Лекция мех. ЛЕКЦИЯ. МЕХ.ХАР. Продолжение. Механические характеристики материалов
 Скачать 3.21 Mb.
|
МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛОВ1 Испытание материалов на растяжение – сжатие – При проектировании конструкций, машин и механизмов необходимо знать прочностные и деформационные свойства материалов. Их определяют экспериментально на специальных испытательных машинах. Из всех прочих свойств (твердость, сопротивляемость ударным нагрузкам, противодействие высоким или низким температурам и т.п.) основными является сопротивление на растяжение и сжатие, дающие наибольшую и важнейшую информацию о механических свойствах металлов. Испытание на растяжение – проводят на разрывных или универсальных машинах, имеющих специальные захваты для передачи усилия. Используются стандартные образцы специальной формы (l0 – длина рабочей части, l0/ a0 = 5 – короткие, l0/ a0 = 10 – длинные): l0 d l0 a0 b0 При испытаниях на сжатие применяются цилиндрические образцы с отношением высоты к диаметру h/d = 1,5 – 3. Образцы устанавливаются на опорную поверхность с использованием смазки для ослабления влияния сил трения. Диаграммы растяжения пластичных и хрупких материалов – Характерной диаграммой пластичных материалов является диаграмма растяжения низкоуглеродистой стали (< 0,25% С): Все машины снабжены устройством для автоматической записи в определенном масштабе диаграммы-графика зависимости величины растягивающей силы от удлинения образца. Современные машины компьтеризированы и имеют средства управления процессом нагружения по различным задаваемым программам, вывода данных на экран и сохранения их в файлах для последующей обработки: l Fмакс FТ Fуп Fпц F 1. В начальной стадии (OA, до Fпц) нагружения удлинение растет прямопропорционально величине нагрузки (на этой стадии справедлив закон Гука): O A 2. Далее (AB, до Fуп) деформации начинают расти чуть быстрее и не линейно, но остаются малыми и упругими (исчезающими после снятия нагрузки). B 3. При дальнейшем нагружении (BС, до Fт) криволинейная часть переходит в горизонтальную площадку CD, на которой деформации растут без увеличения нагрузки (текучесть). Зона BCD – зона общей текучести. С D 4. При дальнейшем нагружении (DE, до Fмакс) изменяется структура металла и материал вновь может воспринимать возрастание нагрузки (упрочнение) вплоть до максимальной. E 5. Далее (EK, до Fк) в наиболее слабом месте возникает и развивается локальное уменьшение поперечного сечения (шейка). Зона EK – зона местной текучести. K Fк В точке K образец внезапно разрушается с резким ударным звуком, но без световых эффектов. ДИАГРАММА НАПРЯЖЕНИЙХарактеристики прочности и пластичности – Рассмотренная только что диаграмма растяжения, связывающая нагрузку с удлинением не может непосредственно характеризовать прочность и пластичность материала, поскольку нагрузка зависит от площади поперечного сечения образца, а удлинение – от базовой его длины. Для получения объективных механических характеристик материала, не зависящих от сечения и длины образца, необходимо перейти к напряжениям и относительным удлинениям. Для этого нагрузка делится на начальную или текущую площадь поперечного сечения образца, а по оси абсцисс откладывается соответствующее относительное удлинение для каждой их характерных точек. 2 l Fмакс FТ Fуп Fпц F O A B С D E K Fк В результате получается диаграмма напряжений, подобная диаграмме растяжения: σк ε σв σТ σуп σпц σ O A B С D E K В этой диаграмме характерные точки определяют следующие механические свойства материала: 1. Предел пропорциональности σпц – наибольшее напряжение, до которого существует пропорциональная зависимость между нагрузкой и деформацией (для Ст3 σпц =195-200 МПа). 2. Предел упругости σуп – наибольшее напряжение, при котором в материале не обнаруживается признаков пластической (остаточной) деформации (для Ст3 σуп =205-210 МПа). 3. Предел текучести σт – наименьшее напряжение, при котором образец деформируется без заметного увеличения растягивающей нагрузки (для Ст3 σт =220-250 МПа). 4. Предел прочности или временное сопротивление σв – напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, предшествующей разрушению образца (для Ст3 σв =370-470 МПа). 5. Истинный предел прочности или истинное сопротивление разрыву σи – напряжение, соответствующее разрушающей силе FK, вычисленное для площади поперечного сечения образца в месте разрыва A1 (для Ст3 σв =900-1000 МПа). Поскольку на участке EK образуется шейка и площадь поперечного сечения быстро уменьшается, напряжение увеличивается (EK1) при регистрируемом падении усилия. K1 σи Механизм разрушения: в области шейки образуются мелкие продольные трещины, которые затем сливаются в одну центральную трещину, перпендикулярную оси растяжения, далее трещина распространяется к поверхности шейки, разворачиваясь примерно на 450, и при выходе на поверхность образует коническую часть излома. В результате получается поверхность излома в виде “конуса” и “чашечки”. Стадия образования конической поверхности показывает, что материал в вершине трещины начинает разрушаться по механизму скольжения (по площадкам максимальных касательных напряжений), характерному для хрупких материалов. ПЛАСТИЧНОСТЬ3 l Fмакс FТ Fуп Fпц F O A B С D E K Fк Идеализированные диаграммы – При решении статически неопределимых задач рассматривается физическая сторона задачи, в которой необходимо иметь аналитическую зависимость между напряжениями и деформациями. Такую зависимость, представляемой полученной экспериментально диаграммой напряжений, сложно получить в аналитическом виде и использовать в расчетах. lK В связи с этим используются упрощенные (идеализированные) диаграммы, отражающие основные закономерности. В частности, для пластичных материалов часто применяется диаграмма Прандтля, состоящая всего из двух прямолинейных участков. Как видно, диаграмма Прандтля распространяет зону действия закона Гука до предела текучести, после чего предполагается (задается), что материал испытывает далее текучесть вплоть до разрушения. ε σв σТ σуп σпц σ O A B С D E K K1 σи Потенциальная энергия деформации – Эта величина характеризует способность материала совершить работу при переходе его из деформированного состояния в исходное. При деформации внешние силы совершают работу W, которая превращается в потенциальную энергию внутренних упругих сил U (например, при сжатии пружины). При снятии нагрузки внутренние силы возвращают материал в исходное (недеформированное) состояние (пружина распрямляется). Таким образом, для упругих материалов процесс полностью обратим: При статическом растяжении образца силой F элементарная работа на малом перемещении равна: dl Полная работа равна: - площадь, ограниченная кривой растяжения В пределах соблюдения закона Гука потенциальная энергия деформации равна: l В случае переменной величины продольной силы и/или площади поперечного сечения по длине стержня: Характеристики пластичности – Пластичность материала является важным механическим свойством материала при его сопротивлении переменным динамическим нагрузкам, а также технологическим свойством при его обработке (штамповка и др.). К характеристикам пластичности относятся: 1. Относительное удлинение после разрыва (%) – отношение приращения расчетной длины образца после разрыва к ее первоначальному значению (для Ст3 = 25-27 %). 2. Относительное сужение после разрыва ψ (%) – отношение уменьшения площади поперечного сечения образца в месте разрыва к начальной площади поперечногосечения (для Ст3 ψ =60-70 %). ДИАГРАММЫ СЖАТИЯFТ Fпц F O A B l 4 Диаграммы сжатия различных материалов – При сжатии поведение материала образца отличается от его поведения при растяжении. Диаграмма низкоуглеродистой стали – Начальный участок диаграммы является прямолинейным ( до точки A) и совпадает с аналогичным участком диаграммы растяжения. Это свидетельствует о том, что модуль упругости у стали можно принимать одинаковым при растяжении и сжатии. Нелинейный участок до лощадки текучести также совпадает с подобным участком на диаграмме растяжения Значения предела пропорциональности и предела екучести при растяжении и сжатии практически одинаковы. Площадка текучести при сжатии выражена очень слабо и после нее кривая уходит все более круто вверх вследствие развития значительных пластических деформаций, приводящих к увеличению площади поперечного сечения. Образец сплющивается принимая бочкообразную форму. На этом испытания заканчивают, т.к. образец разрушить не удастся, не удается определить и предел прочности. ■ Диаграмма чугуна – Начальный участок диаграммы имеет почти линейную зависимость, на этом участке форма и размеры образца меняются незначительно. При приближении к максимальной нагрузке кривая становится более пологой и образец принимает слегка бочкообразную форму. При достижении нагрузкой наибольшего значения появляются трещины под углом примерно 450 и наступает разрушение по площадкам с наибольшими касательными напряжениями (хрупкое разрушение). Другие хрупкие материалы (камень, бетон) имеют подобную диаграмму и такой характер разрушения. Хрупкие материалы сопротивляются сжатию значительно лучше, чем растяжению, например, предел прочности серого чугуна на сжатие 560-900 МПа, а на растяжение – 120-190 МПа. ■ Диаграмма древесины – Древесина – анизотропный материал. Сопротивляемость при сжатии зависит от расположения волокон относительно направления сжимающей силы. При сжатии вдоль волокон на участке OA древесина работает почти упруго, деформации растут пропорционально увеличению сжимающей силы. Далее деформации начинают расти более быстро, чем усилие, вследствие возникновения пластических деформаций в отдельных волокнах. Разрушение происходит при максимальной нагрузке в результате потери местной устойчивости ряда волокон, сопровождаемой сдвигом с образованием продольных трещин. F l Fmax F l Fmax O A При сжатии поперек волокон на участке OB древесина работает почти упруго, деформации растут пропорционально увеличению сжимающей силы. Далее деформации начинают расти очень быстро при малом увеличении силы, вследствие уплотнения (спрессовывания) отдельных волокон. При наличии сучков и других пороков (трещин) образец может разрушиться раскалыванием. Разрушающая нагрузка определяется условно при достижении деформации сжатия, при которой высота образца уменьшается на треть исходной высоты . B ПОЛЗУЧЕСТЬ И РЕЛАКСАЦИЯПонятия о ползучести и релаксации – Многие строительные конструкции при эксплуатации деформируются при длительном действии постоянных нагрузок. Это обуславливается способностью материалов деформироваться во времени при действии постоянных нагрузок, называемой ползучестью. Ползучесть присуща таким материалам, как кирпич, древесина, полимеры, камень, резина, грунты и т.п. Металлы также обнаруживают ползучесть при высоких температурах, а цветные металлы – и при обычной (комнатной) температуре. Ползучесть может возникать и при малых нагрузках, которые при кратковременном действии вызывают только упругие деформации. 5 Результаты испытаний на ползучесть представляют графиками изменения деформаций во времени (кривые ползучести). В начальный момент времени деформации имеют ненулевое значение ε(0), равное упругой деформации или сумме упругой и пластической деформаций. Считается, что время предварительной нагрузки (или разгрузки) пренебрежимо мало по сравнению со временем выдерживания нагрузки, поэтому можно принять, что деформации ε(0) и напряжение появляются как бы мгновенно. При определении характера процесса ползучести анализируется скорость деформации, вычисляемая как производная по времени. Если скорость деформации монотонно уменьшается со временем, то деформация ползучести стремится к некоторому пределу (кривая 1). Это характерно, например, при деформациях, связанных с уплотнением материала с течением времени под нагрузкой (осадка грунта под фундаментом, бетон). t 0 1 2 A B C D ε ε(0) εп ε∞ Ползучесть, представленная кривой 2, характеризуется на первом участке (AB) уменьшением скорости деформации, соответствующей обжатию локальных зон, на втором участке (BC) стабилизацией скорости деформации (установившаяся ползучесть). Для хрупких материалов в точке C испытание заканчивается хрупким разрушением, для пластичных материалов – вязким разрушением с образованием локальных пластических деформаций (третий участок CD, на котором возрастает скорость деформации). Интересно заметить, что кривой типа 2 описывается процесс накопления повреждений, в том числе износа, в механике разрушения, диагностике и материаловедении. Характер ползучести зависит от действующих напряжений. Например, сталь при различных уровнях напряжений может иметь кривые ползучести как типа 1, так и типа 2 [1]. Если деформации ползучести увеличиваются пропорционально увеличению напряжений (бетон, пластмасса при малых напряжениях), то ползучесть – линейная, в противном случае (металл при высоких температурах) – нелинейная. В некоторых материалах (бетон, пластмассы, каучук) происходят длительные, медленно протекающие химические или окислительные процессы, в результате которых материалы теряют свои первоначальные свойства, так называемое “старение”. В таких материалах деформации ползучести конечно зависят от “возраста” материала. При снятии нагрузки упругая часть деформаций материала исчезает, накопленная деформация ползучести начинает уменьшаться, асимптотически стремясь к некоторому пределу, подобно перевернутой кривой 1. Такое явление носит название обратной ползучести. Если при неограниченном увеличении времени образец полностью восстанавливает свои первоначальные размеры, то это явление называется упругим последействием. 6 РЕЛАКСАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ Релаксация напряжений – Если образец выдерживается в течении некоторого длительного времени в состоянии, при котором деформация остается постоянной, то напряжения в материале, имевшие в начальный момент значение σ(0), снижаются асимптотически до некоторого значения. Явление медленного уменьшения напряжений в образце при постоянной деформации называется релаксацией. t 0 σ σ(0) Таким образом, явление релаксации в некоторой степени обратное ползучести, но природа этих двух явлений одна – энергия тепловых упругих колебаний атомов добавляется к энергии, обеспечивающейся внешними силами, вызывающими деформацию. При свободной деформации под действием приложенных сил происходит дополнительное движение дислокаций (дислокации –дефекты кристаллической решетки) и деформация прирастает. Поскольку при обыкновенной температуре эта энергия незначительна, то ползучесть (прирост деформации) происходит в этом случае медленно. При постоянной деформации поступление дополнительной энергии тепловых колебаний атомов приводит к перераспределению дислокаций с частичным восстановлением регулярности кристаллической решетки. При этом энергия деформации уменьшается, что приводит к уменьшению напряжений, если деформация остается постоянной. 7 Центральное растяжение-сжатие – Во многих элементах конструкций возникают только продольные усилия, вызывающие в них деформации растяжения или сжатия (стойки, элементы ферм, тяги, тросы и т.п.). При этом в местах приложения условно сосредоточенных сил характер распределения деформаций достаточно сложный и отличается от распределения деформаций на удалении от этой локальной области. Размер этой области равен примерно наибольшему из размеров поперечного сечения. Принцип Сен-Венана - Если совокупность некоторых сил, приложенных к небольшой части поверхности тела, заменить статически эквивалентной системой других сил, то такая замена не вызовет существенных изменений в условиях нагружения частей тела, достаточно удаленных от мест приложения исходной системы сил. Как показывает опыт, за пределами этой области деформации практически постоянны и поперечные сечения перемещаются параллельно своим начальным положениям. На основании этого вводится гипотеза плоских сечений (Я. Бернулли): Поперечные сечения стержня, плоские и перпендикулярные оси стержня до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными после деформации. Напряжения и деформации – Как было ранее сказано, задача определения напряжений всегда является статически неопределимой. Такие задачи решаются последовательным рассмотрением статической, геометрической и физической сторон. В данном случае имеем статическое уравнение, связывающее внутреннее усилие – продольную силу с напряжением:. Для вычисления интеграла необходимо знать закон изменения напряжений по сечению. Этот закон можно установить изучением непосредственно наблюдаемых перемещений (деформаций). Поскольку принимается гипотеза плоских сечений, то при отсутствии внешней распределенной продольной нагрузки деформации постоянны по сечению и по длине стержня (геометрия) . Из введенного ранее определения деформаций в точке : где l – абсолютная продольная деформация (удлинение), l - длина (базовая длина) стержня. Опытным путем установлена фундаментальная (физическая) связь усилий и удлинений (Р. Гук) и в дальнейшем, напряжений и деформаций (Коши, Навье) в виде: где Е – модуль упругости (физическая постоянная материала, определяемая экспериментально). Подстановка последнего соотношения – закона Гука в интегральное выражение c учетом постоянства деформации и напряжения дает: Нормальное напряжение в поперечном сечении прямо пропорционально величине продольного усилия и обратно пропорционально площади сечения. Абсолютную деформацию (удлинение) стержня также можно определить через продольное усилие: Формула для абсолютного удлинения справедлива лишь при постоянной по длине стержня продольной силе и неизменной площади поперечного сечения! В случае переменной продольной силы, например, при учете собственного веса вертикальных стержней, и/или переменной площади необходимо использовать интегральное выражение: ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 8 Коэффициент Пуассона – При растяжении стержня наряду с продольной деформацией (удлинением), определяемой законом Гука, возникает поперечная деформация (сужение поперечного сечения), выражающаяся в уменьшении поперечных размеров стержня. Относительные поперечные деформации вычисляются как где b, h – размеры поперечного сечения. Экспериментально установлено, что имеется линейная связь между продольной и поперечной деформацией: где μ – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом Пуассона. Коэффициент Пуассона для данного материала в пределах упругих деформаций имеет постоянное значение и находится в пределах от 0 до 0,5.
По закону Гука, определяющему связь нормальных напряжений с продольными деформациями: Тогда Как упоминалось ранее, в общем случае нагружения по граням выделенного элемента возникают нормальные и касательные напряжения. Последние, вызывая деформации сдвига, не влияют на линейные деформации, поскольку не изменяют длин сторон элемента. Используя принцип независимости действия сил, справедливый для изотропного и линейно упругого материала, можно записать обобщенный закон Гука, учитывающий одновременное действие нормальных напряжений по всем граням элемента: Напряжения по наклонным площадкам – При растяжении стержня в его поперечном сечении возникают только нормальные напряжения. Посмотрим какие напряжения возникают в сечении, не перпендикулярном оси стержня. F F 1. Отбросим правую часть и заменим ее действие главным вектором внутренних сил R : Из уравнения равновесия в проекции на ось стержня R = F. R 2. Разложим это внутреннее усилие на нормальную и касательную к сечению составляющие N и Q: N Q С учетом того, продольная сила N в поперечном сечении равна внешней растягивающей силе F, отношение F/A = N/A есть нормальное напряжение в поперечном сечении. Тогда получаем: 9 10 Определение перемещений при растяжении-сжатии – Рассмотрим стержень, нагруженный растягивающей силой F. Выделим на расстоянии z участок длиной dz. Удлинение этого участка dz равно перемещению второй его границы относительно первой dw. Деформация на этом участке определяется выражением, представляющим собой дифференциальное уравнение: Разделим переменные и сведем решение этого уравнения к интегрированию левой и правой частей: Подставим пределы и выражение для деформации, следующего из закона Гука: Здесь w0 – перемещение левой границы рассматриваемого участка на расстоянии z0, EA – жесткость стержня при растяжении-сжатии, N – продольное усилие. z F z dz w(z) w(z)+dw В случае постоянства продольного усилия и площади поперечного сечения имеем: Отсюда, как частный случай, получается выражение для абсолютного удлинения стержня (w0 = 0, z0 = 0, z = l): Общая формула вычисления перемещений показывает, что к перемещению, вычисляемому на рассматриваемом участке [z0 ,z] (второе слагаемое), добавляется перемещение сечения, соответствующего левой границе, и представляющего перемещение всего участка, как жесткого целого (твердого тела). Если на каждом из участков продольное усилие и площадь поперечного сечения постоянны, то определение перемещения любого сечения или конца стержня сводится к простому суммированию удлинений каждого из участков от неподвижного сечения до рассматриваемого. Учет собственного веса – Рассмотрим стержень, нагруженный собственным весом (длина стержня l, объемный вес материала стержня ). z z Продольное усилие от собственного веса в произвольном сечении на расстоянии z равно весу нижерасположенной части стержня и линейно зависит от координаты. Эпюры продольной силы и нормальных напряжений имеют вид треугольников: + N + σ Перемещение произвольного сечения на расстоянии z имеет квадратичную зависимость от координаты: + w Определим перемещения конца стержня и сечения на расстоянии половины длины: Здесь G – вес стержня. 11 Статически неопределимые системы при растяжении-сжатии – В статически неопределимых системах число наложенных связей больше числа независимых уравнений равновесия. Как указывалось выше, такие задачи решаются последовательным рассмотрением статической, геометрической и физической сторон, в результате чего получается полная система уравнений, позволяющая найти искомые усилия. Общий порядок решения определяется вышесказанным, конкретные шаги и особенности рассмотрим на примерах: Пример 1. Стержень переменного сечения (2A и A) жестко заделан с двух сторон и нагружен продольной силой. Построить эпюры N и σ. z F a a a A B 1. Выбираем объект равновесия, отбрасываем связи и заменяем их действие реакциями: RA RB 2. Статика : Составляем уравнение равновесия: Это единственное уравнение равновесия, которое можно составить для линейной системы сил. Следовательно система один раз статически неопределима. 3.Составляем уравнение совместности деформаций: Это уравнение устанавливает неизменность общей длины стержня при любых воздействиях, которую обеспечивали связи (жесткие заделки) до их удаления. 4. Записываем соотношения связи деформаций с усилиями: Получили полную систему уравнений, решающую данную задачу (5 уравнений и 5 неизвестных – 2 реакции и 3 перемещения) . Такой же результат можно получить с использованием статически определимой системы, образованной из заданной статически неопределимой отбрасыванием “лишней” связи, и принципа независимости действия сил: z F a a a A B RB Подставим полученное соотношение в уравнение равновесия: Это уравнение устанавливает неизменность общей длины стержня, которую обеспечивала “лишняя” связь (правая жесткая заделка) до ее удаления, или равенство перемещений и их противоположное направление при отдельном действии внешней нагрузки и реакции этой связи. или Записываем уравнения совместности деформаций (перемещений) с усилиями: Получили полную систему уравнений, решающую данную задачу (4 уравнения и 4 неизвестных – 2 реакции и 2 перемещения) . Подставляем соотношения упругости в уравнения совместности: Составляем уравнение совместности деформаций: Подставим полученное соотношение в уравнение равновесия и получим величину второй реакции (RB). Подставляем перемещения в уравнения совместности: 0,75F 0,25F + - N σ 0,375F/A 0,25F/A 0,125F/A + - - 12 3 Расчет статически неопределимых систем при действии температуры – В статически неопределимых системах нагрев (охлаждение) элементов вызывает дополнительные внутренние усилия (напряжения), которые могут значительно превышать усилия от действия силового нагружения. Общий порядок решения задачи сохраняется, но уравнения совместности деформаций (удлинений) содержат удлинения от действия разности температур t : -коэффициент линейного расширения материала, l – длина стержня. Пример 2. Стержень переменного сечения (2A и A), рассмотренный в примере 1, дополнительно нагревается на t градусов. t z F a a a A B 1. Выбираем объект равновесия, отбрасываем связи и заменяем их действие реакциями: RA RB 2. Статика : Составляем уравнение равновесия: 3. Геометрия: Составляем уравнение совместности деформаций: Это уравнение устанавливает неизменность общей длины стержня при любых воздействиях, в том числе от нагрева, которую обеспечивали связи (жесткие заделки) до их удаления. 4. Физика: Записываем соотношения связи деформаций с усилиями и температурным воздействием: Подставим полученное соотношение в уравнение равновесия: Подставляем соотношения упругости и температурного удлинения в уравнения совместности: Эпюру продольных сил строим вычислением значений по участкам: N1 = RA = 4.5 кН, N2 = N3 = RB = -5.5 кН. В сечении, в котором приложена сосредоточенная сила, получился скачок, равный величине этой силы. Эпюра нормальных напряжений также строится вычислением значений напряжений по участкам: σ1 = N1 / A1= 22.5 МПа, σ2 = N2 / A2= - 27.5 МПа, σ3 = N3 / A3= - 55 МПа. Теперь, при температурном воздействии, в выражения для реакций входят абсолютные значения модуля упругости E и площади A. Вычислим величины реакций для конкретных данных: F = 10 кН, A = 1 см2, t = 10o, E = 2*105 МПа, =10-5 (сталь): При отсутствии нагрева реакции получаются равными -2.5 кН и 7.5 кН соответственно. При отсутствии нагрева значения напряжений получаются равными 37.5 МПа, - 12.5 МПа, и -25 МПа соответственно (вид эпюры напряжений см. в примере 1). Таким образом, нагрев всего на 10о привел к увеличению сжимающей силы и максимальных сжимающих напряжений больше, чем в 2 раза. Статически неопределимые системы всегда реагируют на изменение температуры изменением внутренних усилий. Это же происходит при взаимных смещениях опор (неравномерная осадка опор). 14 Расчет статически неопределимых систем на неточность сборки – В статически неопределимых системах несоответствие длин изготовленных элементов проектным вызывает дополнительные внутренние усилия, которые могут заметно влиять на результат определения усилий от действия внешних сил. Более того, даже при отсутствии внешних сил, при сборке могут возникать начальные (монтажные) усилия. Общий порядок решения задачи сохраняется, но уравнения совместности деформаций (удлинений) содержат дополнительные удлинения (укорочения) необходимые для осуществления сборки неточно изготовленных элементов. Пример 2. Абсолютно жесткая балка подвешивается на двух медных и одном стальном (Eм/Eс=1/2) стержнях одинаковой длины. Стальной стержень при изготовлении был сделан длиннее на величину . Определить монтажные усилия после сборки и усилия при нагружении силой F. 1. Выбираем объект равновесия, отбрасываем связи и заменяем их действие реакциями: Rм Rс 2. Статика : Составляем уравнение равновесия: 3. Геометрия: Задаем промежуточное положение балки и составляем уравнение совместности деформаций: 4. Физика: Записываем соотношения связи деформаций с усилиями: Подставим полученное соотношение в уравнение равновесия: Подставляем соотношения упругости в уравнения совместности: В выражения для реакций входят абсолютные значения модуля упругости Eм , длины и площади стержней. Вычислим величины реакций для конкретных данных: l = 2 м, A = 20 см2, = 0.5 мм, Eм = 105 МПа : медь медь сталь a a l Rм Реакции от медных стержней равны из-за симметрии системы. lм lс Знак минус присваивается, поскольку стальной стержень должен укоротиться и внутреннее усилие должно быть отрицательным (сжатие). Из этого же уравнения равновесия следует: При нагружении балки силой F посередине балка получает дополнительное перемещение б: F Уравнения равновесия, совместности деформаций и соотношения упругости принимают вид: Подстановка соотношений упругости в уравнения совместности приводит к ранее полученному выражению для Rм=Rм(Rс). Подстановка в уравнение равновесия дает: Из выражения Rм=Rм(Rс) : После подстановки значений силы F =500 кН получаем Rс = 200 кН и Rм=150 кН. 15 16 Основные сведения о расчете конструкций. Методы допускаемых напряжений и предельных состояний – Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации. Прочность конструкции, выполненной из хрупких материалов, считается обеспеченной, если во всех поперечных сечениях фактические напряжения меньше предела прочности материала. Величины нагрузки, напряжения в конструкции и механические характеристики материала не могут быть установлены совершенно точно из-за того, что имеют место такие факторы, как случайный характер нагружения, приближенность расчета, погрешность испытаний, разброс механических свойств реальных материалов и т.д. Поэтому необходимо, чтобы наибольшие напряжения, полученные в результате расчета (расчетные напряжения) не превышали некоторой величины, меньшей предела прочности. Эта величина называется допускаемым напряжением и устанавливается делением предела прочности на коэффициент, больший единицы, называемый коэффициентом запаса. В соответствии с этим условие прочности: где - наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напряжения в конструкции; - допускаемые напряжения при растяжении и сжатии соответственно. Итак, условие прочности по методу допускаемых напряжений при проверке напряжений при растяжении-сжатии стержней имеет вид: Допускаемые напряжения связаны с пределами прочности на растяжение и сжатие отношениями: где nВ – нормативный (требуемый) коэффициент запаса прочности по отношению к пределу прочности, определяемый в зависимости от класса конструкции (капитальная, временная и т.п.), от предполагаемого (задаваемого) срока службы, от характера нагрузки (статическая, динамическая и т.п.), от условий работы конструкции, от качества изготовления материалов и других факторов. Величина nВ в большинстве случаев принимается в диапазоне от 2, 5 до 5. Для конструкций из пластических материалов, имеющих одинаковые пределы прочности на растяжение и сжатие, условие прочности: Допускаемые напряжения: где nТ – нормативный (требуемый) коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести (nТ = 1,5 – 2,5). где max – наибольшие по абсолютной величине сжимающие или растягивающие напряжения в конструкции. При подборе сечения принимаемые сечения должны удовлетворять неравенству, вытекающему из условия прочности: При определении грузоподъемности вычисляется допускаемая продольная сила в наиболее нагруженном стержне: По полученной допускаемой силе определяется далее величина допускаемой нагрузки [F]. Условие прочности принимает вид: Определение предельных нагрузок в статически неопределимых системах из идеального упруго-пластического материала – Ранее (лекция 5) был рассмотрен расчет статически неопределимых стержневых систем при их работе в упругой стадии. Целью расчета было определение усилий, возникающих в стержнях, знание которых позволяет подобрать сечения. Поскольку в упругом расчете соотношение жесткостей (и, значит, площадей) задается предварительно, то всегда оказывается, что в некоторых стержнях, или участках стержней переменного сечения, напряжения будут меньше предельных (или допускаемых), чем в стержне ( или на участке) , в котором напряжения максимальны и которые были использованы при составлении условия прочности и определения требуемой площади поперечного сечения. Все это составляет существо метода расчета по допускаемым напряжениям. Статически неопределимые системы имеют “лишние” связи и выход одной из них из строя при увеличении нагрузки не означает, что система больше не может оставаться в равновесии. Таким образом, предельным состоянием для статически неопределимых систем не является возникновение напряжений больше расчетных (допускаемых) в самом нагруженном стержне (или на участке ступенчатого стержня). 17 Метод разрушающих нагрузок – Поскольку при достижении в одном из стержней напряжений больше расчетных (предела текучести) несущая способность статически системы не исчерпывается, то следует принять за опасное состояние такое, при котором во всех стержнях, обеспечивающих неизменяемость системы (равновесие при отсутствии каких-либо перемещений) возникают напряжения, равные пределу текучести. Для такого состояния система перестает быть статически неопределимой, т.к. теперь известны усилия в этих стержнях. Они равны произведению поперечной площади сечения на напряжение, равное пределу текучести. Все это справедливо при использовании идеализированной диаграммы растяжения-сжатия (диаграммы Прандтля), которая не учитывает упрочнение материала после прохождения площадки текучести. Таким образом, предельная нагрузка может быть определена из условий равновесия. Естественно, что такая нагрузка не может быть допущена во избежание разрушения системы. Поэтому ее величина делится на коэффициент запаса n, подобно тому, как предельное напряжения при упругом расчете делилось на это коэффициент по отношению к пределу прочности или пределу текучести. В случае действия нескольких сил предполагается, что силы одновременно увеличиваются пропорционально некоторому параметру. Тогда отыскивается предельное значение этого параметра, характеризующее предельную нагрузку. Условие прочности по методу разрушающих нагрузок при растяжении-сжатии стержней статически неопределимой системы имеет вид: где Пример – Стержень ступенчатого сечения находится под действием силы F. Эта статически неопределимая задача была рассмотрена и решена на лекции 5. Полученное упругое решение: max = 0.375F/A. Определить грузоподъемность по методу допускаемых напряжений и методу разрушающих нагрузок. RA RB z F a a a A B σ 0,375F/A 0,25F/A 0,125F/A + - - Условие прочности по допускаемым напряжениям: Условие прочности по разрушающим нагрузкам: Здесь при Fпред = Fn возникает текучесть на первом участке, но система может еще воспринимать нагрузку, т.к. на других участках напряжения меньше Т. |