сссс. Материалы для проведения ii (муниципального) этапа xlvii всероссийской олимпиады школьников по
 Скачать 323.59 Kb.
|
|
Материалы для проведения II (муниципального) этапа XLVII Всероссийской олимпиады школьников по математике в Московской области. 28 ноября 2020 года Долгопрудный 2020 Сборник содержит материалы для проведения II (муниципального) этапа XLVII Всероссийской олимпиады школьников по математике в Московской области. Задание подготовили к.ф.-м.н. Н.Х. Агаханов и к.ф.-м.н. О.К. Подлипский (Московский физико- технический институт). Авторы задач – Н.Х. Агаханов и О.К. Подлипский. Задача 10.5 предложена А.Д. Терёшиным. Рецензенты: к.ф.-м.н. И.И. Богданов, к.ф.-м.н. Б.В. Трушин. Муниципальный этап олимпиады проводится для учащихся 6-11 классов. Олимпиада проводится в единые сроки – 28 ноября 2020 года. Время выполнения работы: 6 класс – 3 часа, 7-11 класс – 4 часа. В соответствии с регламентом проведения Всероссийской олимпиады школьников по математике, при проверке работ оценивается: – правильное решение в 7 баллов; – решение с недочетами – в 5-6 баллов; – решение с пропущенными важными случаями, либо с доказанным одним из двух (более сложным) утверждений задачи – в 4 балла; – доказательство вспомогательных утверждений, помогающих в решении задачи – в 2-3 балла; – рассмотрение отдельных важных случаев при отсутствии решения – в 1 балл. Максимальное число баллов – 35. Во всех задачах, если это не оговорено специально, только верный ответ без обоснований стоит 0 баллов. Внимание! Приведенные решения не являются единственно правильными. Кроме того, оценка за задачу не должна зависеть от длины решения или его рациональности. В то же время, в 0 баллов оценивается «решение» задачи, при котором используется доказываемое утверждение (наиболее часто это встречается в геометрии: например, нужно доказать, что треугольник равносторонний, а решение начинается со слов «Пусть треугольник ABC – равносторонний…»). Текст любой длины, не содержащий существенных продвижений, оценивается в 0 баллов. Если задача сведена к более сложной, то ставится 0 баллов. Решение задач на нахождение наибольшего (наименьшего) значения какой-либо величины включает в себя два шага: 1) доказательство того, что эта величина не больше (не меньше) некоторого числа («оценка»); 2) построение примера, показывающего достижимость этого значения («пример»). В таких задачах, как правило, первый шаг решения оценивается в 4-5 баллов, второй шаг – в 2-3 балла. Следует учитывать, что школьники, впервые принимающие участие в олимпиаде, особенно учащиеся 6 и 7 классов, не умеют четко записывать объяснения в своих решениях. Поэтому в 6-7 классах нужно оценивать степень понимания решения, а не качество его записи. Также не следует снимать баллы за несущественные помарки, описки. Если в задаче используется теорема из школьной программы, но она явно не названа (например, если написано, какие стороны и углы треугольников равны, но не указан номер признака равенства, или написаны равенства из теоремы Виета, но теорема не названа), то баллы не снимать. В приведенных после решений задач комментариях указаны баллы за типичные продвижения в решении и ошибки. Баллы за отдельные продвижения суммируются, если это не оговорено отдельно. Желаем успешной работы! Условия, решения, комментарии 6 класс 6.1. Найдите самое большое шестизначное число, все цифры которого различны, и каждая из цифр, кроме крайних, равна либо сумме, либо разности соседних с ней цифр. Ответ. 972538. Решение. Пусть A – искомое число. Попробуем найти число A с первой цифрой 9. Переберем варианты второй цифры. Если вторая цифра – 8. Тогда получаем: A = 98176 – не получается шестизначное число. Если вторая цифра – 7. Тогда получаем: A = 972538 – шестизначное. Комментарий. Просто правильный ответ, а попытки подбора максимального числа отсутствуют – 4 балла. Любой неверный ответ – 0 баллов. 6.2. Два велосипедиста собрались доехать из пункта A в пункт B. Скорость первого из них равна 35 км/ч, второго – 25 км/ч. Известно, что каждый из них ехал только тогда, когда другой отдыхал (стоял на месте), а всего за 2 часа они проехали одинаковое расстояние. Могли ли они доехать за 2 часа до пункта B, расположенного на расстоянии 30 км от пункта A? Ответ. Не могли. Решение. Будем считать, что велосипедисты одновременно не отдыхали. Раз они проехали одинаковое расстояние, а отношение их скоростей равно 7:5, то время движения первого велосипедиста – 5 частей, второго – 7 частей времени. Всего они ехали 2 часа = 120 минут. Значит, одна часть времени – 10 минут. Следовательно, второй ехал 70 минут = 1 час 10 минут. За час он проехал 25 км, за 10 минут – 1/6 от 25 км, что меньше 1/6 от 30 км, то есть меньше 5 км. Всего он проехал меньше 30 км. Комментарий. Верный ответ без обоснований – 0 баллов. 6.3. Найдите все решения ребуса: ТУК + ТУК + ТУК + ТУК + ТУК = СТУК. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным буквам – разные цифры. Ответ. Два решения ( 250 250 1250 + + = … и 750 750 3750 + + = … ). Решение. Вычтем из обеих частей равенства ТУК. Получим: ТУК + ТУК + ТУК + ТУК = С000. То есть 4 ⋅ТУК = С⋅1000. Разделив на 4, получаем: ТУК = С⋅250. Число ТУК – трехзначное, поэтому С< 4. Проверка показывает, что цифры С = 1, тогда ТУК = 250 и С = 3, тогда ТУК = 750 подходят, а цифра С = 2, не подходит – тогда ТУК = 500 – имеет одинаковые цифры. Комментарий. Просто правильный ответ – 3 балла; Один из двух правильных ответов – 1 балл. Присутствует догадка вычитания из обеих частей числа ТУК – 2 балла. 6.4. Коля разрезал квадрат 120 ×120 на уголки видов , и , а Вася разрезал такой же квадрат на уголки тех же видов, но другим способом. Мог ли Вася получить на 11 уголков больше, чем Коля? (Уголки можно поворачивать.) Ответ. Не мог. Решение. Заметим, что каждый уголок состоит из нечетного числа клеток. Поэтому при разрезании квадрата должно использоваться четное число уголков. Но разность двух четных чисел не может равняться 11. Комментарий. Верный ответ без обоснований – 0 баллов. 6.5. В замке 16 одинаковых квадратных комнат, образующих квадрат 4 ×4. В эти комнаты по одному человеку поселилось 16 человек – лжецы и рыцари (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду). Каждый из этих 16 человек сказал: «По крайней мере в одной из соседних с моей комнат живет лжец». Какое наибольшее количество лжецов могло быть среди этих 16 человек? Комнаты считаются соседними, если у них общая стена. Ответ. 8 лжецов. Решение. Заметим, что в соседних комнатах не могут жить лжецы (иначе они говорили бы правду). Разобьем комнаты на 8 пар соседних. Тогда в каждой паре может жить не более одного лжеца. Поэтому всего лжецов не более 8. Рассмотрим шахматную раскраску комнат в черный и белый цвета. Если поселить 8 лжецов в «черные» комнаты, а 8 рыцарей в «белые», то условие задачи будет выполняться (все лжецы будут лгать, а все рыцари будут говорить правду). Комментарий. Верный ответ без обоснований – 0 баллов. Пример расселения 8 лжецов и 8 рыцарей – 2 балла. Доказано, что лжецов не более 8 – 5 баллов. 7 класс 7.1. Пальмовое масло подорожало на 10%. Из-за этого сыр одного из производителей подорожал на 3%. Какой процент пальмового масла в сыре этого производителя? Ответ. 30%. Решение. Будем считать, что сыр стоил 100 условных рублей за килограмм. Тогда он подорожал на 3 рубля. Так как это произошло из-за подорожания пальмового масла, то 3 рубля – это 10% от стоимости пальмового масла в сыре, то есть стоимость пальмового масла в килограмме сыра составляет 30 рублей. Значит, пальмовое масло составляет 30%. Комментарий. Верный ответ без обоснований – 0 баллов. 7.2. Три велосипедиста выезжают из города. Скорость первого из них равна 12 км/ч, второго – 16 км/ч, третьего – 24 км/ч. Известно, что первый из них ехал ровно тогда, когда второй и третий отдыхали (стояли на месте), и что ни в какой момент времени одновременно два велосипедиста не ехали. Также известно, что за 3 часа все трое проехали одинаковое расстояние. Найдите это расстояние. Ответ. 16 км Решение. Из условия следует, что каждый из велосипедистов ехал в то время, когда двое других стояли, и, кроме того, в каждый момент времени кто-то из велосипедистов ехал (первый ехал, когда второй и третий стояли). Раз они проехали одинаковое расстояние, а отношение их скоростей равно 3:4:6, то время движения первого велосипедиста – 24 части, второго – 18 частей, третьего – 12 частей времени. Всего они ехали 3 часа = 180 минут. Значит, одна часть времени – 10/3 минуты. Следовательно, первый ехал 80 минут, то есть 4/3 часа. За это время он проехал 16 км. Комментарий. Верный ответ без обоснований – 0 баллов. 7.3. Число В получается из числа А по следующему правилу: одновременно изменяются все цифры числа А. При этом если цифра больше 2, то из нее можно вычесть 2, а если цифра меньше 8, то к ней можно прибавить 2 (например, цифра 4 может быть заменена на 2, либо на 6, а цифра 9 должна быть заменена только на 7). Может ли сумма чисел А и В равняться 2345678? Ответ. Не может. Первое решение. Заметим, что числа A и B могут состоять только из 6 или 7 цифр. Сумма чисел A и B равна сумме чисел C и D, где у числа C на каждой позиции записана меньшая из соответствующих цифр чисел A и B, а у числа D – бо́льшая из цифр. Таким образом, , где количество N двоек равно количеству цифр числа C. По условию , то есть 22 22 D C = + … 2345678 A B + = 2 22 22 2345678 C + = … . Если 6 N = , то 2345678 222222 1061728 2 C − = = – семизначное число – противоречие. Если же 7 N = , то 2345678 2222222 61728 2 C − = = – пятизначное число – снова противоречие. Второе решение. Если числа A и B состоят не более чем из 6 цифр, то их сумма меньше 2000000. Если же числа A и B состоят не менее чем из 7 цифр, то их сумма больше 3000000. Комментарий. Верный ответ без обоснований – 0 баллов. Разобран только один из случаев (6 или 7 цифр) – не более 3 баллов за задачу. 7.4. Коля разрезал квадрат 120 ×120 на фигурки видов , , и , а Вася разрезал такой же квадрат на фигурки тех же видов, но другим способом. Мог ли Вася получить на 5 фигурок больше, чем Коля? (Фигурки можно поворачивать и переворачивать.) Ответ. Не мог. Решение. Заметим, что разность количества клеток у любых двух фигурок делится на 3. Рассмотрим Васино разрезание квадрата и оставим в нем столько же фигурок, сколько использовал Коля. Тогда на оставшиеся 5 фигурок приходятся клетки, количество которых делится на 3 (так как Васины и Колины фигурки сейчас можно разбить на пары, а в каждой паре разность количества клеток будет делиться на 3). Однако суммарное количество клеток в 5 фигурках не делится на 3. Комментарий. Верный ответ без обоснований – 0 баллов. 7.5. 16 путешественников, каждый из которых лжец или рыцарь (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду), поселились в 3 комнатах гостиницы. Когда все собрались в своих номерах, Василий, проживающий в первом номере, сказал: «В этом номере сейчас находится больше лжецов, чем рыцарей. Хотя нет – в этом номере сейчас находится больше рыцарей, чем лжецов». После чего Василий зашел во второй номер и сказал там те же два утверждения. А после этого он зашел в третий номер и там тоже сказал те же два утверждения. Какое количество рыцарей могло быть среди этих 16 путешественников? Ответ. 9 рыцарей. Решение. Поскольку утверждения Василия противоречат друг другу, то Василий – лжец. Значит, оба утверждения Василия (про каждую комнату) – ложь, и в каждой комнате (когда он там был) лжецов и рыцарей было поровну. Значит, в каждой комнате без Василия рыцарей на 1 больше чем лжецов. Поэтому среди 15 оставшихся путешественников рыцарей на 3 больше чем лжецов, то есть среди них 9 рыцарей и 6 лжецов. Комментарий. Верный ответ без обоснований – 0 баллов. Показано, что Василий – лжец – 1 балл. Доказано, что в каждой комнате без Василия рыцарей на 1 больше чем лжецов – 4 балла. 8 класс 8.1. Если в произведении двух натуральных чисел один сомножитель увеличить на 2, а другой уменьшить на 2, то произведение чисел не изменится . Докажите, что если к этому произведению прибавить 1, то получится квадрат целого числа. Решение. Обозначим данные натуральные числа x и y. Тогда Откуда 2 . Тогда ( 2)( 2 xy x y = + − ) y x = + 2 1 ( 2) 1 ( 1) xy x x x + = + + = + Комментарий. Доказано, что разность натуральных чисел равна 2 – 2 балла. 8.2. На прямой расположены синие и красные точки, красных точек не меньше 5. Известно, что на любом отрезке с концами в красных точках, содержащем внутри красную точку, есть по крайней мере 3 синие точки. А на любом отрезке, с концами в синих точках, содержащем внутри 2 синих точки, есть по крайней мере 2 красные точки. Какое наибольшее количество синих точек может быть на отрезке с концами в красных точках, не содержащем других красных точек? Ответ. 3. Решение. Заметим, что на отрезке с концами в красных точках, не содержащем других красных точек, не может быть 4 синих точек. Действительно, в этом случае между крайними синими точками будет 2 синих, а, значит, еще хотя бы 2 красные. Поэтому на таком отрезке не более 3 синих точек. Покажем, что 3 синие точки могут лежать на отрезке с концами в красных точках, не содержащем других красных точек. Пусть точки расположены на прямой в следующем порядке: 2 красных – 3 синих – 2 красных – 3 синих – 2 красных. Тогда все условия выполняются, и есть отрезок с 3 синими точками. Комментарий. Доказано, что синих точек между соседними красными не больше 3 – 4 балла. Приведен верный пример с 3 синими точками – 3 балла. 8.3. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена высота AH, а из середины M стороны AB опущен перпендикуляр MK на сторону AC. Оказалось, что AH = MK. Найдите периметр треугольника ABC, если AK = a. Ответ. 20a. Решение. Треугольник ABC – равнобедренный, значит, MAK ACH ∠ = ∠ . Тогда треугольники MAK и ACH равны (прямоугольные с равными катетами MK AH = и равными противолежащими острыми углами). Значит, 1 2 AC AM AB = = . Проведем высоту BO треугольника ABC. По теореме Фалеса , значит . Тогда , : AK KO AM MB = : 2 2 AO AK a = = 2 4 AC AO a = = 2 8 AB AC a = = . Значит, периметр равен 8 8 4 20 a a a a + + = Комментарий. Доказано равенство треугольниковMAK и ACH – 2 балла. 8.4. В замке 25 одинаковых квадратных комнат, образующих квадрат 5 ×5. В эти комнаты по одному человеку поселилось 25 человек – лжецы и рыцари (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду). Каждый из этих 25 человек сказал: «По крайней мере в одной из соседних с моей комнат живет лжец». Какое наибольшее количество лжецов могло быть среди этих 25 человек? Комнаты считаются соседними, если у них общая стена. Ответ. 13 лжецов. Решение. Заметим, что в соседних комнатах не могут жить лжецы (иначе они говорили бы правду). Выделим одну угловую комнату, а оставшиеся комнаты разобьем на 12 пар соседних. Тогда в каждой паре комнат может жить не более одного лжеца. Поэтому всего лжецов не более . Рассмотрим шахматную раскраску комнат в черный и белый цвета (угловые комнаты черные). Если поселить 13 лжецов в «черные» комнаты, а 12 рыцарей в «белые», то условие задачи будет выполняться (все лжецы будут лгать, а все рыцари будут говорить правду). 12 1 13 + = Комментарий. Верный ответ без обоснований – 0 баллов. Пример расселения 13 лжецов и 12 рыцарей – 2 балла. Только утверждение про то, что лжецы не могут жить в соседних комнатах – 1 балл. Доказано, что лжецов не более 13 – 5 баллов. 8.5. Есть 90 карточек – 10 с цифрой 1, 10 с цифрой 2, …, 10 с цифрой 9. Из всех этих карточек составили два числа, одно из которых в три раза больше другого. Докажите, что одно из этих чисел можно разложить на четыре не обязательно различных натуральных множителя, больших единицы. Решение. Обозначим эти числа A и 3 B A = . Тогда сумма цифр числа B делится на 3. Но сумма цифр на всех карточках делится на 9 (а, значит, и на 3), поэтому сумма цифр числа A делится на 3. Значит, число A делится на 3. Но тогда число 3 B A = делится на 9 и сумма его цифр делится на 9. А так как сумма цифр на всех карточках делится на 9, то тогда и сумма цифр числа A делится на 9. Значит, число A делится на 9. Поэтому число 3 B A = делится на 27. Итак, число B делится на 27 и больше 27, поэтому оно раскладывается на 4 множителя 3, 3, 3 и 1 27 B > . Комментарий. Доказано, что большее из чисел делится на 9 – 3 балла. 9 класс 9.1. Дано выражение 1 1 x y + , где x и y – натуральные числа. Если число x увеличить на 2, а число y уменьшить на 2, то значение этого выражения не изменится. Докажите, что 1 xy + – квадрат целого числа. Решение. По условию 1 1 1 1 2 2 x y x y + = + + − , откуда ( 2)( 2 x y x y xy x y ) + + = + − . Так как x y + положительно, то ( 2)( 2 xy x y ) = + − . Откуда 2 . Тогда y x = + 2 1 ( 2) 1 ( 1) xy x x x + = + + = + Комментарий. Доказано, что 2 y x = + – 2 балла. 9.2. На прямой расположены синие и красные точки, красных точек не меньше 5. Известно, что на любом отрезке с концами в красных точках, содержащем внутри красную точку, есть по крайней мере 4 синие точки. А на любом отрезке, с концами в синих точках, содержащем внутри 3 синих точки, есть по крайней мере 2 красные точки. Какое наибольшее количество синих точек может быть на отрезке с концами в красных точках, не содержащем других красных точек? Ответ. 4. Решение. Заметим, что на отрезке с концами в красных точках, не содержащем других красных точек, не может быть 5 синих точек. Действительно, в этом случае между крайними синими точками будет 3 синих, а, значит, еще хотя бы 2 красные. Поэтому на таком отрезке не более 4 синих точек. Покажем, что 4 синие точки могут лежать на отрезке с концами в красных точках, не содержащем других красных точек. Пусть точки расположены на прямой в следующем порядке: 2 красных – 4 синих – 2 красных – 4 синих – 2 красных. Тогда все условия выполняются, и есть отрезок с 4 синими точками. Комментарий. Доказано, что синих точек между соседними красными не больше 4 – 4 балла. Приведен верный пример с 4 синими точками – 3 балла. 9.3. Числа x и y удовлетворяют неравенствам 3 2 x y > и 3 2 y x > . Докажите, что 1 y > . Решение. Правые части неравенств неотрицательны, поэтому оба числа x и y положительны. Перемножив данные неравенства и сократив на положительное число 2 ( ) xy , получим: 1 xy > . Это означает, что по крайней мере одно из (положительных!) чисел x и y больше 1. Если 1 y > , то утверждение доказано. Пусть 1 x > . Тогда из неравенства 3 2 y x > следует, что , то есть 3 1 y > 1 y > . Комментарий. Доказано, что 1 xy > – 2 балла. Доказано, что одно из чисел x и y больше 1 – еще 1 балл. Рассмотрены не все случаи – не более 4 баллов. 9.4. В замке 9 одинаковых квадратных комнат, образующих квадрат 3 ×3. В эти комнаты по одному человеку поселилось 9 человек – лжецы и рыцари (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду). Каждый из этих 9 человек сказал: «По крайней мере в одной из соседних с моей комнат живет лжец». Какое наибольшее количество рыцарей могло быть среди этих 9 человек? Комнаты считаются соседними, если у них общая стена. Ответ. 6 рыцарей. Решение. Заметим, что у каждого рыцаря хотя бы один из соседей должен быть лжецом. Покажем, что лжецов должно быть не менее 3 (так мы покажем, что рыцарей не больше 6). Пусть лжецов не больше 2, тогда найдется «вертикальный ряд» комнат, в которых живут только рыцари. Но тогда у каждого из этих рыцарей должен быть сосед лжец (и эти соседи разные). Поэтому лжецов не меньше 3. На рисунке показано, как могли поселиться 6 рыцарей и 3 лжеца. Р Л Р Р Р Л Л Р Р Комментарий. Верный ответ без обоснований – 0 баллов. Пример расселения 3 лжецов и 6 рыцарей – 2 балла. Доказано, что рыцарей не более 6 – 5 баллов. Замечание 1. В примере лжецы не должны быть соседями. Замечание 2. Есть и другие примеры. 9.5. На данной окружности ω выбрана фиксированная точка A. Выберем на окружности две произвольные точки B и C, и найдем точку D пересечения биссектрисы угла ABC с окружностью ω. Пусть K – такая точка, что точка D – середина отрезка AK. Прямая KC вторично пересекает окружность в точке P ( P C ≠ ). Докажите, что точка P не зависит от выбора точек B и C. Первое решение. Покажем, что точка P диаметрально противоположна точке A. Это и будет означать, что P не зависит от выбора точек B и C. Таким образом, нам нужно доказать, что PD – перпендикуляр к AK. Будем считать, что точка C лежит на отрезке KP. Другой случай разбирается аналогично. AD DK = , значит, нам нужно доказать, что APD KPD α β = ∠ = = ∠ . Но APD ABD α = ∠ = ∠ (вписанные, опираются на дугу AD), CPD CBD β = ∠ = ∠ (вписанные, опираются на дугу CD). Наконец, ABD CBD ∠ = ∠ , так как BD – биссектриса ABC ∠ . Утверждение доказано. Второе решение. Как и в первом решении, покажем, что точка P диаметрально противоположна точке A. Так как BD – биссектриса угла ABC, то дуги AD и DC равны, значит, AD DC = . Из того, что точка D – середина отрезка AK, следует . Значит, . То есть в треугольнике ACK медиана CD равна половине стороны AK, к которой она проведена. Значит, треугольник ACK – прямоугольный, и Поэтому , и AP – диаметр окружности ω. AD DK = AD DC DK = = 90 ACK ∠ = ° ° 90 ACP ∠ = Комментарий. Указано условие, равносильное утверждению задачи (точка P диаметрально противоположна точке A) – 2 балла. Разобран только один случай расположения точки C – баллы не снимаются. 10 класс 10.1. Найдите сумму sin sin sin x y z + + , если известно, что sin tg x y = , sin tg y z = , sin tg z x = Ответ. 0. Первое решение. Из того, что sin tg x y = , получаем sin cos sin x y = y . Отсюда | sin | | cos | | sin | x y ⋅ = y . Значит, | sin | | sin | x y ≥ , причем неравенство обращается в равенство только если либо , либо когда sin sin 0 y x = = | cos | 1 y = (а, значит, опять sin sin 0 y x = = ). Аналогично, из оставшихся уравнений получаем неравенства | sin | | sin | y z ≥ и . Отсюда | sin | | sin | z ≥ x | sin | | sin | | sin | | sin | x y z ≥ ≥ ≥ x . Поэтому | sin | | sin | | sin | x y = = z . А так как все неравенства обратились в равенства, мы получаем, что , и sin sin sin 0 x y z = = = sin sin sin 0 x y z + + = Второе решение. Если один из синусов равен нулю, то равный ему тангенс равен нулю, значит, синус, стоящий в числителе тангенса, равен нулю. Последовательно получаем, что остальные синусы и тангенсы равны нулю. В этом случае sin sin sin 0 x y z + + = Пусть ни один из синусов не равен нулю. Перемножив все три равенства, получим sin sin sin sin sin sin tg tg tg cos cos cos x y z x y z y z x x y z = = Так как sin sin sin 0 x y z ≠ , то cos cos cos 1 x y z = . Но это возможно только если | cos | | cos | | cos | 1 x y z = = = , то есть синусы равны нулю, и рассматриваемый случай невозможен. Комментарий. Верный ответ без обоснований – 0 баллов. Ответ получен рассмотрением примера – 1 балл. Неверно рассмотрен (или пропущен) хотя бы один случай – не более 3 баллов. 10.2. Дано выражение A xy yz zx = + + , где x, y, z – целые числа. Если число x увеличить на 1, а числа y и z уменьшить на 2, то значение выражения A не изменится. Докажите, что число – квадрат целого числа. ( 1) A − ⋅ Решение. По условию ( 1)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 1) xy yz zx x y y z z x + + = + − + − − + − + , откуда , или 4x y z + + = 0 4 y z x + = − . Тогда ( 1) ( ) ( ) A xy yz zx yz x y z − ⋅ = − + + = − − + = 2 2 2 ( ) 4 ( ) ( ) 4 4 4 2 y z y z yz y z y yz y z + + − − ⎛ − + + = = = ⎜ ⎝ ⎠ z − ⎞ ⎟ . Так как , то y и z одинаковой четности, поэтому число 4 y z x + = − 2 y z − – целое. Комментарий. Доказано, что 4 0 x y z + + = – 2 балла. Получено равенство 2 ( 1) 2 y z A − ⎛ − ⋅ = ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ , но не доказано, что выражение в скобках – целое число – 4 балла. 10.3. Числа x и y удовлетворяют неравенствам 7 6 x y > и 7 6 y x > . Докажите, что 2 x y + > Решение. Докажем, что 1 x > и 1 y > , из чего и будет следовать доказываемое утверждение. Правые части неравенств неотрицательны, поэтому оба числа x и y положительны. Перемножив данные неравенства и сократив на положительное число 6 6 x y , получим: 1 xy > . Это означает, что по крайней мере одно из (положительных!) чисел x и y больше 1. Пусть, например, 1 x > . Тогда из неравенства 7 6 y x > следует, что , то есть 1 7 1 y > y > . Поэтому 2 x y + > Комментарий. Доказано, что 1 xy > – 2 балла. Доказано, что одно из чисел x и y больше 1 – еще 1 балл. Рассмотрены не все случаи – не более 4 баллов. Замечание. Другое доказательство того, что 1 x > и 1 y > можно получить, переписав неравенства в виде 6 7 x y > и 6 7 y x > , и подставив x (y) из одного неравенства в другое (при этом в решении должна использоваться положительность чисел x и y). 10.4. В замке 16 одинаковых квадратных комнат, образующих квадрат 4 ×4. В эти комнаты по одному человеку поселилось 16 человек – лжецы и рыцари (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду). Каждый из этих 16 человек казал: «По крайней мере в одной из соседних с моей комнат живет лжец». Какое наибольшее количество рыцарей могло быть среди этих 16 человек? Комнаты считаются соседними, если у них общая стена. Ответ. 12 рыцарей. Решение. Заметим, что у каждого рыцаря хотя бы один из соседей должен быть лжецом. Покажем, что лжецов должно быть не менее 4 (так мы покажем, что рыцарей не больше 12). Пусть лжецов не больше 3, тогда найдется «вертикальный ряд» комнат, в которых живут только рыцари. Но тогда у каждого из этих рыцарей должен быть сосед лжец (и эти соседи разные). Поэтому лжецов не меньше 4. На рисунке показано, как могли поселиться 12 рыцарей и 4 лжеца. Р Л Р Р Р Р Р Л Л Р Р Р Р Р Л Р Комментарий. Верный ответ без обоснований – 0 баллов. Пример расселения 4 лжецов и 12 рыцарей – 2 балла. Доказано, что рыцарей не более 12 – 5 баллов. Замечание 1. В примере лжецы не должны быть соседями. Замечание 2. Оценку можно получить, заметив, что в трех комнатах – угловой и двух соседних к ней должен поселиться хотя бы один лжец. 10.5. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота CH. Точка P симметрична точке A относительно прямой BC. Прямая CH вторично пересекает окружность, описанную около треугольника ACP, в точке K. Прямая KP пересекает отрезок AB в точке M. Докажите, что AC=CM. Решение. В силу того, что CH – высота треугольника ACM, равенство AC CM = равносильно тому, что CH – серединный перпендикуляр к отрезку AM, то есть тому, что KH – серединный перпендикуляр к отрезку AM. А это равносильно тому, что AK KM = , то есть равенству , то есть AKH MKH ∠ = ∠ AKC CKP α β ∠ = = ∠ = . Но CPA α = ∠ (вписанные, опираются на дугу AC), CAP β = ∠ (вписанные, опираются на дугу CP). Наконец, по условию точки A и P симметричны относительно прямой CB, значит, , и тогда CPA CAP α β = ∠ = = ∠ . Утверждение доказано. AC CP = Комментарий. Записано геометрическое утверждение, равносильное симметричности точек P и A – 1 балл. 11 класс 11.1. Дано выражение 1 1 1 x y xy + + , где x и y – натуральные числа. Если число x увеличить на 4, а число y уменьшить на 4, то значение этого выражения не изменится. Докажите, что 4 xy + – квадрат целого числа. Решение. По условию 1 1 1 1 1 1 4 4 ( 4)( x y xy x y x y + + = + + 4) + − + − , откуда 1 ( 4)( 4 x y x y xy x y + + + + = + − 1 ) . Так как 1 x y + + положительно, то . Откуда . Тогда ( 4)( 4 xy x y = + − ) 4 y x = + 2 4 ( 4) 4 ( 2) xy x x x + = + + = + Комментарий. Доказано, что 4 y x = + – 2 балла. 11.2. На доске написано 4 числа. Вася умножил первое из этих чисел на sin α , второе – на cos α , третье – на tg α , четвертое – на ctg α (для некоторого угла α ) и получил набор из тех же 4 чисел (возможно записанных в другом порядке). Какое наибольшее количество различных чисел могло быть написано на доске? Ответ. 3 числа. Решение. Докажем сначала, что на доске был записан хотя бы один ноль. Действительно, пусть на доске были записаны ненулевые числа , тогда их произведение должно равняться произведению новых чисел , , , a b c d abcd sin cos tg ctg abcd α α α α Но из того что следует, что 0 abcd ≠ 1 1 sin cos tg ctg sin 2 2 α α α α α = = , что невозможно. Значит, среди чисел на доске есть 0. Заметим, что sin cos 0 α α ≠ (а, значит, | sin | 1,| cos | 1 α α ≠ ≠ ), в противном случае tg α или ctg α был бы не определен. Если среди трех оставшихся чисел нет нуля, то аналогично предыдущему рассуждению, произведение трех тригонометрических функций равно 1. Но cos tg ctg cos 1 α α α α = ≠ , sin tg ctg sin 1 α α α α = ≠ , 2 sin cos ctg cos 1 α α α α = ≠ , . Поэтому на доске не меньше двух нулей, то есть различных чисел не больше 3. Ровно три различных числа могли быть, например, в такой ситуации. На доске написаны числа 0, 0, 1 и 2, и они умножались на 2 sin cos tg sin 1 α α α α = ≠ sin ,cos , tg ,ctg 4 4 4 4 π π π π соответственно. Комментарий. Доказано только, что на доске есть 0 – 1 балл. Доказано, что на доске не более 3 различных чисел – 5 баллов. Приведен пример с 3 различными числами – 2 балла. 11.3. Числа x и y удовлетворяют неравенствам 5 4 x y > и 5 4 y x > . Докажите, что 3 2 x y > Решение. Докажем, что 1 x > и 1 y > . Правые части неравенств неотрицательны, поэтому оба числа x и y положительны. Перемножив данные неравенства и сократив на положительное число 4 ( ) xy , получим: 1 xy > . Это означает, что по крайней мере одно из (положительных!) чисел x и y больше 1. Пусть, например, 1 x > . Тогда из неравенства 5 4 y x > следует, что , то есть 5 1 y > 1 y > . Если x y > , то 3 2 2 x x y > > Если 1 x y < ≤ , то 5 4 2 2 x y x y > ≥ , откуда 3 2 x y > Комментарий. Доказано, что 1 xy > – 2 балла. Доказано, что одно из чисел x и y больше 1 – еще 1 балл. Рассмотрены не все случаи – не более 4 баллов. 11.4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Перпендикуляр к стороне BC, проведенный через ее середину – точку M, пересекает сторону AB в точке K. Окружность с диаметром KC пересекает отрезок CD в точке P ( P C ≠ ). Докажите, что прямые MP и AD перпендикулярны. Решение. Пусть ω – окружность, построенная на KC как на диаметре, тогда точка M лежит на ω, так как угол CMK – прямой. Значит, CPM CKM ∠ = ∠ α = (они опираются на дугу CM окружности ω). Пусть T – точка пересечения прямых AD и MP. Будем считать, что точка D лежит на отрезке AT. Другой случай разбирается аналогично. Тогда TPD α ∠ = (углы TPD и CPM – вертикальные). Значит, для того, чтобы доказать, что прямые AD и MP перпендикулярны, нам нужно доказать, что 2 PDT π α ∠ + = , где T – точка пересечения прямых MP и AD. Но если PDT β ∠ = , то PDA ABC π β β ∠ = − ⇒ ∠ = , так как четырехугольник ABCD – вписанный. Наконец, BK CK = , так как MK – серединный перпендикуляр к BC. Следовательно, KCM KBM β ∠ = ∠ = . А из прямоугольного треугольника KMC получаем π 2 α β + = . Утверждение доказано. Комментарий. Разобран только один случай расположения точки D – баллы не снимаются. Доказано, что точка M лежит на ω –1 балл. 11.5. В замке 25 одинаковых квадратных комнат, образующих квадрат 5 ×5. В эти комнаты по одному человеку поселилось 25 человек – лжецы и рыцари (лжецы всегда лгут, рыцари всегда говорят правду). Каждый из этих 25 человек сказал: «По крайней мере в одной из соседних с моей комнат живет лжец». Какое наибольшее количество рыцарей могло быть среди этих 25 человек? Комнаты считаются соседними, если у них общая стена. Ответ. 18 рыцарей. Решение. Заметим, что у каждого рыцаря хотя бы один из соседей должен быть лжецом. Покажем, что лжецов должно быть не менее 7 (так мы покажем, что рыцарей не больше 18). Сначала рассмотрим разбиение комнат на 6 групп (2 комнаты, отмеченные серым, не входят ни в одну из групп). В каждой группе должен быть хотя бы один лжец (иначе у одного из рыцарей группы не будет соседей лжецов). Таким образом, лжецов не меньше 6. Докажем, что их не может быть ровно 6. Предположим противное. Тогда в каждой из выделенных на рисунке групп будет ровно по 1 лжецу. А это значит, что в «серых комнатах» точно будут рыцари. Но если сделать аналогичное разбиение, но повернутое на 90 °, мы получим, что еще в двух комнатах должны жить рыцари. Эти 4 комнаты отмечены на рисунке серым. Отсюда следует, что в центральной комнате обязан жить лжец. Так как в каждой из 6 групп разбиения должен быть ровно 1 лжец, то в комнатах, отмеченных на рисунке серым, должны жить рыцари. Поворачивая картинку на 90 °, мы получим, что рыцари должны жить в комнатах, отмеченных на рисунке серым. Но тогда в каждой группе из 3 «угловых комнат» должно быть не меньше 2 лжецов. И всего лжецов будет не меньше 9. Получили противоречие. Значит, лжецов не меньше 7. На рисунке показано, как могли поселиться 18 рыцарей и 7 лжецов. Р Р Л Р Р Л Р Р Р Л Р Р Л Р Р Л Р Р Р Л Р Р Л Р Р Комментарий. Верный ответ без обоснований – 0 баллов. Пример расселения 7 лжецов и 18 рыцарей – 2 балла. Доказано, что рыцарей не более 18 – 5 баллов. Замечание. В примере лжецы не должны быть соседями. |