РГР1 вариант 10. Материальная точка движется в плоскости хусогласно уравнениям х

• Название: Материальная точка движется в плоскости хусогласно уравнениям х
• Дата: 18.01.2023
• Размер: 272.81 Kb.
• Имя файла: РГР1 вариант 10.docx
• Тип: Документы; #892628

108. Материальная точка движется в плоскости хусогласно уравнениям х=A₁+B₁t+C₁t²и y=A₂+B₂t+C₂t², где B₁=7 м/с, С₁=– 2м/с², B₂= – 1м/с, С₂ =0,2 м/с². Найти модули скорости и ускорения точки в момент времени t = 5с.

х=A1+B1t+C1t2 y=A2+B2t+C2t2 B1=7 м/с С1=– 2м/с2 B2= – 1м/с С2 =0,2 м/с2 t = 5с

Запишем радиус-вектор. Он равен , где i – орт оси X, а j – орт оси Y. Поэтому получаем . Скорость есть производная перемещения по времени. Поэтому = . Эта величина является вектором. Проекция скорости V на ось X равна Vx=B1+2C1t, на ось Y равна Vy= B2+2C2t. Тогда модуль скорости равен . Подставляем числа. . По определению ускорение это производная скорости по времени. Поэтому . Проекция ускорения a на ось X равна ax=2C1, на ось Y равна ay= 2C2. Поэтому . Подставляем числа. .

V(t) = ? a(t) = ?

129. Из орудия, не имеющего противооткатного уст­ройства, производилась стрельба в горизонтальном на­правлении. Когда орудие было неподвижно закреплено, снаряд вылетел со скоростью V1 = 600 м/с, а когда ору­дию дали возможность свободно откатываться назад, снаряд вылетел со скоростью V2 = 580 м/с. С какой ско­ростью откатилось при этом орудие?

V1= 600 м/с V2= 580 м/с	Из закона сохранения импульса получаем, что импульс снаряда во втором случае равен импульсу установки: . Откуда искомая скорость равна . Из закона сохранения энергии получаем, что кинетическая энергия установки равна разности кинетических энергий снаряда в первом и втором случае: . Откуда . Подставляем в . Откуда .
V = ?

132. Из шахты глубиной H=600 м поднимают клеть массой m1 = 3,0 т на канате, каждый метр которого име­ет массу m2= 1,5 кг. Какая работа А совершается при поднятии клети на поверхность Земли? Каков коэффи­циент полезного действия η подъемного устройства?

H=600 м m1 = 3,0 т m2= 1,5 кг L = 1м

Работа, по определению равна , где F(x) – сила. В нашем случае , где m1×g – вес клети, - линейная плотность каната. (При поднимании длина троса уменьшается по закону H–x и, поэтому масса, которая свисает, равна α×(H–x)). Тогда . Упрощаем . Подставляем числа (переводя одновременно все величины в систему СИ). . Это совершенная работа, а полезная равна энергии необходимой только на поднятие одной клети: E=m1×g×H. Поэтому кпд равно . Подставляем числа. .

A = ? η = ?

150. К концам легкой и нерастяжимой нити, пере­кинутой через блок, подвешены грузы массами m1 = = 0,2 кг и m2 = 0,3 кг. Во сколько раз отличаются силы, действующие на нить по обе стороны от блока, если масса блока m = 0,4 кг, а его ось движется вертикально вверх с ускорением а’ = 2 м/с²? Силами трения и про­скальзывания нити по блоку пренебречь.

m1=0,2кг m2=0,3кг m = 0,4 кг а’= 2 м/с2

В еса первой и второй гири равны P1=m1×g и P2=m2×g соответственно. Ввиду того, что масса нити пренебрежимо мала, изменения натяжений T1 и T2 вдоль нити можно не учитывать. Используем второй закон Ньютона и, одновременно проецируем силы на ось X. Тогда уравнения движения грузов и блока будут: (1) (2) (3) , где J – момент инерции блока. Известно, что для однородного диска массой m и радиусом R момент инерции равен: . Если проскальзывания нити по блоку нет, то , где a – ускорение грузов, - угловое ускорение блока. Тогда . Из (1) и (2) уравнений находим . Подставляем и получаем , откуда ускорение равно . Подставляем ускорение в (1) и находим T1: . Подставляем ускорение в (2) и находим T2: . Отношение .

T2/T1 = ?

152. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень вертикально по оси скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью ω = 4 рад/с. С какой угловой скоростью ω1 будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он за­нял горизонтальное положение? Суммарный момент инер­ции человека и скамьи J=5 кг×м². Длина стержня L=1.8 м, масса m=6 кг. Считать, что центр масс стерж­ня с человеком находится на оси платформы.

ω = 4 рад/с J = 5 кг×м2 L = 1.8 м m = 6 кг	Воспользуемся законом сохранения момента импульса: где J – момент импульса человека и скамьи, J1 – момент инерции стержня относительно оси OO’, ω1 – искомая частота вращения. Момент инерции тонкого стержня массой m и длинной L относительно его центра равен . Тогда , откуда искомая частота . Подставляем числа. .
ω1 = ?

162. Какая работа А будет совершена силами грави­тационного поля при падении на Землю тела массой m = 2 кг: 1) с высоты h = 1000 км; 2) из бесконечности?

h1=R=1000км h2 = ∞ m=2кг M=6×1024 кг

На тело действует сила всемирного тяготения со стороны Земли, равная , где - гравитационная постоянная, M – масса Земли, R – это радиус Земли, h – расстояние от тела до поверхности Земли. Рассмотрим первый случай: h=1000км. Работа по определению равна , где x1 – начальное положение тела (x1=R), x2 – конечное (x2=0), , а x – это положение (высота) тела. Тогда . Подставляем числа. . Рассмотрим второй случай: h=∞. . Подставляем числа. .

A1 = ? A2 = ?

172. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых х=A1×sinω1×t и у=А2×cosω2×t, где A1 = 8 см, A2=4 см, ω1 = ω2=2с^-1. Написать уравнение траектории и постро­ить ее. Показать направление движения точки.

x=8sin2t см y=4cos2t см

Видно, что . Уравнение - это эллипс. По другому его записывают в виде . Из этого уравнения видно, что радиус эллипса вдоль x равен 8см, а вдоль y равен 4см. Итак, траектория – эллипс. Теперь найдем направление движения. В момент t=0 получаем: x(t=0)=0см, а y(t=0)=4см. То есть точка находится на оси Y. В момент t=π/2 получаем: x(t= π/4)=8см, а y(t= π/4)=0см. То есть точка находится на оси X. Из этого делаем вывод, что точка движется от оси Y к оси X, то есть по часовой стрелке.

Траектория - ?