лр. Метод локализации корня графически
 Скачать 108.76 Kb.
|
|
Пусть задана непрерывная функция  , и требуется найти все или некоторые корни уравнения  . Для решения задачи необходимо: исследовать количество, характер и расположение корней (простые или кратные, действительные или комплексные); найти приближенные значения для корней; провести вычисления приближенных значений с заданной точностью. Теорема 1: Если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка  , то есть  , то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения , то есть найдется хотя бы одно число  такое, что  .Метод локализации корня графически Действительные корни уравнений  приближенно можно определить как абсциссы точек пересечения графика функции с осью  . Таким способом можно легко определить корни данного уравнения, если они находятся на достаточном расстоянии друг от друга. На практике часто бывает выгодно заменить равносильным ему уравнением: где функции  и  – более простые, чем функция  .Построив графики функций   , искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.Метод дихотомии Для нахождения корня уравнения , принадлежащего отрезку  , делим этот отрезок пополам. Если  , то  является корнем уравнения. Если  , то выбираем ту из половин  или  , на концах которой функция имеет противоположные знаки. Новый отрезок  снова делим пополам и проводим то же рассмотрение и т.д. В результате получаем на каком-то этапе искомый корень уравнения.Метод секущих Данный метод применяется при решении уравнений вида , если корень уравнения отделен. Первое приближение корня находится по формуле:  Для следующего приближения из отрезков  и  выбирается тот, на концах которого функция имеет значения разных знаков.Тогда второе приближение вычисляется по формуле:  , если  Или  , если  Метод простых итераций Другим важным методом нахождения корней уравнения является метод итераций. Сущность этого метода заключается в следующем: Пусть дано уравнение , где – непрерывная функция, и требуется определить его вещественные корни. Заменим данное уравнение равносильным уравнением  .Допустим, что для искомого корня уравнения  указано начальное приближение, дальнейшие приближения строятся по формуле , Для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса, для этого воспользуемся следующей теоремой. Теорема 2: Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения  ,тогда, если существует правильная дробь  такая, что  при  , то1) процесс итерации  , Сходится независимо от начального значения  ;2) предельное значение  является единственным корнем уравнения на отрезке .Метод Ньютона Данный метод применяется, если уравнение имеет корень  и выполняются условия: Производные  и сохраняют знак на отрезке .На отрезке выбирается такое число  , при котором выполняется условие  .Первое приближение корня определяется по формуле:  , где  |