Ме́тод Крамера. Метод Крамера (правило Крамера)

• Название: Метод Крамера (правило Крамера)
• Анкор: Ме́тод Крамера
• Дата: 13.05.2023
• Размер: 21.67 Kb.
• Имя файла: Ме́тод Крамера.docx
• Тип: Решение; #1126420

Ме́тод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)^[1].



Содержание

• 
  1Описание метода
  
• 
  2Пример
  
• 
  3Вычислительная сложность
  
• 
  4Литература
  
• 
  5Примечания
  
• 
  6См. также
  

Описание метода[править | править код]

Для системы � линейных уравнений с � неизвестными (над произвольным полем)

{�11�1+�12�2+…+�1���=�1�21�1+�22�2+…+�2���=�2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯��1�1+��2�2+…+�����=��

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

��=1Δ|�11…�1,�−1�1�1,�+1…�1��21…�2,�−1�2�2,�+1…�2�…………………��−1,1…��−1,�−1��−1��−1,�+1…��−1,���1…��,�−1����,�+1…���|

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

(�1�1+�2�2+⋯+����)⋅Δ=−|�11�12…�1��1�21�22…�2��2……………��1��2…������1�2…��0|

В такой форме метод Крамера справедлив без предположения, что Δ отличен от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы �1,�2,...,�� и �1,�2,...,��, либо набор �1,�2,...,�� состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Пример[править | править код]

Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:

{�11�+�12�+�13�=�1�21�+�22�+�23�=�2�31�+�32�+�33�=�3


Определители:

Δ=|�11�12�13�21�22�23�31�32�33|,  Δ�=|�1�12�13�2�22�23�3�32�33|,  

Δ�=|�11�1�13�21�2�23�31�3�33|,  Δ�=|�11�12�1�21�22�2�31�32�3|

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.

Решение:

�=Δ�Δ,  �=Δ�Δ,  �=Δ�Δ

Пример:

{2�+5�+4�=30�+3�+2�=1502�+10�+9�=110

Определители:

Δ=|2541322109|=5,  Δ�=|305415032110109|=−760,  

Δ�=|23041150221109|=1350,  Δ�=|253013150210110|=−1270.

�=−7605=−152,  �=13505=270,  �=−12705=−254