Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по курсу Математика (часть 3) Дополнительные главы математического анализа Специальные главы математического анализа
 Скачать 181.66 Kb.
|
|
Методические рекомендации по выполнению контрольной работы по курсу «Математика (часть 3)»/ «Дополнительные главы математического анализа»/ «Специальные главы математического анализа» Целью изучения данной дисциплины является знакомство и освоение следующих специальных разделов математического анализа: теория рядов, включая ряды Тейлора и Фурье-анализ, теория функций комплексного переменного и операционное исчисление. Данный курс является непосредственным продолжением курса «Математический анализ 1 и 2», поэтому в нем активно используются знания и умения, приобретенные при изучении высшей математики. В процессе изучения данной дисциплины Вам необходимо: изучить представленный теоретический материал; выполнить контрольную работу в соответствии с индивидуальным заданием; сдать экзамен (зачет) по дисциплине. Внимательно прочтите следующие рекомендации: 1. Номер варианта Вашего индивидуального задания контрольной работы соответствует последней цифре Вашего пароля. Результаты выполненной контрольной работы должны включать текст заданий, соответствующий именно Вашему варианту, подробное описание хода решений и вычислений. Решения следует излагать, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения. Текст, математические формулы и чертежи рекомендуем выполнять средствами Microsoft Word. 2. Контрольная работа должна быть выслана на Электронный деканат. После проверки работы преподавателем Вы получите рецензию с оценкой и, возможно, замечаниями по представленному решению для исправления или доработки. В этом случае после доработки Вы должны повторно выслать контрольную работу на проверку. 3. Вы будете допущены к экзамену (зачету) только после получения положительной оценки за выполнение контрольной работы. 4. Сдача экзамена (зачета) осуществляется по билетам, которые выдаются системой дистанционного обучения индивидуально случайным образом. Ответ на билет должен включать в себя решение расчетных задач. После проверки ответа Вы получите письмо с оценкой. 5. Получить консультацию у преподавателя Вы можете, послав электронное письмо (раздел «Консультации»). Ниже рассмотрено решение типового варианта контрольной работы. Найти область сходимости степенного ряда  Решение. Данный степенной ряд имеет вид  Найдем радиус сходимости ряда R по формуле Даламбера:    .Здесь использован 2-й замечательный предел (  )Таким образом, интервал сходимости ряда:  .Проверим сходимость ряда на концах интервала. Используем для этого формулу Стирлинга, верную для достаточно больших n:  При  получим числовой ряд Сравним его с рядом  Этот знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. При  получим числовой ряд Аналогично, сравним его с рядом  Этот ряд расходится (Как Вы думаете - почему?) Окончательно, получим область сходимости данного ряда:  или  Разложить функцию в ряд Фурье на данном отрезке (период Т)  Решение. Формула разложения в ряд Фурье в интервале   Определим коэффициенты разложения.   Первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечётной функции на интервале, симметричном относительно начала координат.  Второй интеграл – от чётной функции.  Таким образом,   Второй интеграл равен нулю, как интеграл от нечётной функции на интервале, симметричном относительно начала координат.  Первый интеграл – от чётной функции – найдём с помощью интегрирования по частям:      Заметим, что  . Подставим найденные коэффициенты в основную формулу  Ответ. Разложение данной функции в ряд Фурье на интервале  имеет вид  Начертить область на комплексной плоскости по данным условиям:  ;  ;  ;  .Решение. Условие  определяет внешность круга радиуса 3 с центром в точке 0. Условие  определяет внутренность угла, образованного лучами, исходящими из точки 0, под углами  и  к положительному направлению действительной оси. Условие  определяет левую полуплоскость от вертикальной прямой  .Наконец, условие  определяет горизонтальную полосу между прямыми  и  Учитывая все данные неравенства, получим область, затемненную на последнем чертеже.
4. Вычислить интеграл по дуге  от точки  до точки  вдоль линии   Решение. Заметим, что  Тогда  Учитывая, что интегрирование ведется по линии , получим =   Ответ:  .5. Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом  Решение. Пусть  , т.е. оригинал x(t) имеет изображением X(p). Тогда  .И операторное уравнение имеет вид:  .Решая его, получим  ;  .Восстановим оригинал  .Таким образом, частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями  .Ответ:  . |
