|
|
Магические квадраты Работа Аристеева Сергея, ученика 5 класса мкоу
Магические квадраты Работа Аристеева Сергея, ученика 5 класса МКОУ Руководитель Горяева Зоя Эрднигоряевна, учителя математики с.Камышово, 2013 г.
«Составление магических квадратов
представляет собой превосходную
умственную гимнастику,
развивающую способность
понимать идеи размещения,
сочетания и симметрии».
Леонард Эйлер
Цель проекта: ответить на вопрос: что такое магический квадрат и как его построить.
Задачи проекта:
- Изучить литературу по данному вопросу.
- Узнать историю магических квадратов.
- Научиться строить магические квадраты различными способами.
Содержание - Постановка проблемы
- Легенда о магическом квадрате
- Как составлять магические квадраты
- Правило «ло-шу»
- Метод Рауз- Болла
- Метод террас
- Метод квадратных рамок
- Метод Делаира или метод латинских квадратов
- Заключение.
- Литература
Постановка проблемы Расставьте натуральные числа от 1 до 9 так, чтобы сумма чисел столбцов и строчек была одинаковой. Чтобы решить эту задачу обратимся к истории. Легенда о магическом квадрате В китайской древней книге «Же-ким» («Книга перестановок») приводится легенда о том, что император Ню, живший 4 тысячи лет назад, увидел на берегу реки священную черепаху. На ее панцире был изображен рисунок из белых и черных кружков . Если заменить каждую фигуру числом, показывающим, сколько в ней кружков, получится такая таблица: - У этой таблицы есть замечательное свойство. Сложим числа первого столбца: 4 +3 + 8=15. Тот же результат получится при сложении чисел второго, а также третьего столбцов. Он же получается при сложении чисел любой из трех строк.
- Тот же ответ 15 получается, если сложить числа каждой из двух диагоналей: 4+5+6=8+5+2=15.
- Наверное, эту легенду китайцы придумали, когда нашли расположение чисел от 1 до 9 со столь замечательным свойством. Рисунок они назвали «Ло-шу» и стали считать его магическим символом и употреблять при заклинаниях. Поэтому сейчас любую квадратную таблицу, составленную из чисел и обладающую таким свойством, называют магическим квадратом.
Что называется магическим квадратом? - Числовой квадрат называют магическим, если суммы S каждого горизонтального ряда, каждого вертикального ряда и обеих диагоналей одинаковы.
- Числовым квадратом порядка n, где n – натуральное число, будем называть квадрат разбитый на клеток, на которых размещается натуральные числа от 1 до
Как составляют магические квадраты? - Квадраты можно получить из «ло-шу», либо поворачивая квадрат вокруг центра на 90°, 180° или 270°, либо зеркально отражая его.
- Если уже найден какой-нибудь магический квадрат, то из него можно описанными выше методами (поворотами и зеркальными отражениями) получить еще 7 магических квадратов.
- Новые магические квадраты получают:
- методом террас
- методом квадратных рамок
- методом Делаира, или методом латинских квадратов
Правило «ло-шу» - Магический квадрат «ло-шу» можно найти, не прибегая к перебору одной за другой всех расстановок 9 цифр в 9 клетках (число таких расстановок равно 362 880). Будем рассуждать так. Сумма всех чисел от 1 до 9 равна: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Значит, в каждой строке и в каждом столбце сумма чисел должна равняться: 45:3=15. Но если просуммировать все числа во вторых столбце и строке и в обеих диагоналях, то каждое число войдет один раз, за исключением центрального, которое войдет четырежды. Значит, если обозначить центральное число через х, то должно выполняться равенство 4-15= = Зх + 3-15. Отсюда х=5, то есть в центре таблицы должно стоять число 5.
Метод Рауз-Болла Несложно написать магический квадрат четвертого порядка: - для этого запишем числа от 1 до 16 в квадрат по порядку.
- теперь поменяем местами числа, стоящие в противоположных углах всего квадрата и внутреннего квадратика:
1
5
2
3
7
9
10
11
6
13
4
16
12
8
14
15
16
13
4
1
11
10
7
6
16
2
3
13
5
9
4
14
15
1
8
12
11
10
7
6
Построение методом Рауз-Болла магического квадрата восьмого порядка Инструкция - При диагонали соединяют не только углы квадрата, но и середины его сторон, то есть диагонали проводятся в четырёх угловых квадратах 4х4 (см. рис. );
- взаимно симметричных пар чисел, которые надо поменять местами, будет шестнадцать: 1-64, 10-55, 19-46, 28-37, 8-57, 15-50, 22-43, 29-36, 4-61, 5-60, 11-54, 14-51, 18-47, 23-42, 25-40, 32-33.
Готовый магический квадрат восьмого порядка, построенный методом Рауз-Болла
1
|
22
|
33
|
44
|
55
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
35
|
36
|
37
|
38
|
39
|
40
|
41
|
42
|
43
|
44
|
45
|
46
|
47
|
48
|
49
|
50
|
51
|
52
|
53
|
54
|
55
|
56
|
57
|
58
|
59
|
60
|
61
|
62
|
63
|
64
| МЕТОД ТЕРРАС - Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов
- Построение магического квадрата методом террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д.
- Рассмотрим его на примере магического квадрата 3 порядка.
- Алгоритм
- С четырёх сторон к исходному квадрату 3х3 добавляются террасы.
- В полученной фигуре располагают числа от 1 до 9 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх.
- Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата (числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо).
- Итак, рассмотрим метод террас, заполнения магического квадрата нечётного порядка на примере квадратов порядка 3 . Записываем числа следующим образом: числа, не попавшие в заштрихованный квадрат, сдвигаем на n=3 единицы: 1 – вниз, 3 – влево, 9 – вверх, 7 – вправо.
- Получаем магический квадрат 33. Сумма чисел = 15
. Построение магического квадрата n=5 Сейчас построим с вами магический квадрат пятого порядка, используя метод террас. Будем заполнять квадрат по шагам, по алгоритму. 1. С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавлены террасы. В полученной фигуре расположим числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх, как в примере с квадратом третьего порядка. 2. Числа, не попавшие в выделенный квадрат, сдвигаем на n=5 единиц: 1,2,6 – вниз, 4,5,10– влево, 24,25,20 – вверх, 16,21,20 – вправо. Получаем: Практическая работа.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
6
|
|
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
11
|
|
7
|
|
3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
16
|
|
12
|
|
8
|
|
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
21
|
|
17
|
|
13
|
|
9
|
|
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
22
|
|
18
|
|
14
|
|
10
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
23
|
|
19
|
|
15
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
24
|
|
20
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
25
|
|
|
|
|
11
|
24
|
7
|
20
|
3
|
4
|
12
|
25
|
8
|
16
|
17
|
5
|
13
|
21
|
9
|
10
|
18
|
1
|
14
|
22
|
23
|
6
|
19
|
2
|
15
| - методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка, но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной. Так, на рисунке вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.
На рисунке вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.
6
|
32
|
18
|
44
|
30
|
40
|
16
|
42
|
28
|
4
|
14
|
50
|
26
|
2
|
38
|
48
|
24
|
10
|
36
|
12
|
22
|
8
|
34
|
20
|
46
|
Метод квадратных рамок. - Магическим квадратом чётно-чётного порядка называется квадрат порядка n=4·m (m=1,2,3…), то есть порядок такого квадрата делится на 4.
- Для магических квадратов четно-четного порядка применяется метод квадратных рамок .
- Алгоритм
- На матричное поле (с изображённым на нём исходным квадратом 8х8) наносятся квадратные рамки со стороной в два раза меньшего размера, чем сторона исходного квадрата (см. рис ) с шагом в одну клетку по диагонали (или две клетки по строкам и столбцам).
- Затем по линиям рамок расставляются числа от 1 до 2n по порядку, начиная с левого верхнего угла исходного квадрата, причём первая рамка обходится по часовой стрелке, вторая рамка начинается с верхней свободной справа клетки квадрата и обходится против часовой стрелки и т. д.
- Числа, не попавшие в квадрат, переносятся внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата. Готовый магический квадрат изображён на рис.
1
2
3
4
5
6
7
8
10
11
13 12
14
15
16
17
18
19
21 20
22
23
24
25
26
27
28 29
30
31
32
33
| | | |
4
|
5
| | | | | | |
3
| | |
6
| | | | |
2
| |
21
|
20
| |
7
| |
1
| |
22
| | |
19
| |
8
|
16
|
23
| |
36
|
37
| |
18
|
9
|
24
|
15
|
35
| | |
38
|
10
|
17
|
25
|
34
|
14
|
53
|
52
|
11
|
39
|
32
|
33
|
26
|
54
|
13
|
12
|
51
|
31
|
40
|
48
|
55
|
27
| | |
30
|
50
|
41
|
56
|
47
| |
28
|
29
| |
42
|
49
|
57
| |
46
| | |
43
| |
64
| | |
58
| |
45
|
44
| |
63
| | | | |
59
| | |
62
| | | | | | |
60
|
61
| | | | Готовый магический квадрат 8-порядка - Определение .Обобщённым латинским квадратом порядка n называется квадратная таблица размером n· n, среди элементов которой различными будут только n штук, и любой из n различных элементов встречается ровно n раз внутри этой таблицы.
- Описание метода построения:
- 1 этап. Строим обобщённый латинский квадрат порядка n следующим образом: каждая строка нижней половины квадрата заполняется путём последовательного чередования чисел i и n-i-1, где i – порядковый номер строки (строки нумеруются снизу вверх целыми числами от 0 до n-1); верхняя половина квадрата получается из нижней отражением относительно вертикальной оси симметрии.
- 2 этап. Строим второй обобщённый латинский квадрат из первого. Для этого надо повернуть построенный на первом этапе квадрат на 90 градусов по часовой стрелке. Замечу, что полученные таким образом два латинских квадрата будут ортогональными, но я не стала давать определение ортогональных латинских квадратов, потому что для понимания представленного метода построения это не имеет значения.
- 3 этап. Строим совершенный квадрат следующим образом. Обозначим элементы первого латинского квадрата элементы второго латинского квадрата – ,тогда каждый соответствующий элемент совершенного квадрата получается по формуле:
- n + + 1
Первый Второй Магический латинский квадрат латинский квадрат квадрат четвёртого ттр порядка
2
|
1
|
2
|
11
|
3
|
0
|
3
|
0
|
1
|
2
|
1
|
2
|
0
|
3
|
0
|
3
|
0
|
1
|
3
|
2
|
3
|
2
|
0
|
1
|
0
|
1
|
3
|
2
|
3
|
2
|
0
|
1
|
9
|
6
|
12
|
7
|
16
|
3
|
13
|
2
|
5
|
10
|
8
|
11
|
4
|
15
|
1
|
14
|
Для нижней части квадрата:
первая строка: i= 0, 4-i-1=4-0-1=3. Числа 0 и 3 чередуются
Вторая строка: i =2, 4-2-1=1.
Числа 2 и 1 чередуются.
Для верхней части квадрата симметрично отражаем числа нижней части (по стрелкам).
i=3
i=2
i=1
i=0
Получили из первого квадрата поворотом на 90°по часовой стрелке.
Получили по формуле
=2·4+0+1=9
=1·4+1+1=6
=2·4+3+1=12
=1·4+2+1=7
=3·4+3+1=16
=0·4+2+1=3
=3·4+0+1=13 и тд
1
2
3
4
1 2 3 4
- Возникновение магических квадратов относится к глубокой древности. Наиболее ранние сведения о них содержатся, по-видимому, в китайских книгах, написанных в IV — V вв. до н. э. Из дошедших до нас древних магических квадратов самым «старым» является таблица Ло-шу (2200 до н. э.). Следующие по времени сведения о магических квадратах дошли до нас из Индии и Византии.
- В Европе изображение магических квадратов впервые встречается на гравюре «Меланхолия» немецкого художника Альбрехта Дюрера (1514). Этот магический квадрат состоит из 16 клеток: 4 строк и 4 столбцов, заполненных натуральными числами от 1 до 16. В нем сумма чисел по каждой строке, каждому столбцу и двум диагоналям равна 34. Средние числа в нижней строке (15 и 14) означают дату 1514 — год издания этой гравюры А. Дюрера.
- Способами составления магических квадратов занимались многие математики: в XVI в. А. Ризе и М. Штифель, в XVII в. А. Кирхер и Баше де Мезериак. Теорией магических квадратов занимался французский математик Делаир.
- Леонард Эйлер придумал метод шахматного коня для построения некоторых магических квадратов.
- Теория магических квадратов ни в коей мере не может считаться завершённой. До сих пор неизвестен общий метод построения всех магических квадратов и неизвестно их число.
ЛИТЕРАТУРА - Толковый словарь математических терминов. О.В.
- Я. В. Успенский Избранные математические развлечения. — Сеятель, 1924.
- Б. А. Кордемский Математическая смекалка. — М.: ГИФМЛ, 1958. — 576 с.
- М. М. Постников Магические квадраты. — М.: Наука, 1964.
- Н. М. Рудин От магического квадрата к шахматам. — М.: Физкультура и спорт, 1969.
- Е. Я. Гуревич Тайна древнего талисмана. — М.: Наука, 1969.
- М. Гарднер Математические досуги. — М.: Мир, 1972.
- Энциклопедический словарь юного математика. — М.: Педагогика, 1989.
- Ю. В. Чебраков Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. — СПб.: СПб гос. техн. ун-т, 1995.
- Ю. В. Чебраков Теория магических матриц. — СПб., 2008.
- М. Гарднер Глава 17. Магические квадраты и кубы // Путешествие во времени. — М.: Мир, 1990.Шахматный подход
|
|
|
Скачать 0.68 Mb.