туынды. ТУЫНДЫ ҰҒЫМЫ. Математика пніні жаа бадарламасында кез келген адам з мірінде кездесетін крделі есептерді орындау кесте, диаграмма, график тріндегі апаратты ои алуы ажет делінген
 Скачать 1.94 Mb.
|
|
2) Қасиеттері: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. . Лагранж теоремасы Дифференциалдық есептеулердің басым бөлігі «орта мән туралы теоремалардың» ішіндегі ең алғашқысы болып табылатын Лагранж теоремасына негізделген. Лагранж теоремасы математикалық талдаудың барлық салаларында маңызды орын алатын болғандықтан оған жіті көңіл бөлу қажет. Теорема (Лагранж теоремасы). Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз және осы аралықтың ішкі нүктелерінде дифференциалданатын болса, онда осы аралықтың ішінен (1) теңдігі орындалатындай кемінде бір нүктесі табылады. (1) формуласын Лагранж формуласы немесе ақырлы өсімшелер формуласы деп те атайды. айырмасы функциясының мен арасындағы өсімшесі деп аталады. Ал (1) формула сол өсімшені оның себебі болған аргументтің өсімшесі ( ) арқылы бейнелейді, сондықтан, ақырлы өсімшелер формуласы деп аталуының себебі де осында. Жоғарғы ретті туындылар Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар индукциялық тәсілмен анықталады: функцияның - ші ретті туындысы оның -ші туындысын дифференциалдау арқылы алынады, және дифференциалдар үшін де жағдай осылай. Сонымен , , ..., . функциясының жоғарғы ретті туындылары мен дифференциалдары келесі қатынастармен байланысқан: , (1) мұндағы тәуелсіз айнымалысының бірінші дифференциалының -ші дәрежесі; ол да индукция бойынша дәлелденеді. Егер тәуелсіз айнымалы болса, онда -ке тәуелсіз, сондықтан (1) өрнекті дифференциалдай отырып келесі нәтижелерді аламыз: . II тарау. МЕКТЕП МАТЕМАТИКАСЫНДА ТУЫНДЫ ҰҒЫМЫН ҚАЛЫПТАСТЫРУ 2.1 Функция туындысы ұғымын жалпы орта білім беретін мектеп бағдарламасына енгізудің қажеттілігі Математика курсында орта мектепте математикалық анализ элементтерін оқып үйренудегі алгебра және анализ бастамалары курсының мақсаты жоғары математика курсын оқыту барысына оқушыларға бұл бөлімдегі оқытылатын материалдық политехникалық қолданбалық анализін ашып көрсету, геометрия мен физиканы оқып үйренуге дайындау. Бұл тақырыпты түсіндіру барысында тұжырымдарды мазмұны жағынан ашу оның практикалық мазмұнын ашуға бағытталуы тиіс, сонымен бірге оқушылардың интуициясын, бұрынғы білімдерін белсенді түрде пайдалануы тиіс. Алгебра және анализ бастамалары оқу құралының туынды тақырыбын оқып үйренгенде мұғалім берілген барлық материалдың оқушыларды толық айтып беру деңгейіне жеткізіп, стандарттың міндетті деңгейін меңгеретіндей етіп біліктіліктерін қалыптастыруы тиіс. Мысалы математика бағдарламасында оқушылардан шек ұғымын, оны есептеу ережелерін оқушылардың міндетті түрде айтып беруін талап ету қарастырылмайды, мұнда негізінен элементар функциялардың туындыларының формулаларын білуге сол сияқты қарапайым ережелеріне назар аударуы керек болады . Аталған тақырыпты оқу барысында оқушылар мынадай білімді меңгеруі тиіс: туындының анықтамасы, қосындының, көбейтіндінің, бөліндінің туындыларын табу ережелерін, дәрежелік және тригонометриялық функциялардың туындысын білуі тиіс. Мынадай білікті меңгеру тиіс: қосындының, көбейтіндінің, бөліндінің туындыларын таба білу, дәрежелік және тригонометриялық функциялардың туындыларын таба білу. Оқытудың негізгі мақсаты оқушыға болғандағы функцияның шегі туралы түсінікті қалыптастыру. Оқу барысында оқушылар мұғалімнің жетекшілігімен қарапайым функциялар шектерін қарстыру мен және туындылары туралы теоремаларды талдау жүргізуге мүмкіндік алады. Бұл пунктың математикасын ойдағыдай меңгеру үшін мынадай жұмыстар жүргізген жөн. 1.Оқушылардан жуық мәні саны болатын - тің обсалют қатесін анықтауды қайталау. 2.Үйге есептеуге практикалық есеп беру. 3. Оқушылар «Функция мынадай шекке ұмтылады» деген сөйлемге үйрену үшін шек ұғымын енгізу. Ары қарай шектеуді есептеу ережелерін айтып түсіндіре беруге болады. Мұнда оқушылар шек ұғымын, оны есептеу ережелерін оқушылар жатқа біле беруі міндетті емес. Олар тек туынды ұғымын енгізу үшін қолданылатын көмекші құрал ретінде пайдаланылады. Сондықтан оқушыларға оларды қайта айтып беруді, ережелерді қайта айтып беруді, ережелерді қолдану білігін меңгеруді талап етудің қажеті жоқ. Оқушылар бұл теориалық материалды түсінулері үшін мұғалімнің басшылығымен оқу құралында берілген жаттығуларды орындаулары тиіс. Бұл тақрып бойынша 2 – сабақты физикалық, практикалық есептер шығарып дәлелдеуге берілген тапсырмаларды орындауға болады. Сабақты «алгебра және анализ бастамалары» оқулығының 5-параграфының 14-пунктінің 3 – 4 мысалдарынан бастаған жөн. 15 – пунктің материалын баяндауда аргументтің өсімшесі және функцияның өсімшесін енгізуден бастаған дұрыс. 16 – пунктің материалын оқу, үйрену мақсаты жанама мен туындының көрнекті бейнесін жасау. Осымен байланысты мағлұматтардың негізгі мақсаты жанама мен туындының нақты көрнекі бейнесін қалыптастыру. 17 – пунктің материалын оқыту мақсаты оқушыларды курстың негізгі ұғымы – туынды мен таныстыру. Жаңа материалды таныстытыруды мынадай схема бойынша жүргізуге болады. 1. Оқушылардың туындыны, жанаманың бұрыштық коэфиценті ретіндегі түсінуіне сүйене отырып нүктесіндегі функциясының туындыларының анықтамасын және белгілеулерін беру, оқушылар үшін жаңа операция дифференциалдау амалының мағынасын түсіндіру. 2.Бұл пунктегбарлық жаттығуларды орындаудың жалпы әдісін анықтау үшін туындының кейбір жекелеген кезеңдерін белгілепқойған пайдалы. Мысалы: мынадай схеманы ұсынуға болады: а) аргументтің өсімшесін көрсетіңдер ә) бұған сәйкес функцияның өсімшесін табыңдар б) функцияның өсімшесінің аргументін өсімшесіне қатынасын табыңдар в) аргументтің өсімшесі 0 – ге ұмтылғандағы берілген қатынастың шегін табыңдар 3. Анықтаманың көмегімен , , ; функцияларының туындыларының формулалары қортылады. Оқушылар туынды ұғымын сапалы түрде меңгеру үшін барлық оқушыларға соңынан тапсырмалар орындатып түгелдей тексерген жөн. 4. Оқушылардың туынды анықтамасын меңгеруіне мұғалімнің көзі жеткеннен кейін, өзінің анықталу облысын қандайда бір нүктеде дифференциалданбайтын функциялар туралы мысалдарды қарастыруға болады. Материалды бекіту үшін оқушыларға өз бетімен орындауға оқу құралындағы жаттығуларды беруге болады. 18 – пунктің матпериалын оқытудың негізгі мақсаты туындыны табу ережесін меңгеру, қосындының туындысын есептеу ережесін дәлелдеуді меңгеру, көбейту мен бөлудің туындысының формулаларын қорту барлық оқушылар үшін міндетті емес. Жаңа материалды түсіндірер алдында оқушылардан дифференциалдау ережелерін баяндауға негізгі мәселелерді қайталап алу қажет. Екі функцияның қосындысының туындысы туралы теореманы дәлелдеуде оқушылардың өздерін қатыстыра отырып дәлелдеу тиімді. Қосындының туындысы туралы теореманы бекіткеннен кейін туындыны табудың қалған ережелерін түсіндіруге болады. Мұғалімнің өзінің қалауына көбейту мен бөлудің туындысы туралы теореманы дәлелдесе де болады. Бірақ бекіту үшін жаттығуды оқушыларға өз бетінше орындатып, тұрақты көбейткішті алдына шығаруға болатындығын дәлелдеуін ұсынуға болады. Бұл тақырыпты оқып үйренуге 4 - сағат берілген. Бірінші сабақта қосынды туындысыт теорема түрінде дәлелденеді, көбейтінді мен бөліндінің туындысы туралы ережелері айтылады, келесі сабағында берілген жаттығулар орындалады. Математика бағдарламасында оқушының математикалық дайындығына қойылатын талаптар барлық оқушылардың күрделі функцияны дифференциялдауына байланысты білікті меңгеру қажеттілігі көрсетілген. Сондықтан әр – бір оқушының өз бетімен күрделі функцияның туындысын табуынталап етуі жөн. 19 – пункті оқу нәтижесінде оқушылар күрделі функцияны тани білуге үйренуі қажет, берілген күрделі функция қандай элементар функциядан тұратынын көрсете білуі тиіс және күрделі функцияның туындысын табу ержесімен байланысты түсіндірулерді саналы түрде қабылдай білуі керек. Оқу құралындағы бірінші мысалды қарастыру арқылы күрделі функция ұғымы енгізіледі. Оны бекіту үшін оны бекіту үшін оқу құралындағы жаттығулар орындалады. Қазіргі заманғы оқу стандартына сай жоғары сыныпта математика пәнінен сағат саны аз. Оның үстіне мектеп математика курсында өтілетін тақырыптардың негізгі бөлігі осы жоғары сыныптарда өтілетінін ескерсек, онда түсіндіруге және оқушылар алған теориялық білімді есептер шығару арқылы практикалық түрде тексеріп, бекітуге қажет болатын уақыттың тапшылығына байланысты көптеген тақырыптар, соның ішінде «туынды» тақырыбы да бар, үстірт өтіледі. Оған қоса жоғарыда аталған екі тәсіл өте нәзік математикалық білім мен түйсікті талап етеді, себебі бұл екі тәсілдің екеуі де практикадан көрі абстракцияға жақынырақ. Функцияның туындысын туындының анықтамасына ғана сүйене отырып табу ұзақ уақытты және белгілі бір дәрежедегі шеберлікті талап етеді, ал оқушылардың назарын аз уақытқа ғана шоғырландыруға болады. Уақытқа байланысты туынды ұғымының негізгі идеялары оқушылардың санасына жетпей қалады. Туындының анықтамасын пайдаланып пайымдауда процестердің саны көп. Тәуелсіз айнымалы мен тәуелді айнымалылардың ұмтылыстары екі процесс, мен -лардың тосыннан пайда болуы, шамаларының аздығы мен бұлардың арасындағы сабақтастықтар бір-біріне жалғасып күрделенуінің нәтижесінде оқушылардың білім қабылдау мүмкіншіліктеріне сәйкес келмейді. Оның үстіне шекті есептеуге қатысты теоремалардың барлығы өте нәзік сезімді талап ететін теңсіздіктер арқылы дәлелденеді. Басқаша айтқанда, күрделенген процесті ажырату оқушылардың жақын арада даму зонасынан шығып кетуінің нәтижесінде шек ұғымы қалыптаспай келеді. Біздің ұсынып отырғанымыз процестердің саны мен ұғымды пайымдауға қажетті уақытты азайту және туындының анықтамасын шек арқылы түсіндіруден кейін бірден негізгі элементар функциялардың туындыларының кестесі мен дифференциалдау ережелерін түсіндіру арқылы туынды ұғымын қалыптастыру ұсынылып отыр. Алдымен туынды ұғымын бағдарламаға енгізудің қажеттілігіне тоқталайық. Мектеп бітірген оқушылар қоғамға қажетті шаруашылықтың қай саласында қызмет атқаратындығы бізге беймәлім. Бірақ қай салада қызмет етсе де еңбегінің нәтижелі болуын көздеп олар ой таразысына салып талдайтындығы айқын. Бұл процесс. Процестің элементтерін анықтап, олардағы ақпарларды бір-бірімен салыстырып, өзгеру тенденциясына назар аударып, тиісті қорытынды жасауға үйретуге пайдаланатын оқу құралы осы туынды ұғымы. Мұның танымдық мәселесін дамытуға да қосатын үлесі айтарлықтай. Математикалық ұғымды қалыптастыру тұрғысынан қарастырғанда туынды ұғымының атқаратын қызметі ерекше. Өйткені функцияның туындысын есептеу кезінде математикалық формулалар мен теоремалар жиі айналымға келеді. Оқушыларға функция туындысы ұғымын үйрету тәсілі Ұғымды қалыптастыруға еңбектендіру арқылы оқушының өзін қатыстыру тиімді. Басқаша айтқанда, аталмыш ұғымды жетектеп үйрету әдісімен қалыптастыру керек. Есептеудің қарқынын жылдамдату үшін калькуляторды пайдалануға болады. Күдік туғызбас үшін мұғалім төменде көрсетілгендей екі-үш суретті (2.2-сурет және 2.3-сурет) дайындап қоюы керек. Тақырыпты мынадай жаттығулардан бастауға болады. 1. 2.2-суретке қарай отырып, жанаманы қисықпен бір ғана ортақ нүктесі бар түзу деп анықтаудың қаншалықты сәтсіз екендігіне көз жеткізіңіз. AB және CD түзулерінің қайсысы қисықты нүктесінде жанайды? 2. 2.3-суреттегі функцияның графигіне берілген нүктелердің қайсыларында жанама жүргізуге болатындығын, қайсыларында жанама жүргізуге болмайтындығын анықтаңыз. 3. Түзуге жүргізілген жанама деп нені түсінуге болады? 4. Қиылысатын екі түзудің арасындағы бұрышты қалай анықтауға болады? Осы тақырыпты оқушыларға оқытып-үйрету барысында математиканың негізгі ұғымдарының бірі болып табылатын «туынды» ұғымын меңгерту ең қиын мәселе болып табылады. Тәжірибе көрсетіп отырғанындай, оқушыларға туындының анықтамасын тұжырымдауды, дифференциалдау ережелерін қолдана отырып функцияның туындысын табуды, функцияның туындысының нүктедегі мәнін есептеуді үйрету салыстырмалы түрде жеңіл мәселелер болып табылады. Сонымен қатар, оқушылар есеп шешудің алгоритмін алдын-ала білген жағдайларда, мысалы, берілген қозғалыс теңдеуі бойынша жылдамдықты табу, берілген қисыққа берілген нүктеде жанама жүргізу, оларды қолдана білуді үйрету де онша қиын мәселе емес. Функцияны экстремумға зерттегенде туындыны қолдану алгоритмі де онша қиындық туғызбайды. Туындыны оқушылардың оны алуан түрлі жағдайларда (физикада, химияда, биологияда және басқа да ғылым салаларында) кездескенде өздерінің көре (таба, байқай) білулеріне үйрету өте қиын болып табылады. Себебі жаратылыстану ғылымдарының көптеген ұғымдары туынды ұғымынсыз сандық тұрғыдан суреттеле (сипаттала) алмауымен қатар, олар туынды ұғымынсыз тіпті анықталмайды да. Сонымен қатар, оқушылардың туындының механикалық мағынасын, яғни функция мәнінің берілген нүктедегі өзгеру жылдамдығы екенін меңгергенлері абзал. Математиканың басқа да көптеген ұғымдары сияқты туынды ұғымы оны үйренудің басынан бастап қандай да бір көрнекі модельмен байланыстырғанда жеңілірек меңгеріледі. Мұндай модель ретінде функция графигінің «көлбеу» шамасы, дәлірек айтқанда берілген функцияның графигіне берілген нүктеде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті алына алады. Сондықтан «Туынды» тақырыбын меңгерудің біз ұсынып отырған тәсілінің реті жанаманы оқып-үйренуден басталады. Екінші ерекшелігі - туындының механикалық мағынасын түсіну үшін геометриялық кескіндерді қолдану болып табылады. Мұндай рет, біріншіден, туынды ұғымының кем дегенде екі нақты ұғымды: кисықтың көлбеуі мен лездік жылдамдықты жалпылау үшін пайда болғанын, екіншіден, туындының геометриялық мағынасын бірден енгізу локалбдік жылдамдық ұғымын меңгертуді және кейбір фактілерді (мысалы, функцияның дифференциалданатындығы мен үзіліссіздігі арасындағы байланысты, функцияның өсімшесін оның басты бөлігіме жуықтап алмастырудыдың геометриялық мағынасын) геометриялық бейнелеуге мүмкіндік береді. Сонымен қатар, бұл рет туындыны қолдануға берілген жаттығулар аясын кеңітуге және бұл есептерді қарастыруды неғұрлым ертерек бастауға мүмкіндік береді. Қорыта айтқанда, оқушылардың дифференциалдау техникасын дамытумен қатар туындыны қолдануға байланысты есептерді қатар алып жүруге үйрету керек. Күрделі функцияның туындысы Егер және болса, яғни болса, онда , немесе . Кейбір күрделі функциялардың туындылары Егер -ке тәуелді функция және болса, онда
Кері функцияның туындысы Теорема. аралығын аралығына бейнелейтін функциясының кері функциясы бар болсын. нүктесіне сәйкес нүкте болсын. Егер функциясының нүктесінде туындысы бар және нөлге тең емес болса, онда кері функциясының нүктесінде туындысы бар болады және болады. Теореманың дәлелдеуі өте қарапайым: теңдігінен шекке көшу арқылы алынады. 2.2 Туындының мектеп математика курсында қолданылулары Бұл тарауда функцияның туындысының мектеп математика курсында қолданылу аясы туралы айтылады. Бірнеше анықтамалар мен теоремалардың айтылуларын ғана атап, теоремалардың дәлелдеулерін кез келген оқулықтан табуға болатындықтан оларды келтірмейміз. Туындының геометриялық қолданысы Берілген аралықта үзіліссіз функциясының графигін кез келген екі нүктеде қиып өтетін түзу қиюшы деп аталады. Біздің жағдайымызда ол ондай нүктелер және нүктелері. Егер нүктесін бекітіп алып, нүктесін функциясының графигінің бойымен нүктесіне ұмтылдырсақ, онда нүктесі нүктесімен беттескенде қиюшысы ие болатын шектік жағдай функциясының графигіне нүктесінде жүргізілген жанама деп аталады. функциясының нүктесіндегі туындысы функцияның графигіне нүктесінде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициентіне тең, яғни , мұндағы – жанаманың көлбеу бұрышы. қисығына нүктесінде жүргізілген жанаманың теңдеуі: . Екі түзудің перпендикуларлығының шартын (егер екі түзу өзара перпендикуляр болса, онда олардың бұрыштық коэффициенттерінің көбейтіндісі -ге тең) ескере отырып, қисығына нүктесінде жүргізілген жанамаға осы нүктеде жүргізілген перпендикулярдың (оны нормаль деп атайды) теңдеуін алуға болады (егер ): . Туындының механикалық қолданылулары Материалдық нүктенің түзу сызықты қозғалысының уақыт мезетіндегі лездік жылдамдығы , үдеуі . Функцияның нүктеде және аралықта өсуі мен кемуі Туындының көмегімен функцияның локальді және глобальді қасиеттері зерттеледі. Егер функция қандай да бір аралықта тұрақты болса, онда осы аралықта функцияның туындысы нөлге тең. Кері тұжырым да орын алады: 1-теорема (функцияның аралықта тұрақтылығының шарты). Егер функция аралығында дифференциалданатын болып, осы аралықтың әрбір нүктесінде оның туындысы нөлге тең болса, онда функция осы аралықта тұрақты болады. 2-теорема (функцияның нүктеде өсуінің (кемуінің) жеткілікті шарты). Егер функциясы нүктесінде дифференциалданатын болса және ( ) болса, онда нүктесінде бұл функция өседі (кемиді). 3-теорема (функцияның аралықта өсуінің (кемуінің) қажетті және жеткілікті шарттары). функциясы аралығында қатаң өспелі (қатаң кемімелі) болуы үшін аралығының әрбір нүктесінде ( ) шартының орындалуы қажетті және жеткілікті. 4-теорема (функцияның аралықта кемімейтін (өспейтін) болуының қажетті және жеткілікті шарттары). функциясы аралығында кемімейтін (өспейтін) болуы үшін аралығының әрбір нүктесінде ( ) шартының орындалуы қажетті және жеткілікті. |