Хищники-жертвы. Математическое моделирование экологической системы хищникижертвы

• Название: Математическое моделирование экологической системы хищникижертвы
• Дата: 10.12.2021
• Размер: 16.24 Kb.
• Имя файла: Хищники-жертвы.docx
• Тип: Документы; #298892

Математическое моделирование экологической системы
«хищники-жертвы».

Рассмотрим пример математического моделирования экологической системы, состоящей из двух популяций живых организмов, одна из которых существует исключительно за счет поедания представителей другой. Такую систему принято называть «хищники-жертвы». Это могут быть, например, рыси и зайцы, волки и овцы и т.д.

Имеется лишь один механизм взаимодействия между этими популяциями – хищники поедают жертв, благодаря чему выживают и размножаются. Однако, если хищники поедят всех жертв, то и сами погибнут от отсутствия пищи (как мы знаем, в реальности такого не происходит). Очевидно, что в такой системе поддерживается определенное динамическое равновесие. Цель моделирования – понять условия этого равновесия.

Построим дискретную модель динамики изменения численности популяций хищников и жертв. Пусть N_i – численность популяции жертв, а M_i- численность популяции хищников в некоторый момент времени t_i, ∆t – шаг по времени. Сформулируем основные допущения, принятые в нашей модели:

1. 
   При отсутствии хищников скорость роста числа жертв пропорциональна их количеству. При этом количество корма для жертв считается неограниченным.
   
2. 
   Скорость убывания числа жертв пропорциональна произведению численности обеих популяций.
   
3. 
   При отсутствии пищи (жертв) скорость убывания числа хищников пропорциональна их численности.
   
4. 
   Скорость роста числа хищников благодаря поеданию жертв пропорциональна произведению численности обеих популяций (с поправкой на эффективность рождения потомства у хищников, назовем это фертильностью).
   

Тогда, согласно подходу к дискретному моделированию динамических систем, получим систему уравнений:

N_i+1 = N_i + (r∙N_i - a∙Ni∙M_i)∙∆t

M_i+1 = M_i + (f∙a∙N_i∙M_i - q∙M_i)∙∆t

Физический смысл коэффициентов: r – параметр скорости роста популяции жертв в отсутствии хищников, a – параметр эффективности поиска хищниками жертв (вероятность встречи), q – параметр скорости уменьшения популяции хищников при отсутствии пищи (с поправкой на естественное вымирание хищников), f– параметр эффективности размножения хищников в результате поедания жертв (фертильность хищников).

Подробнее об этом можно прочитать в учебнике Семакина Информатика 11 класс (углубленный уровень), часть 2, стр. 120. Ниже приведена программа в среде «Исполнители», реализующая эту модель. Вы можете ее использовать (для этого надо запустить файл Kturtle и вставить туда программу). Четыре основных параметра модели вводятся с клавиатуры. На выходе получите динамику популяций – зависимость от времени числа жертв и хищников.

Задание – подобрать такие значения параметров (r, a, q и f), чтобы модель отражала процессы, наблюдаемые в реальной экологической системе (x – число хищников, y – число жертв). Ответ – в виде скриншота выполненной программы.

Хищникижертвы{дробные i=0,y=25,x=200,r,a,q,f;

Линия ( 0,400 ,600 ,400);

Линия ( 0,0 ,0 ,400);

Текст ( 20,20 ,"X,Y");

Текст ( 380,410 ,"t");

вывод"Введите r";ввод r;

вывод"Введите a";ввод a;

вывод"Введите q";ввод q;

вывод"Введите f";ввод f;

КурсорК( 0,200 );

цикл ( i=0;i<10; i=i+0.01)

{x=x+(x*r-a*y*x)*.01;

y=y+(f*a*x*y-q*y)*.01;

ЛинияК (i*100,400-x);цвет(2);; }

x=200;y=25;

КурсорК( 0,25 );

цикл ( i=0;i<10; i=i+0.01)

{x=x+(x*r-a*y*x)*.01;

y=y+(f*a*x*y-q*y)*.01;

ЛинияК (i*100,400-y );цвет(5);}}