Ебания. Лекция. Физические основы механики. Механические колебания. Механические колебания и волны 38 Гармонические колебания и их характеристики
 Скачать 0.52 Mb.
|
Глава 8 Механические колебания и волны § 38 Гармонические колебания и их характеристики Колебательными называются движения или процессы, которые характери- зуются определенной повторяемостью во времени. Колебания называются свободными или собственными, если они совер- шаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему. Гармонические колебания – это колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. ) cos( 0 ϕ + ω = t A x , (38.1) где – амплитуда колебаний, A ( ) ϕ + ω t 0 – фаза колебаний, – круговая или циклическая частота, – начальная фаза колебаний. πν = ω 2 0 ϕ 0 2 ω π = T – период колебаний (38.2) T 1 = ν – частота колебаний (38.3) Запишем первую и вторую производные от гармонически колеблющейся величины x ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + ϕ + ω ω = ϕ + ω ω − = 2 cos sin 0 0 0 0 t A t A dt dx , (38.4) ( ) ( π + ϕ + ω ω = ϕ + ω ω − = t A t A dt x d 0 2 0 0 2 0 2 2 cos cos ) (38.5) Из уравнения (38.5) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний 0 2 0 2 2 = ω + x dt x d , (38.6) решением которого является уравнение (38.1). Гармонические колебания изображаются графически методом вращающе- гося вектора амплитуды , или методом векторных диаграмм § 39 Механические гармонические колебания При совершении материальной точкой прямолинейных гармонических ко- лебаний их можно представить в виде ) cos( 0 ϕ + ω = t A x (39.1) Согласно выражений (38.4) и (38.5), скорость и ускорение колеблю- щейся точки равны v a ( ) ( ) ( ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ π + ϕ + ω ω = ϕ + ω ω − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π + ϕ + ω ω = ϕ + ω ω − = t A t A a t A t A v 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 cos cos 2 cos sin ) (39.2) Сила , действующая на колебательную точку массой , с учетом (39.1) и (39.2) равна ma F = m x m F 2 0 ω − = Кинетическая энергия материальной точки равна ( ϕ + ω ω = = t mA mv T 0 2 2 0 2 2 sin 2 2 ) (39.3) или ( [ ] ϕ + ω − ω = t mA T 0 2 0 2 2 cos 1 4 ) (39.4) Потенциальная энергия точки, колеблющейся под действием силы F равна ( ϕ + ω ω = ω = = ∫ t mA x m Fdx U x 0 2 2 0 2 2 2 0 0 cos 2 2 ) (39.5) или ( ) ] 2 cos 1 [ 4 0 2 0 2 ϕ + ω + ω = t mA U (39.6) Сложив (39.3) и (39.5), получим выражение для полной энергии 2 2 0 2 ω = + = mA U T E (39.7) Из формулы (39.4) и (39.6) следует, что 2 2 kx U = 2. Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела. α − ≈ α − = ⋅ = α = ε = τ mgl mgl l F J J M sin && (40.4) Уравнение (40.4) можно записать в виде 0 = α + α mgl J && или 0 = α + α J mgl && Принимая, что J mgl = ω 0 (40.5) получаем уравнение 0 2 0 = α ω + α&& , решение которого примет вид ( ϕ + ω α = α t 0 0 cos ) (40.6) g L T π = ω π = 2 2 0 , (40.7) где ml J L = – приведенная длина физического маятника. 3. Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки , m подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и ко- леблющейся под действием силы тяжести. 2 ml J = , (40.8) g l T π = 2 (40.9) Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника. § 41 Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения Примером сложения колебаний одного направ- ления является колебания шарика на пружине в ка- чающемся на рельсах вагоне. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты, воспользовавшись методом вращающегося вектора ам- плитуды ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ϕ + ω = ϕ + ω = 2 0 2 2 1 0 1 1 cos cos t A x t A x Уравнение результирующих колебаний будет иметь вид ( ) ϕ + ω = + = t A x x x 0 2 1 cos (41.1) В выражение (41.1) амплитуда A и начальная фаза ϕ , соответственно, задаются соотношениями ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ϕ + ϕ ϕ + ϕ = ϕ ϕ − ϕ + + = 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 cos cos sin sin cos 2 A A A A tg A A A A A (42.2) Таким образом, результирующие колебания будут совершаться в том же направ- лении, и их амплитуда будет зависеть от разности фаз ( ) 1 2 ϕ − ϕ : 1. ...) , 2 , 1 , 0 ( 2 1 2 = π ± = ϕ − ϕ m m , тогда 2 1 A A A + = ; 2. ...) , 2 , 1 , 0 ( ) 1 2 ( 1 2 = π + ± = ϕ − ϕ m m , тогда 2 1 A A A − = Для практики особый интерес представляет случай, когда два складывае- мых гармоничных колебания одинакового направления мало отличаются по час- тоте. Периодические изменения амплитуды колебаний, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называютсябиениями. Пусть амплитуды складываемых колебаний равны A , а частоты равны ω и , причем ω Δ + ω ω << ω Δ . Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю ⎩ ⎨ ⎧ ω Δ + ω = ω = t F x t A x ) cos( cos 2 1 Складывая эти колебания, и учитывая то, что ω << ω Δ 2 , найдем t t A x ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ω Δ = cos 2 cos 2 (41.3) Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с часто- той ω , а амплитуда, которого изменяется по следующему периодическому за- кону x б A t A A б 2 cos 2 ω Δ = (41.4) Частота изменения в два раза больше частоты изменения косинуса, (так как берётся по модулю), т.е. частота биений равна разности частот складываемых колебаний б A ω Δ = ω б Период биений ω Δ π = 2 б T Любые сложные периодические колебания ) (t f s = можно представить в виде ( ) ( ) ( n n t n A t A t A A t f s ϕ + ω + + ϕ + ω + ϕ + ω + = = 0 2 0 2 1 0 1 0 cos 2 cos cos 2 ) ( ) . (41.5) Такое представление сложных колебаний получило название разложение Фурье Члены разложения, определяющие гармонические колебания с частотами ,... 3 , 2 , 0 0 0 ω ω ω называются первой ( основной ), второй, третьей и т.д. гармоника- ми сложного периодического колебания. § 42 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Рассмотрим результаты сложения двух гармонических колебаний одинако- вой частоты , происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях. 0 ω ⎩ ⎨ ⎧ ϕ + ω = ω = ) cos( cos 0 0 t B y t A x (42.1) Уравнение траектории результирующего колебания находим путем исклю- чения переменной t t A x 0 cos ω = , ( ) ϕ ω − ϕ ω = ϕ + ω = sin sin cos cos cos 0 0 0 t t t B y Заменяя во втором уравнении t 0 cos ω на A x и t 0 sin ω на 2 ) ( 1 A x − , получаем после несложных преобразований уравнение эллипса ϕ = + ϕ − 2 2 2 2 2 sin cos 2 B y AB xy A x (42.2) Если траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то та- кие колебания называются эллиптическими поляризованными Ориентация осей эллипса и его размеры зависят от A , и ϕ B Рассмотрим некоторые частные случаи, которые представляют физический интерес 1) ( ) , 2 , 1 , 0 ± ± = π = ϕ m m . В данном случае эллипс вырождается в отре- зок прямой x A B y ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ± = , (42.3) где знак плюс соответствует нулю и четным значениям m ; минус – нечетным значениям . Результирующие колебания являются гармоническими с частотой , амплитудой m 0 ω 2 2 B A + , которые совершаются вдоль прямой составляющей с осью угол x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π = ϕ m A B arctg cos . Эти колебания называются линейно поляри- зованными колебаниями 2) ( ) ( , 2 , 1 , 0 2 1 2 ± ± = π + = ϕ m m ) . В данном случае уравнение (42.2) при- мет вид 1 2 2 2 2 = + B y A x . (42.4) Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а полуоси равны соответствующим амплиту- дам. Кроме того, если , то эллипс вырождается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебаниями или колебаниями , поляризованными по кругу B A = Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерченные точкой, совершающей одновременно два взаимно пер- § 43 Затухающие колебания Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы с течением времени уменьшает- ся. Рассмотрим линейную систему , – идеализированную реальную систему, в которой параметры, определяющие физические свойства системы в ходе процесса не изменяются. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы имеет вид 0 2 2 0 2 2 = ω + δ + x dt dx dt x d , (44.1) где – колеблющаяся величина, x const = δ – коэффициент затухания , 0 ω – соб- ственная частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной сис- темы при 0 , которая называется собственной частотой колебательной систе- мы. = δ Решение уравнения (44.1) имеет вид ( ϕ + ω = δ − t e A x t cos 0 ) , (44.2) где – амплитуда затухающих колебаний, – начальная амплитуда, t e A A δ − = 0 0 A 2 2 0 δ − ω = ω – частота затухающих колебаний. Уравнение (44.2) справедливо в случае малых затуханий ( ) 2 0 2 ω << δ . Зависимость (44.2) показана на рисунке. Промежуток времени δ = τ 1 , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз называется временем ре- лаксации 2 2 0 2 2 δ − ω π = ω π = T ( ) ( ) T e T t A t A δ = + – называется декрементом затухания e N T T T t A t A 1 ) ( ) ( ln = τ = δ = + = θ – логарифмический декремент затухания e N – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. δ ω = δ π = π = θ π = 2 0 0 T N Q e – добротность колебательной системы (так как , тогда 0 2 ω << δ 0 T T ≈ ). Отметим, что при увеличении коэффициента затухания период затухаю- щих колебаний растет и при δ 0 ω = δ обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асим- птотически приближается к нулю, когда ∞ → t . Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим (см. рис.). Автоколебания – это незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний определяются самой системой. Примеры автоколебательных систем: часы, двигатели внутреннего сгорания и т.д. § 44 Вынужденные колебания Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяю- щейся силы, называются вынужденными колебаниями Уравнение вынужденных колебаний можно свести к линейному неоднород- ному дифференциальному уравнению: t f x dt dx dt x d ω = ω + δ + cos 2 0 2 0 2 2 (44.1) Решение уравнения (44.1) будет иметь вид ) ( ) ( 2 1 t x t x x + = (44.2) Первый член соответствует свободным затухающим колебаниям ) cos( ) ( 0 1 0 1 ϕ + ω = δ − t e A t x t , (44.3) где 2 0 1 δ − ω = ω . Слагаемое (44.3) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний). Через некоторое время после начала колебаний свободные колебания прекращаются ) ( 2 t x x ≈ или ) cos( ϕ − ω = t A x , (44.4) где 2 2 2 2 2 0 0 4 ) ( ω δ + ω − ω = f A – амплитуда вынужденных колебаний , (44.5) 2 2 0 2 ω − ω δω = ϕ arctg – фаза вынужденных колебаний (44.6) Рассмотрим зависимость амплитуды A вынужденных колебаний от ω . Из равенства (44.5) следует, что зависимость имеет максимум. Чтобы определить – резонансную частоту, т.е. частоту при которой амплитуда достигает максимума, продифференцируем (44.5) по рез ω ω и приравняем производную к нулю ( ) 0 8 4 2 2 2 0 = ω δ + ω ω − ω − Равенство истинно при 0 = ω ; 2 2 0 2 δ − ω ± = ω т.е. 2 2 0 рез 2 δ − ω = ω (44.7) Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при при- ближении частоты вынуждающих сил к частоте рез ω называется резонансом При δ 2 0 2 ω << 0 рез ω → ω Резонансная амплитуда будет равна 2 2 0 0 рез 2 δ − ω δ = f A (44.8) При 2 0 2 ω << δ 2 0 0 2 0 0 0 0 0 рез 2 2 ω = δω ω = δω = f Q f f A 2 2 0 2 ω − ω δω = ϕ tg § 45 Волновые процессы. Продольные и поперечные волны Колебания, возбуждаемые в какой-либо точке среды, распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды, передаваясь от одной точки среды к другой. Чем дальше расположена частица среды от источника ко- лебаний, тем позднее она начнет колебаться. Иначе говоря, фазы колебаний час- тиц среды и источника тем больше отличаются друг от друга, чем больше это рас- стояние. При изучении распространения колебаний не учитывается дискретное (молекулярное) строение среды и среда рассматривается как сплошная , т.е. не- прерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами. Процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом (или волной ). Основным свойством всех волн , независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества Типы волновых процессов: • волны на поверхности жидкости; • упругие волны; • электромагнитные волны. Упругие (или механические ) волны – это механические возмущения, распро- страняющиеся в упругой среде. Продольными волнами называют такие волны, в которых частицы среды колеб- лются в направлении распространения волны. Поперечные волны – это волны, в которых частицы среды колеблются в направ- лениях, перпендикулярных направлению распространения волны. Упругая волна называется гармонической , если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. Расстояние между двумя ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ. vT = λ или , λν = v где – период, ν – частота колебаний, – скорость распространения волны. T v Геометрическое место точек, до которых доходят колебания в момент времени t называется волновым фронтом Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется вол- новой поверхностью § 46 Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энер- гию. Выведем уравнение бегущей волны. На рисунке рассмотрим некоторую частицу среды В , находящуюся от источника колебаний на расстоянии . Если колебания точек в плоскости 0 x = x , описывается функцией , то частица среды В колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источника на τ, так как для прохождения волной расстояния требуется время t A t ω = ξ cos ) , 0 ( x v x = τ , где – скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоско- сти , имеет вид v x ) ( cos ) , ( v x t A t x − ω = ξ , (46.1) откуда следует, что ) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты. Уравнение (46.1) есть уравнение бе- гущей волны . Если плоская волна распространяется в противоположном направ- лении, то , ( t x ξ ) ( cos ) , ( v x t A t x + ω = ξ В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль по- ложительного направления оси в среде, не поглощающей энергию, имеет вид x ] ) ( cos[ ) , ( 0 ϕ + − ω = ξ v x t A t x , (46.2) где – амплитуда волны , ω – циклическая частота волны , φ 0 – на- чальная фаза колебаний , определяемая в общем случае выбором начала отсчета и , const A = x t ] ) ( [ + 0 ϕ − ω v x t – фаза волны Для характеристики волн используют волновое число v vT k ω = π = λ π = 2 2 (46.3) Учитывая (46.3), уравнению (46.2) можно придать вид ) cos( ) , ( 0 ϕ + − ω = ξ kx t A t x (46.4) Используя формулу Эйлера α + α = α sin cos i e i , уравнение плоской волны можно записать в виде ) ( 0 ) , ( ϕ + − ω = ξ kx t i Ae t x , где физический смысл имеет лишь действительная часть. Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т.е. const v x t = ϕ + − ω 0 ) ( (46.5) Продифференцировав выражение (46.5) и сократив на ω, получим 0 = − v dx dt , откуда v dt dx = . (46.6) Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (46.6) есть не что иное, как скорость перемещения фазы и ее называют фазовой скоростью Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что урав- нение сферической волны – волны, волновая поверхность которой имеет вид концентрических сфер, записывается как ) cos( ) , ( 0 ϕ + − ω = ξ kr t r A t r , (46.7) где – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колеба- ний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону r r 1 . Уравнение (46.7) справедливо лишь для r , значительно превышающих размеры источника. Из выражения (46.3) вытекает, что фазовая скорость k v ω = . (46.8) Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называ- ется дисперсией волн , а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называет- ся диспергирующей средой Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае опи- сывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t v z y x ∂ ξ ∂ = ∂ ξ ∂ + ∂ ξ ∂ + ∂ ξ ∂ или 2 2 2 1 t v ∂ ξ ∂ = ξ Δ , (46.9) где – фазовая скорость, v 2 2 2 2 2 2 z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = Δ – оператор Лапласа . Ре- шением уравнения (46.9) является уравнение любой волны. Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси , волновое уравнение имеет вид x 2 2 2 2 2 1 t v x ∂ ξ ∂ = ∂ ξ ∂ (46.10) § 47 Принцип суперпозиции. Групповая скорость Если среда, в которой одновременно распространяются сразу несколько волн, линейна , т.е. ее свойства не изменяются под действием возмущений, созда- ваемых волной, то к ним применим принцип суперпозиции ( наложения ) волн : при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распро- страняется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процес- сов. Исходя из принципа суперпозиции и разложения Фурье любая волна может быть представлена в виде суммы гармонических волн, т.е. в виде волнового паке- та, или группы волн. Волновым пакетом называется суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства. Рассмотрим простейший волновой пакет из двух распространяющихся гар- монических волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами и волновыми числами, причем и ω << ω d k dk << . Тогда ) cos( 2 cos 2 ] ) ( ) cos[( ) cos( 0 0 0 kx t xdk td A x dk k d A kx t A − ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω = + − ω + ω + − ω = ξ Эта волна отличается от гармонической тем, что ее амплитуда ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ω = 2 cos 2 0 xdk td A A есть медленно изменяющаяся функция координаты и времени . x t За скорость распространения этой негармонической волны (волнового паке- та) принимают скорость перемещения максимума амплитуды волны, рассматри- вая тем самым максимум в качестве центра волнового пакета. При условии, что , получим const xdk td = − ω u dk d dt dx = ω = (47.1) Скорость есть групповая скорость . Ее можно определить как скорость движе- ния группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в про- странстве волновой пакет. Хотя выражение (47.1) получено для волнового пакета из двух составляющих, можно доказать, что оно справедливо в самом общем слу- чае. u Рассмотрим связь между групповой и фазовой скоростями. Учитывая, что k π = λ 2 , получим λ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ λ − + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ λ λ + = + = = ω = d dv k k v dk d d dv k v dk dv k v dk vk d dk d u ) ( , или λ λ − = d dv v u (47.2) Из формулы (47.2) вытекает, что групповая скорость может быть как меньше, так и больше фазовой скорости в зависимости от знака λ d dv . В недиспергирующей среде 0 = λ d dv и групповая скорость совпадает с фазовой. § 48 Интерференция волн Согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колеба- тельных или волновых процессов связывают с понятием когерентности Волны называются когерентными , если разность их фаз остается постоянной во времени, и они имеют одинаковую частоту. При наложении в пространстве двух (или нескольких) когерентных волн в разных его точках наблюдается усиление или ослабление результирующей волны в зави- симости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется ин- терференцией волн Рассмотрим наложение двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками и , колеблющимися с одинаковыми амплитудами , частотой ω и постоянной разностью фаз. Тогда 1 2 S 0 S A ) cos( 0 1 1 0 1 ϕ + − ω = ξ kr t r A , ) cos( 0 2 2 0 2 ϕ + − ω = ξ , kr t r A где и – расстояние от источника волны до рассматриваемой точки В , – волновое число, φ 1 и φ 2 – начальные фазы обоих накладывающихся сферических волн. Амплитуда результирующей волны в точке В равна 1 r 2 r k ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ϕ − ϕ − − + + = )] ( ) ( cos{ 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0 2 r r k r r r r A A Так как для когерентных источников разность начальных фаз , то результат наложения двух волн в различных точках зависит от величины , называемой разностью хода const = ϕ − ϕ ) ( 2 1 2 1 r r − = Δ В точках, где m r r k π ± = ϕ − ϕ − − 2 ) ( ) ( 2 1 2 1 ( , 2 , 1 , 0 = m ), (48.1) наблюдается интерференционный максимум амплитуды результирующих коле- баний 2 0 1 0 r A r A A + = . В точках, где π + ± = ϕ − ϕ − − ) 1 2 ( ) ( ) ( 2 1 2 1 m r r k ( , 2 , 1 , 0 = m ), (48.2) наблюдается интерференционный минимум амплитуды результирующего коле- бания 2 0 1 0 r A r A A − = . ( , 2 , 1 , 0 = m ) называется соответственно порядком интерференционного максимума или минимума. Условия (48.1) и (48.2) сводятся к тому, что const r r = − 2 1 (48.3) Выражение (48.3) представляет собой уравнение гиперболы с фокусами в точках и . Следовательно, геометрическое место точек, в которых наблюдается усиление или ослабление результирующего колебания, представляет собой се- мейство гипербол, отвечающих условию 0 1 S 2 S ) ( 2 1 = ϕ − ϕ . Между двумя интерферен- ционными максимумами (на рисунке сплошные линии) находятся интерференци- онные минимумы (на рисунке штриховые линии). § 49 Стоячие волны Стоячие волны – это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплиту- дами. ⎩ ⎨ ⎧ + ω = ξ − ω = ξ ) cos( ) cos( 2 1 kx t A kx t A (49.1) Сложив эти уравнения и учитывая, что λ π = 2 k , получим уравнение стоячей вол- ны t x A t kx A ω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ λ π = ω = ξ + ξ = ξ cos 2 cos 2 cos cos 2 2 1 (49.2) Из уравнения стоячей волны (49.2) вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты ω с амплитудой ) 2 cos( 2 λ π = x A A cm , за- висящей от координаты рассматриваемой точки. x В точках среды, где m x π ± = λ π 2 ( ), (49.3) амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного . В тех точ- ках среды, где , 2 , 1 , 0 = m A 2 π + ± = λ π ) 2 1 ( 2 m x ( ), (49.4) амплитуда колебаний обращается в ноль. , 2 , 1 , 0 = m Точки, в которых амплитуда колебаний минимальна, называются узлами стоячей волны. Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна, называются пучностями стоячей волны. Из выражений (49.3) и (49.4) получим соответственно координаты пучно- стей и узлов 2 λ ± = m x n ( ), (49.5) , 2 , 1 , 0 = m 2 ) 2 1 ( узл λ + ± = m x ( ). (49.6) Из формул (49.5) и (49.6) следует, что расстояния между двумя соседними пучно- стями и двумя соседними узлами одинаковы и равны , 2 , 1 , 0 = m 2 λ . Расстояние между со- седними пучностью и узлом стоячей волны равно 4 λ . Все точки стоячей волны между двумя соседними узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами. По разные стороны от узла фаза отличается на π (противофаза). Образование стоячей волны наблюдается при интерференции бегущей и от- раженной волны. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения получается пучность (а), если более плотная – узел (б). Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний противоположных направлений. В стоячей волне переноса энергии нет. § 50 Характеристики звуковых волн Звуковыми (или акустическими) волнами называются распространяющиеся в упругой среде волны, обладающие частотами в пределах 16 – 20000 Гц. Гц 16 < ν – инфразвуковые волны, кГц 20 > ν – ультразвуковые волны Звуковые волны в газах и жидкостях могут быть только продольными, а в твердых телах как продольными, так и поперечными. Интенсивностью (или силой ) звука называется величина, определяемая средней по времени энергией, переносимой звуковой волной в единицу времени сквозь единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. St W I = , 2 ] [ м Bm I = Для каждой частоты существует наи- меньшая ( порог слышимости ) и наибольшая ( порог болевого ощущения ) интенсивность звука, которая способна вызвать звуковое восприятие. Еще одной характеристи- кой звуковых волн является громкость звука , которая связана с его интенсивно- стью и зависит от его частоты. С ростом интенсивности громкость звука возраста- ет по логарифмическому закону ) lg( 0 I I L = , Таблица Вещество Скорость звука, м/с Воздух (0 ° С) 331 Водород (0 ° С) 1265 Углекислый газ (0 ° С) 261 Кислород (0 ° С) 316 Вода (25 ° С) 1497 Ртуть (50 ° С) 1440 Чугун 4500 (2400) |
, т.е. с часто- той, которая в два раза превышает частоту гармонического колебания.
0 2
ω
E
U
T
2 1
=
=
§ 40
Гармонический осциллятор.
Пружинный, физический и математический маятники
Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида
0 2
0
=
ω
+
x
x&&
(40.1)
Примером гармонического осциллятора являются пружинный, физический и ма- тематический маятники, колебательный контур.
1. Пружинный маятник – это груз массой
,
m подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упру- гой силы
,
x
k
F
r r
−
=
где
k
–
коэффициент упругости или жесткость.
Уравнение движения маятника
kx
x
m
−
=
&&
или
0
=
+
x
m
k
x
&&
Из уравнения (40.1) следует, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону
(
)
ϕ
+
ω
=
t
A
x
0
cos
m
k
=
ω
0
,
(40.2)
k
m
T
π
= 2
(40.3)
Потенциальная энергия пружинного маятника равна
называются
фигурами
Лиссажу
. Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колеба- ний. На рисунке показана такая фигура для отношения частот 1:2 и разности фаз
2
π
. Уравнения колебаний имеют вид
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+
ω
=
ω
=
2 2
cos cos
0 0
t
B
y
t
A
x
(42.5)
На следующем рисунке представлены фигуры Лиссажу для различных со- отношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху).
Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пере- сечений фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. По виду фи- гур можно определять неизвестную частоту по известной или определять отно- шение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу – широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз склады- ваемых колебаний, а также формы колебаний.
Вт/м
2
. Величина называется
уровнем интенсивности звука
и выражается в
белах
(децибелах, дБ –
0
I
12 0
10
−
=
I
L
)
lg(
10 0
I
I
L =
). В таблице приведены уровни интенсивности звука для различных источников шума.
Таблица
Источник звука
Уровень шума, дБ
Порог слышимости 0
Падение капли (расстояние до источника звука 1 м) 20
Тихий разговор (1 м) 40
Легковой автомобиль на асфальте (5–10 м) 60
Симфонический оркестр 80
Отбойный молоток (1 м) 100
Мотор самолета (5 м) 120
Высота звука
– качество звука, зависящее от частоты.
Тембр звука
– распределение энергии звуковой волны по частотам.
Скорость звука в газах определяется соотношением
M
RT
v
γ
=
,
(50.1) где
V
p
C
C
=
γ
– отношение молярных теплоемкостей. Скорость звука в жидко- стях и твердых телах определяется выражением
ρ
=
E
v
,
(50.2) где – модуль Юнга,
ρ
– плотность вещества. В таблице приведены значения скорости звука в некоторых веществах.
E