лекция_3_математика_4_1. Лекция Вероятность любого отдельно взятого значения случайной величины

• Название: Лекция Вероятность любого отдельно взятого значения случайной величины
• Дата: 03.06.2022
• Размер: 0.82 Mb.
• Имя файла: лекция_3_математика_4_1.pdf
• Тип: Лекция; #568240

Лекция 3.
Вероятность любого отдельно взятого значения случайной величины
Рассмотрим непрерывную случайную величину

, заданную функцией распределения F(x).
непрерывного типа равна нулю.
Теорема
Следствие
Вероятность попадания случайной величины непрерывного типа в промежуток не зависит от того, является он закрытым или открытым.
(
)
(
)
(
)
(
)
p
p
p
p

 

 

 

 
 

 

 

 
Определение 4.
Плотностью распределения случайной величиной  непрерывного типа называется функция, равная производной её функции распределения
( )
( )
f x
F x


(дифференциальный закон распределения)
пропустить 6 строчек

Свойства плотности распределения:
1)
( )
0
f x

2)
( )
1
f x dx




пропустить 2 строчки
пропустить 6 строчек
пропустить 6 строчек
3)
( )
( )
x
F x
f x dx



4)
(
)
( )
b
a
P a
x
b
f x dx




Примеры
пропустить 2 строчки
пропустить 1,5 страницы

§7. Числовые характеристики случайных величин
• Характеристики положения
характеризуют положение с.в. на числовой оси, указывают
некоторое среднее значение, около которого группируются
все возможные значения с.в.
Определение 2.
1 1 2
2
( )
n
n
M
x p
x p
x p
 



1
( )
i
i
i
M
x p


 

Математическим ожиданием дискретной случайной величины
 называется число
Определение 1.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины 
называется число
( )
( )
M
xf x dx


 

Определение 3.
Модой дискретной случайной величины называется такое возможное значение m
0
для которого
0
(
)
max (
)
i
i
P
m
P
x
 

 
пропустить 4 строчки

Модой непрерывной случайной величины называется число m
0
,
определяемое как точка максимума функции плотности распределения вероятностей f(x).
Определение 4.
Мода – наиболее вероятное значение случайной величины
p
4
p
3
p
2
p
1
x
4
x
2
m
0
x
1
m
0
f(x)
Определение 5.
Медианой непрерывной случайной величины называется такое число
m
е для которого e
e
(
)
(
)
P
m
P
m
 

 
или e
1
(
)
2
F m

e
m
пропустить 5 строчек
пропустить 7 строчек

Примеры
• Характеристики рассеивания
дают представление о том, как сильно могут отклоняться от
своего центра группирования значения с.в.
Определение 6.
Определение 7.
2 2
2 1
1 2
2
( )
(
( ))
(
( ))
(
( ))
n
n
D
x
M
p
x
M
p
x
M
p











2 1
( )
(
( ))
i
i
i
D
x
M
p


 



Дисперсией дискретной случайной величины  называется число
Дисперсией непрерывной случайной величины  называется число
2
( )
(
( )) ( )
D
x
M
f x dx







Определение 8.
Средним
квадратическим
отклонением
случайной величины

называется число
( )
( )
D
 


пропустить 22 строчки
пропустить 2 строчки
пропустить 4 строчки

Примеры
пропустить 20 строчек
• Моменты
Определение 7
Начальным моментом k-го порядка распределения случайной величины

называется действительное число, определяемое по формуле
 
1
[ ]
k
k
i
i
i
x
p


  


для д.с.в.
для н.с.в.
[ ]
( )
k
k
x f x dx


  

Определение 8
Центральным моментом k-го порядка распределения случайной величины

называется действительное число, определяемое по формуле


1
[ ]
[ ]
k
k
i
i
i
x
p


  
  


для д.с.в.
[ ]
(
[ ]) ( )
k
k
x
f x dx


  
  

для н.с.в.

7
Начальный момент 1-го порядка

Центральный момент 2-го порядка

1
[ ]
[ ]
M
  

2
[ ]
[ ]
D
  

Мат. ожидание
Дисперсия
Центральный момент 3-го порядка
Коэффициент асимметрии
3 3

 

3
[ ]
 
Центральный момент 4-го порядка
4
[ ]
 
Эксцесс
4 4
3

 


А=0
А < 0
А > 0
Е=0
Е<0
Е>0 1
0
 
2 2
2 1
( )
    
3 3
3 1
2 1
3 2( )
       
2 4
4 4
1 3
1 2
1 4
6( )
3( )
          