2 0 4 4. y y y y Его общее решение имеет вид 1 2 cos 2 sin 2 1 y C x C x и является экстремалью поставленной вариационной задачи. С учетом граничных условий последовательно получим: 1 2 1 (0) 1 cos 0 sin 0 1 1 0. y C C C Тогда 2 sin 2 1. y C x Так как /4 0 y , то 2 2 0 sin 2 /4 1 1. C C Отсюда следует, что функция sin 2 1 y x является допустимой экстремалью. 2. Выясним, включена ли она в поле экстремалей. Для этого рассмотрим однопара- метрическое семейство экстремалей 2 sin 2 1. y C x Все кривые семейства проходят через точку (0; 1) и на отрезке 0; /4 образуют пучок синусоид. Допустимая экстремаль окру- жена полем экстремалей. ■ Рис. 3 −2 О 2 х у 2 ( ) y x C 1 3 Достаточные условия экстремума для ПЗВИ Для решения простейшей задачи вариационного исчисления об экстремуме функцио- нала [ ( )] ( , , ) b a I y x F x y y dx , ( ) , ( ) y a A y b B можно применять следующий алгоритм решения ПЗВИ, на последнем шаге которого ис- пользуются достаточные условия экстремума − условия Лежандра. Условия слабого экстремума 1. Кривая y является допустимой экстремалью. 2. Допустимая экстремаль y может быть включена в поле экстремалей. 3. Достаточное условие Лежандра: если на экстремали y выполнено условие 0 y y F , то на ней достигается слабый минимум; а при 0 y y F − слабый максимум. Условия сильного экстремума 1. Кривая y является допустимой экстремалью. 2. Допустимая экстремаль y может быть включена в поле экстремалей. 3. Достаточное условие Лежандра: если в точках ( , ), x y близких к точкам экстрема- ли y при произвольных значениях y выполнено условие 0 y y F , то на ней достигается сильный минимум; а при 0 y y F − сильный максимум. Приведенные условия сведены в табл. 1. Таблица 1 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛА [ ( )] ( , , ) , b a I y x F x y y dx extr ( ) , ( ) y a A y b B № Слабый экстремум Сильный экстремум 1 Необходимые условия экстремума Уравнение Эйлера 0, y y d F F dx имеет решение ( ), y y x удовлетворящее граничным условиям ( ) , ( ) y a A y b B Необходимые условия экстремума Уравнение Эйлера 0, y y d F F dx имеет решение ( ), y y x удовлетворяющее граничным условиям ( ) , ( ) y a A y b B 2 Второе необходимое условие Существует поле экстремалей, включаю- щее данную экстремаль ( ) y x Второе необходимое условие Существует поле экстремалей, включаю- щее данную экстремаль ( ) y x 3 Условие Лежандра Если на исследуемой экстремали y вы- полнено условие 0 y y F , то на ней дос- тигается слабый минимум; если 0, y y F то слабый максимум. Условие Лежандра Если выполнено условие 0 y y F для то- чек ( , ), x y близких к точкам на исследуе- мой экстремали y , и для произвольных y , то на y достигается сильный минимум; если 0, y y F то сильный максимум. 4 Пример 2. Найти экстремальные значения функционала 1 2 0 [ ] 1 , l y y dx (0) 1, (1) 0 y y □ 1. Для заданного функционала 1 2 0 [ ] 1 l y y dx с граничными условиями (0) 1, (1) 0 y y найдены экстремали 1 2 y С x C и допустимая экстремаль 1 y x (см. пример 2 лекции 6). 2. Используем второе необходимое условие экстремума. Выясним, можно ли вклю- чить y в поле экстремалей. Экстремали 1 2 y С x C образуют двухпараметрическое семей- ство прямых. Учтем граничное условие (0) 1 y . Этому условию удовлетворяют прямые однопараметрического семейства 1 1, y С x образующие пучок прямых, проходящих че- рез точку (0; 1). Допустимая экстремаль 1 y x , очевидно, является внутренней линией этого семейства в любой области D, содержащей точку (0; 1). Значит, её можно включить в поле экстремалей. 3. Применим условие Лежандра: 2 3 2 2 1 1 0 1 1 y y y y y y F y y y Это неравенство выполнено при любых значениях , , x y y Значит, на допустимой экстрема- ли достигается сильный минимум: 1 1 2 min 0 0 [ ] 1 ( 1) 1 1 2. l y x dx dx Как и следо- вало ожидать, кратчайшее расстояние между двумя точками равно длине отрезка, соеди- няющего эти точки. ■ Пример 3. Решить задачу о брахистохроне. □ Задача о брахистохроне состоит в отыскании минимума функционала 1 2 0 1 1 [ ] 2 x y t y dx g y , 1 1 (0) 0, ( ) y y x y Применим алгоритм исследования функционала на экстремум. 1. При помощи необходимых условий экстремума в примере 4 лекции 6 найдены экс- тремали, образующие двухпараметрическое семейство кривых на плоскости 1 1 2 ( sin ) , (1 cos ), 2 , 2 2 C C x C y t и экстремали 1 ( sin ), (1 cos ), , 2 C x a y a a образующие однопараметрическое семейство и проходящие через начало координат. Экстремали являются циклоидами, заданными параметрическими уравнениями. При выполнении условия 1 2 x a допустимая экстремаль существует, но найти значение па- раметр а можно только численными методами. 5 2. Допустимая экстремаль включена в поле экстремалей, так как однопараметриче- ское семейство циклоид образует пучок, внутри которого расположена допустимая экстре- маль (см. рис. 4). 3. Завершим исследование, применив признак Лежандра. Найдем y y F и оценим знак: 2 2 1 ; 1 y y y F y y y y 2 3/2 2 2 1 1 1 0 (1 ) 1 1 y y y y F y y y y y y y y при любых 0 y и любых значениях y . Согласно условию Лежандра на допустимой экс- тремали γ достигается сильный минимум. ■ ОБОБЩЕНИЯ ПРОСТЕЙШЕЙ ЗАДАЧИ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Рассмотрим обобщения простейшей задачи вариационного исчисления на функцио- налы, зависящие: 1) от производных высших порядков; 2) от нескольких функций одной переменной; 3) от одной функции нескольких переменных. В этой теме ограничимся формулировкой необходимых условий экстремума − анало- гов уравнения Эйлера для ПЗВИ. Функционалы, зависящие от производных высших порядков Рассмотрим задачу об отыскании экстремумов (минимума или максимума) функцио- нала 1 0 ( ) [ ( )] ( , , , , , ) x n x I y x F x y y y y dx (1) на классе допустимых функций 0 1 ( ) [ , ], n y x C x x удовлетворяющих граничным условиям: ( ) ( ) 0 0 1 1 ( ) , ( ) , 0, 1, 2, , ( 1). k k k k y x y y x y k n (2) Необходимые условия экстремума Если на кривой ( ) y y x функционал 1 0 ( ) [ ( )] ( , , , , , ) x n x I y x F x y y y y dx принимает экстремальное значение, то функция ( ) y y x является решением уравнения Эйлера- Пуассона ( ) 2 2 ( 1) 0. n n n y y y n y d d d F F F F dx dx dx (3) Рис. 4 O x 1 2πа x у 1 y ● А 6 Уравнение Эйлера−Пуассона (3) является дифференциальным уравнением порядка 2n. Решения этого уравнения называют экстремалями. Решения краевой задачи для уравнения Эйлера−Пуассона с граничными условиями (2) называют допустимыми экстремалями. Пример 4. Найти допустимые экстремали функционала 1 2 0 [ ] ( 48 96 ) , I y y y x dx удовлетворяющие граничным условиям (0) 0, (0) 0, (1) 1, (1) 4. y y y y □ Применим необходимое условие (3). В нашем случае уравнение Эйлера−Пуассона имеет вид: 2 2 0. y y y d d F F F dx dx Его компоненты: 2 2 (4) 2 ( 48 96 ) 48, 0, 2 , 2 , y y y y y y d d F y y x F F F y F y dx dx подставим в уравнение и получим дифференциальное уравнение: (4) (4) 48 2 0, или 24. y y Выполнив четырехкратное интегрирование правой части, получим общее решение этого уравнения, называемое экстремалью, в виде 4 2 3 1 2 3 4 y x C C x C x C x Подсчитаем первую производную: 3 2 2 3 4 4 2 3 y x C C x C x Чтобы найти допустимую экстремаль, подставим общее решение в граничные условия. 1 2 1 2 3 4 3 4 2 3 4 3 4 (0) 0 0. (0) 0 0. (1) 1 1 1, или 0. (1) 4 4 2 3 4, или 2 3 0. y C y C y C C C C C C y C C C C C Очевидно, что решением алгебраической системы является следующий тривиальный набор: 1 2 3 4 0. C C C C Подставим в общее решение и получим выражение для допустимой экстремали: 4 y x ■ Пример 5. Найти допустимые экстремали функционала /4 2 2 0 [ ] ( 16 tg ) , I y y y x dx удовлетворяющие граничным условиям (0) 1, (0) 0, ( /4) 0, ( /4) 2. y y y y □ Используем необходимое условие (3). Найдем компоненты уравнения Эйле- ра−Пуассона: 2 2 2 (4) 2 ( 16 tg ) 32 , 0, 2 , 2 y y y y y y d d F y y x y F F F y F y dx dx Тогда уравнение Эйлера−Пуассона 2 2 0 y y y d d F F F dx dx примет вид: (4) 32 2 0 y y , или (4) 16 0. y y Получено линейное однородное дифференциальное уравнение 4-го порядка с посто- янными коэффициентами. Для его решения используем подстановку Эйлера , где x y e − корень характеристического уравнения 4 16 0. Корнями являются числа 1, 2 3, 4 2, 2 . i Общее решение этого уравнения является экстремалью и равно 2 2 1 2 3 4 cos 2 sin 2 . x x y C e C e C x C x 7 Дальше понадобятся значения первой производной: 2 2 1 2 3 4 2 2 2 sin 2 2 cos 2 . x x y C e C e C x C x Чтобы найти допустимую экстремаль, подставим общее решение в граничные условия. 0 0 1 2 3 4 1 2 3 0 0 1 2 3 4 1 2 4 /2 /2 /2 /2 1 2 3 4 1 2 4 /2 /2 1 2 3 (0) 1 cos 0 sin 0 1, или 1. (0) 0 2 2 2 sin 0 2 cos 0 0, или 0. ( /4) 0 cos /2 sin /2 0, или 0. ( /4) 2 2 2 2 y C e C e C C C C C y C e C e C C C C C y C e C e C C C e C e C y C e C e C /2 /2 4 1 2 3 sin /2 2 cos /2 2, или 1. C C e C e C Произвольные постоянные определим из системы линейных неоднородных алгебраи- ческих уравнений: 1 2 3 1 2 4 /2 /2 1 2 4 /2 /2 1 2 3 1, 0, 0, 1. C C C C C C C e C e C C e C e C Ее решением являются следующие числа: 1 2 4 3 0, 1. C C C C Подставим их в общее решение и получим выражение для допустимой экстремали: cos 2 . y x ■ Пример 6. Найти допустимые экстремали функционала 2 2 1 [ ] ( ( 144 ) 1) , x x I y xy e y e x y dx где (1) 1, (1) 4, (2) 16, (2) 32. y y y y □ Используем необходимое условие (3). Найдем компоненты уравнения Эйле- ра−Пуассона: 2 2 ( 144 ) 1, ( ( 144 ) 1) 144 ; x x x x x y F xy e y e x y F xy e y e x y e x 2 2 , 2 , (2 ) . x y y y y d d F F e F xy F xy dx dx Тогда уравнение Эйлера−Пуассона 2 2 0 y y y d d F F F dx dx примет вид 144 (2 ) 0, x x e x e xy или ( ) 72 . xy x Получено линейное дифференциальное уравнение 4-го порядка с переменными коэф- фициентами. Оптимальный способ решения состоит в последовательном двукратном интег- рировании уравнения: 2 2 3 1 1 1 1 2 ( ) 72 36 , (36 ) 12 xy xdx C x C xy x C dx x C x C В полученном уравнении 2-го порядка 3 1 2 12 xy x C x C обе части следует разделить на х и снова двукратно проинтегрировать: 2 2 3 4 2 1 1 2 3 1 2 3 4 12 4 ln | | ; ( 1) ln | | 2 C x y x C y x C x C x C y x C C x x C x C x Получено общее решение уравнения Эйлера-Пуассона, являющееся экстремалью функцио- нала. Чтобы найти допустимую экстремаль, подставим решение в граничные условия. 1 2 3 4 1 3 4 1 2 3 1 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 1 (1) 1 1 0 1, или 0,5 0. 2 (1) 4 4 0 4, или 0. (2) 16 16 2 ln 2 2 16, или 2 ln 2 2 0. (2) 32 32 2 ln 2 32, или 2 ln 2 0. y C C C C C C C y C C C C C y C C C C C C C C y C C C C C C 8 Получена система линейных однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов , 1, 2,3, 4 : k С k 1 3 4 1 3 1 2 3 4 1 2 3 0,5 0, 0, 2 ln 2 2 0, 2 ln 2 0. C C C C C C C C C C C C Определитель этой системы отличен от нуля. Следовательно, 1 2 3 4 0 C C C C − единственное решение системы. Подставим коэффициенты в общее решение и получим вы- ражение для допустимой экстремали: 4 y x Замечание. Если в данной вариационной задаче записать уравнение Эйле- ра−Пуассона, подсчитав полную вторую производную 2 2 y d F dx , то получится линейное неод- нородное уравнение 4-го порядка с переменными коэффициентами относительно функции у. Процедура отыскания решения будет существенно более сложной. ■ Функционалы, зависящие от нескольких функций одной переменной Рассмотрим задачу об отыскании экстремумов функционала 1 0 1 1 1 [ , , ] ( , , , , , , ) , x n n n x I y y F x y y y y dx (4) на классе допустимых функций 1 0 1 ( ) [ , ], 1, 2, , , k y x C x x k n удовлетворяющих гранич- ным условиям: 0 0 1 1 ( ) , ( ) , 1, 2, , . k k k k y x y y x y k n (5) Необходимые условия экстремума Если на совокупности функций ( ), 1, , , k k y y x k n функционал 1 0 1 1 1 [ , , ] ( , , , , , , ) x n n n x I y y F x y y y y dx принимает экстремальное значение, то этот набор функций являются решением системы уравнений Эйлера: 0, 1, , . k k y y d F F k n dx (6) Система (6) уравнений Эйлера содержит n дифференциальных уравнений 2-го поряд- ка. Общее решение системы содержит 2n произвольных постоянных. Упорядоченный набор n функций 1 ( ), , ( ), n y x y x являющихся решением системы, называют экстремалью. Ре- шение краевой задачи для системы уравнений Эйлера с учетом условий (5) называют допус- тимой экстремалью. Если число искомых функций невелико, то им присваивают разные названия, напри- мер, ( ), ( ) или ( ), ( ), ( ). y x z x u x v x w x 9 Пример 7. Найти допустимые экстремали функционала /4 2 2 2 0 [ , ] ( 8 sin ) , (0) (0) 0, ( /4) 1, ( /4) 1. I y z y z yz x x dx y z y z □ Используем необходимое условие экстремума (6). Запишем общий вид системы Эй- лера применительно к поставленной задаче: 0, 0. y y z z d F F dx d F F dx Найдем компоненты системы: 2 2 2 ( 8 sin ) 8 , 2 , 2 , 8 , 2 , 2 . y y y y z z z d F y z yz x x z F y F y dx d F y F z F z dx Система уравнений Эйлера имеет вид: 8 2 0, 8 2 0, z y y z или 4 , 4 . y z z y Заметим, что (4) (4) (4) 4 16 , или 16 16 0. y z y y y y y Последнее уравнение решено в предыдущем примере: 2 2 1 2 3 4 cos 2 sin 2 . x x y C e C e C x C x Тогда с учетом уравнения 4 y z получаем 1 4 z y или 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 . 4 x x x x z C e C e C x C x C e C e C x C x Экстремали найдены: 2 2 1 2 3 4 2 2 1 2 3 4 cos 2 sin 2 , cos 2 sin 2 . x x x x y C e C e C x C x z C e C e C x C x Найдем допустимые экстремали, удовлетворяющие граничным условиям. 1 2 3 1 2 3 /2 /2 /2 /2 1 2 3 4 1 2 4 /2 /2 /2 /2 1 2 3 4 1 2 4 (0) 0 0, (0) 0 0, ( /4) 1 cos /2 sin /2 1 1, ( /4) 1 cos /2 sin /2 1 1. y C C C z C C C y C e C e C C C e C e C z C e C e C C C e C e C Произвольные постоянные являются решением системы 1 2 3 1 2 3 3 4 1 2 /2 /2 1 2 4 /2 /2 1 2 4 0, 0, 0, 1, 0. 1, 1, C C C C C C C C C C C e C e C C e C e C Подставим найденные коэффициенты в общее решение и получим решение краевой задачи, т.е. допустимые экстремали вариационной задачи: sin 2 , sin 2 . y x z x ■ 10 Функционалы, зависящие от одной функции нескольких переменных Рассмотрим задачу об отыскании экстремумов функционала (двойного интеграла) [ ( , ) ] ( , , , , ) x y D I z x y F x y z z z dxdy (7) на классе допустимых функций 1 2 ( , ) ( ), , z z x y C D D R удовлетворяющих на границе Г области D условию: ( ), ( , ) Г z M M x у Г (8) Необходимые условия экстремума Если на функции ( , ) z z x y функционал [ ( , ) ] ( , , , , ) x y D I z x y F x y z z z dxdy принимает экстремальное значение, то эта функция являются решением уравнения Эйлера- Остроградского: 0. x y z z z F F F x y (9) Уравнение Эйлера-Остроградского (9) является уравнением в частных производных 2-го порядка. Общее решение уравнения (9) называют экстремалью функционала. Частное решение краевой задачи для уравнения Эйлера-Остроградского с условием (8) называют до- пустимой экстремалью. Отметим, что записи x z F x соответствует полная частная производная по переменной x от частной производной x z F . Подобным образом надо понимать и выражение y z F y Пример 8. Найти экстремали функционала 2 2 [ ( , )] x y D I z x y z z dxdy □ Найдем производные интегранта 2 2 , x y F z z входящие в уравнение (9): 2 2 2 2 2 2 0; 2 , (2 ) 2 ; 2 , ( 2 ) 2 x x x y y y z x y z z x y x z x x x z z x y y z y yy z F z z F z z z F z z x x F z z z F z z y y Уравнение Эйлера-Остроградского имеет вид: 0 2 2 0 или x x yy x x yy z z z z Получено волновое уравнение, общее решение которого описывается формулой ( , ) ( ) ( ). z x y x y x y Функция ( , ) z x y является экстремалью заданного функционала. Функции ( ), x ( ) x − произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. ■ 11 Пример 9. Найти экстремали функционала [ ( , )] 4 x y D I z x y xz z z dxdy □ Повторим процедуру, выполненную в предыдущей задаче. Найдем производные ин- тегранта 4 , x y F xz z z входящие в уравнение (9): 4 4 ; 4 , ( ) ; 4 , ( ) x x x y y y z x y z z x y y z y y x z z x y x z x xy z F xz z z x F xz z z z F z z x x F xz z z z F z z y y Уравнение Эйлера-Остроградского для заданного функционала примет вид: 4 0 4 2 0 2 . x y yx x y x y x z z x z z x Получено уравнение в частных производных 2-го порядка гиперболического типа. Его общее решение найдем путем двукратного интегрирования уравнения сначала по х, а затем по у. Последовательно находим: 2 1 2 2 2 1 1 1 2 ( ) ( ) 2 2 ( ); ( ) ( ) ( ) ( ). x y x y y y y x y z x z dx xdx z x C y z x C y z dy x C y dy z x y C y dy C x Найденное общее решение уравнения Эйлера-Остроградского 2 ( ) ( ) z x y y x является искомой экстремалью. Функции ( ), ( ) y x − произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. ■ Замечание. Наряду с функционалами, зависящими от функций двух переменных, можно рассматривать функционалы, зависящие от функций произвольного числа перемен- ных. В этом случае функционал является n-кратным интегралом, распространенным на об- ласть n D R |