ЦОС_ЛР 08. Линейныедискретные системы
 Скачать 177.73 Kb.
|
|
Глава 8. Линейныедискретные системы 8.1.1. ОписаниеЛДСвовременнойобласти Основной характеристикой ЛДС во временной областиявляется импульсная характеристика (ИХ). Соотношение вход/выход ЛДС в виде формулысвертки: 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m y n h n m x m h m x n m ∞ ∞ = = = − = − ∑ ∑ (8.1) Соотношение вход/выход ЛДС в виде разностногоуравнения (РУ): 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) N M i k i k y n b x n i a y n k − − = = = − − − ∑ ∑ , (8.2) По виду РУ различают дватипа ЛДС: рекурсивная ЛДС; нерекурсивнаяЛДС. Рекурсивные и нерекурсивные ЛДС имеют соответственно бесконечную и конечную ИХ: БИХ ЛДС (IIR — Infinite Impulse Response); КИХ ЛДС (FIR — Finite Impulse Response). В MATLAB вычисление реакции по формуле свертки (8.1) выполняется с помощью функции: y = conv(h,x) где h — вектор отсчетов ИХ длины N 1 ; x — вектор отсчетов воздействия длины N 2 ; y — вектор отсчетов реакции длины L = N 1 + N 2 – 1 (длина свертки). Вычисление реакции по РУ (8.2) выполняется с помощью функции: y = filter(b,a,x) где b , a — векторы коэффициентов 0 1 1 [ , , ... , ] N b b b − и 1 1 [1, , ... , ] M a a − ; x — вектор отсчетов воздействия; y — вектор отсчетов реакции с длиной, равной длине воздействия. Импульсная характеристика вычисляется с помощью функции: h = impz(b,a,N) где b , a — определены ранее для функции filter ; N — количество отсчетов (длина) ИХ; h — вектор отсчетов ИХ. Импульсная характеристика может также вычисляться с помощью функции filter , если в качестве воздействия используется цифровой единичный импульс (7.10). 8.1.2. ОписаниеЛДСв z-области Основной характеристикой ЛДС вz-областиявляется передаточная функция ( ) H z : 1 0 1 1 ( ) 1 N i i i M k k k b z H z a z − − = − − = = + ∑ ∑ (8.4) Комплексносопряженные нули 1,2 k z и полюсы 1,2 k z ∗ представляют в показательной форме, где аргументы — углы (в радианах) на комплексной z- плоскости: 1,2 1,2 ; k k k k k k j z r e j z r e ∗ ∗ ∗ ± ϕ = ± ϕ = (8.6) Разновидности передаточной функция (8.4): произведение простейших множителей: 1 1 0 1 1 (1 ) ( ) (1 ) M k k k z z H z b z z ° ∗ − − − = − = − ∏ , (8.7) где k z ° , k z ∗ — соответственно k-е нуль и полюс передаточной функции (8.4). произведение множителей второго порядка: 1 2 1 2 0 1 2 1 1 2 ( ) 1 L k k k k k k b b z b z H z a z a z − − − − = + + = + + ∏ , (8.8) где 0k b , 1k b , 2k b , 1k a , 2k a — вещественные коэффициенты; L — количество звеньев, 2-го порядка. В MATLAB используется представление передаточной функции (8.8) в эквивалентном виде, получаемом при вынесении за скобки коэффициентов 0k b : 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 ( ) 1 L k k k k k b z b z H z G a z a z − − − − = + + = + + ∏ , (8.9) где 01 02 0L G b b b = ⋅ ⋅ ... ⋅ — коэффициент усиления, а соответствующие коэффициенты связаны соотношениями: 1 1 / k k b b G = ; 2 2 / k k b b G = ; сумма простых дробей: 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 M M k k k k k A H z H z z z − − − = = ∗ = = − ∑ ∑ , (8.10) где k z ∗ — простой (не кратный) k-й полюс передаточной функции (8.4); k A — коэффициент разложения при k-м полюсе. В MATLAB для представления передаточной функции (8.4) в виде произведения простейших множителей (8.7) используется функция: [q,p,K] = tf2zpk(b,a) где b , a — векторы коэффициентов числителя 0 1 1 [ , , ... , ] N b b b − и знаменателя 1 1 [1, , ... , ] M a a − передаточной функции (8.4); q , p — векторы-столбцы нулей k z ° и полюсов k z ∗ передаточной функции (8.7), представленные в алгебраической форме; K — коэффициент усиления 0 b в (8.7). Представление передаточной функции (8.4) в виде произведения множителей второго порядка (8.9) выполняется с помощью функции: [s,G] = tf2sos(b,a) где b , a — определены ранее для функции tf2zpk ; G — коэффициент усиления G в (8.9); s — матрица коэффициентов числителей и знаменателей биквадратных звеньев передаточной функции (8.9) в виде: 11 21 11 21 11 21 11 21 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 L L L L b b a a b b a a b b a a (8.12) Для представления передаточной функции (8.4) в виде суммы простых дробей (8.11) применяется функция: [r,p,c] = residuez(b,a) где b , a — определены ранее для функции tf2zpk ; r , p — векторы-столбцы коэффициентов разложения k A и полюсов k z ∗ в (8.11), представленные в алгебраической форме; c — целая часть C в (8.11); при ее отсутствии выводится пустая матрица c=[] Картанулейиполюсов передаточной функции выводится с помощью функции: zplane(b,a) 8.1.3. ОписаниеЛДСвчастотнойобласти В MATLAB частотная характеристика (8.15) вычисляется с помощью функции freqz одного из следующих форматов: H = freqz(b,a,f,Fs) H = freqz(b,a,w) H = freqz(b,a,N) где: b , a — определены ранее для функции tf2zpk (см. разд. 8.1.2); f — вектор частот в герцах; Fs — частота дискретизации д f (Гц); w — вектор нормированных частот € ω (рад); N — количество точек ЧХ; в отсутствии параметра по умолчанию N = 512 ; H — вектор комплексных значений ЧХ. Модуль частотной характеристики (АЧХ) определяется с помощью функции abs (H) , а аргумент (ФЧХ) — с помощью функции angle(H) ( см. табл. 1.4). 8.1.4. Структурызвеньев 2-гопорядка Структура(структурная схема) ЛДС отображает алгоритм вычисления реакции по РУ и определяется видомпередаточнойфункции. Для рекурсивных звеньев 2-го порядка с передаточной функцией 1 2 0 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 b b z b z H z a z a z − − − − + + = + + (8.17) и разностным уравнением 0 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) y n b x n b x n b x n a y n a y n = + − + − − − − − поддерживаются следующие структуры: прямая — Direct-Form I; прямая транспонированная — Direct-Form I Transposed; прямая каноническая — Direct-Form II; прямая каноническая транспонированная — Direct-Form II Transposed. В MATLAB структуры описываются в виде объекта dfilt ( от англ. Discrete-time filter object ): Hd = dfilt.structure(b,a) где Hd — имяобъекта; dfilt — тип объекта; structure — функция, задающая конкретную структуру объекта Hd ( табл. 8.1). Свойства объекта dfilt с именем Hd для рекурсивных звеньев 2-го порядка включают в себя: FilterStructure — структура звена; Arithmetic — форма представления данных; Numerator — коэффициенты числителя передаточной функции; Denominator — коэффициенты знаменателя передаточной функции; PersistentMemory — начальные условия при вычислении реакции; значение false соответствует ННУ (см. разд. 8.1.1). Структуры звеньев 2-го порядка, описываемые в виде объектов dfilt , приведены в табл. 8.1. Таблица 8.1. Функции structure иструктурырекурсивныхзвеньев 2-гопорядка Функция structure Структура рекурсивногозвена 2-гопорядка df1 Direct-Form I (прямая, см. рис. 8.1, а) df1t Direct-form I Transposed (прямая транспонированная, см. рис. 8.1, б) df2 Direct-Form II (прямая каноническая, см. рис. 8.1, в) df2t Direct-Form II Transposed (прямая каноническая транспонированная, см. рис. 8.1, г) 8.3. Заданиеналабораторнуюработу Заданиеналабораторнуюработу связано с моделированием рекурсивного звена 2- го порядка и анализом его характеристик и включает в себя следующие пункты: 1. Вычисление импульсной характеристики (идентификатор h1 ) длины 1 N с помощью функции impz с выводом графика. Записать аналитическую формулу ИХ рекурсивного звена 2-го порядка с учетом ННУ. Пояснить, чему в действительности равна длина ИХ. 2. Вычисление импульсной характеристики (идентификатор h2 ) с помощью функции filter с выводом графика. Пояснить, что и почему выбрано в качестве воздействия. 3. Вычисление реакции 1 ( ) y n ( идентификатор y1 ) по формуле свертки. В качестве воздействия ( ) x n длины 2 N выбрать дискретный прямоугольный импульс (идентификатор x ): 2 2 2 1, 0 int( 2); ( ) 0, int( 2) ( 1). n N x n N n N ≤ < = ≤ ≤ − (8.18) Функция int определена в разд. 8.1.2. Для моделирования воздействия (8.18) использовать function-файл input_1 ( см. разд. 8.4.1). Вывести график воздействия ( ) x n и два графика реакции 1 ( ) y n с длиной, равной длине свертки L , и длиной, ограниченной до длины воздействия. Записать формулу свертки. Пояснить: • чему равна длина импульса (8.18); • чему равна длина свертки аналитически и по графику: • почему ее ограничивают до длины воздействия. 4. Вычисление реакции 2 ( ) y n (идентификатор y2 ) по разностному уравнению. Задать воздействие ( ) x n (8.18). Вывести графики воздействия и реакции. Сравнить графики реакций 1 ( ) y n (см. п. 3) и 2 ( ) y n Записать РУ рекурсивного звена 2-го порядка с заданными коэффициентами. Пояснить, чему равны длины воздействия и реакции. 5. Вычисление параметров передаточной функции в виде произведения простейших множителей. Вычислить нули, полюсы и коэффициент усиления (идентификаторы q , p и K ) передаточной функции (8.17). Записать нули и полюсы в алгебраической и показательной формах и пояснить связь между ними. Выразить значение аргумента полюса и нуля относительно π , например, значению φ 1, 7654 = будет соответствовать: φ 1,7654 0,562π = ≈ (8.19) Представить передаточную функцию в виде произведения простейших множителей с нулями и полюсами в показательной форме. 6. Вычисление параметров передаточной функции в виде произведения множителей второго порядка. Вычислить коэффициент усиления (идентификатор G ) и матрицу коэффициентов (идентификатор s ) передаточной функции. Представить передаточную функцию в виде произведения множителей второго порядка. 7. Вычисление параметров передаточной функции в виде суммы простых дробей. Вычислить полюсы, коэффициенты разложения и целую часть (идентификаторы p , r и c ) передаточной функции. Записать полюсы и коэффициенты разложения в алгебраической и показательной формах. Выразить значения аргумента полюса и коэффициента разложения в виде (8.19). Представить передаточную функцию в виде суммы простых дробей с полюсами и коэффициентами разложения в показательной форме. 8. Вывод карты нулей и полюсов. Изобразить карту нулей и полюсов. Пояснить: • является ли рекурсивное звено устойчивым; • совпадают ли значения нулей и полюсов с вычисленными в п. 5. 9. Вычисление АЧХ и ФЧХ в шкале нормированных частот. Вычислить АЧХ и ФЧХ (идентификаторы MAG_w и PHASE_w ) в шкале нормированных частот € ω (идентификатор w ) и вывести их графики. Сравнить значения полученной АЧХ на границах основной полосы со значениями, вычисленными аналитически по формулам: 0 0 1 2 1 1 2 (0) ( ) 1 j z e b b b A H z a a = = + + = = + + ; (8.20) 0 1 2 1 1 2 ( ) ( ) 1 j z e b b b A H z a a π = =− − + π = = − + (8.21) Пояснить: • чему равны границы основной полосы частот; • соответствие между картой нулей и полюсов и видом АЧХ; • какому значению АЧХ соответствует скачок на π , если он имеется; • какие частотные составляющие воздействия, низкие или высокие, оказались преимущественно подавленными в реакции. 10. Вычисление АЧХ и ФЧХ в шкале абсолютных частот. Вычислить АЧХ и ФЧХ (идентификаторы MAG и PHASE ) в шкале частот f (Гц) (идентификатор f ) при заданной частоте дискретизации д f и вывести их графики. Пояснить: • чему равны границы основной полосы частот; • соответствие частотами €ω и f . 11. Описание структуры рекурсивного звена. Описать четыре разновидности структур рекурсивного звена 2-го порядка (см. табл. 8.2) в виде объектов dfilt с именами Hd1 — Hd4 Пояснить: • что отображает структура и чем определяется ее вид; • свойства каждого из объектов dfilt 12. Анализ влияния нулей и полюсов на вид АЧХ. В отдельных полях одного графического окна вывести карты нулей и полюсов и соответствующие нормированные АЧХ (идентификатор MAGN ) в шкале нормированных частот € ω для различных вариантов коэффициентов передаточной функции, представленных в табл. 8.3, которые вычисляются автоматически. Для одновременного вычисления нормированных АЧХ при четырех вариантах коэффициентов, коэффициенты числителей и знаменателей представить в виде матриц размером 4×3. Пояснить соответствие между картой нулей и полюсов и видом АЧХ. Таблица 8.3. Вариантыкоэффициентов Вариант Векторы коэффициентовпередаточнойфункции числителя знаменателя 1 [1 0 0] [1 a1 a2] 2 [1 0 0] [1 -a1 a2] 3 [1 0 0] [1 a1 1.2*a2] 4 [1 1 0] [1 a1 a2] 8.4. Типовой script-файлдлявыполнения лабораторнойработы Перед выполнением работы должна быть представлена табл. 8.2 исходных данных для своего номера бригады бр N Для запуска лабораторной работы необходимо обратиться к script-файлу lr_08 по его имени: >> lr_08 Для принудительногоснятия script-файла с выполнения следует нажать комбинацию клавиш При выполнении script-файла текущие окна с графиками незакрывать. Листинг script-файла lr_08 имеет вид: >> type lr_08 |