Теория мех зао_кратко. Минимальный набор необходимых вопросов по механике, молекулярной физике и термодинамике (для заочников)
 Скачать 383.5 Kb.
|
|
Минимальный набор необходимых вопросов по механике , молекулярной физике и термодинамике (для заочников)
Кинематическое уравнение движения материальной точки представляет собой зависимость радиуса - вектора точки от времени  .Мгновенная скорость, средняя скорость (перемещения) и средняя путевая скорость выражаются соответственно формулами  ,  ,  ,где r (dr) — перемещение, а s — путь, пройденный точкой за интервал времени t (dt). Величина мгновенной скорости может также быть определена по формуле  Мгновенное и среднее ускорения  ,  .Путь s не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. s0. В общем случае путь находят по формуле  В случае прямолинейного движения с постоянным ускорением (a=const) справедлива формула  ,где a>0 для случая равноускоренного движения и a<0 для равнозамедленного.
При движении тела по криволинейной траектории скорость тела направлена по касательной к траектории, т.е. может изменятся как по величине так и по направлению. Полное ускорение тела можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие – тангенциальное и нормальное ускорения. Тангенциальное ускорение обусловлено изменением скорости по величине и рассчитывается по формуле  . Направлено вдоль касательной к траектории, т.е. по скорости или противрпрложно ей.Нормальное ускорение обусловлено изменением скорости по направлению и рассчитывается по формуле  (R – радиус кривизны траектории в рассматриваемой ее точке). Направлено перпендикулярно касательной к траектории, т.е. скорости.Полное ускорение равно 
Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности представляет зависимость угла поворота точки от времени  .Угловая скорость  .Угловая скорость является псевдовектором (условным вектором). Она параллельна оси вращения точки или тела, а ее направление зависит от направления вращения и определяется правилом правого винта. Угловое ускорение  .Направлено также как и угловая скорость в случае ускоренного вращения и в противоположную сторону в случае замедленного. В случае вращения по окружности с постоянным угловым ускорением (ε= const) справедливы формулы  ,  ,  ,где ε>0 для случая равноускоренного движения по окружности и ε<0 для равнозамедленного. Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение точки по окружности:  ,  ,  ,где υ — линейная скорость; aτ и an — тангенциальное и нормальное ускорения; ω — угловая скорость; ε — угловое ускорение; R — радиус окружности.
Первый закон Ньютона: Тело движется равномерно и прямолинейно или находится в покое, если на него не действуют внешние силы или действие внешних сил компенсируется. Системы, в которых выполняется первый закон Ньютона, называются инерциальными. Импульс материальной точки, движущейся со скоростью v, представляет собой  .Сила – мера механического воздействия одного тела на другое. Характеризуется величиной, направлением и точкой приложения Второй закон Ньютона: Равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна скорости изменения его импульса  или  ,где F — результирующая сила, действующая на материальную точку, Fdt - импульс силы, вызвавшей изменение импульса точки dp. Одна из форм записи второго закона Ньютона для тел с постоянной массой  .Силы, рассматриваемые в механике: а) сила упругости  , где k — коэффициент упругости (в случае пружины применяется название — жесткость); х — абсолютная деформация;б) сила тяжести  ;в) сила гравитационного взаимодействия  , где G — гравитационная постоянная; т1 и m2 — массы взаимодействующих тел; r — расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки);г) сила трения (скольжения)  , гдеf — коэффициент трения; N — сила нормального давления.Третий закон Ньютона: Тела действуют друг на друга силами, равными по величине и противоположными по направлению.
Закон сохранения импульса: Полный импульс тел, входящих в замкнутую систему, не изменяется со временем  Замкнутой системой называется система, на которую не действуют внешние силы (или действие внешних сил компенсируется). В случае незамкнутых систем закон сохранения импульса выполняется, если внутренние силы значительно превышают внешние, а также для отдельных направлений, проекция равнодействующей внешних сил на которые равна нулю.
Элементарная работаdА, совершаемая результирующей силой F за бесконечно малый промежуток времени dt, определяется как скалярное произведение  ,где dr –перемещение тела за время dt, – угол между направлениями силы и перемещения. Работа А, совершаемая результирующей силой, может быть определена также как мера изменения кинетической энергии материальной точки:  .Мощность (работа в единицу времени) определяется формулой  .Консервативными называются силы, работа которых зависит только от начального и конечного положений тела и не зависит от формы траектории по которой оно движется. Эквивалентное определение: консервативными называются силы, работа которых на замкнутой траектории равна нулю. Консервативными являются силы тяжести и силы упругости, неконсервативной является сила трения.
Кинетическая энергия это энергия, которой обладает тело вследствие наличия у него скорости. Кинетическая энергия численно равна работе, которую может совершить тело до полной его остановки. Кинетическая энергия всегда положительна (или равна нулю). Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,  или 
Потенциальная энергия это энергия, которой обладает тело вследствие его взаимодействия с другими телами, поэтому она зависит от характера этого взаимодействия и взаимного расположения взаимодействующих тел. Потенциальная энергия численно равна работе, которую совершают консервативные силы поля при перемещении тела из данной точки в положение, где она равна нулю (обычно на бесконечность). Потенциальная энергия может быть положительной отрицательной и равной нулю. Потенциальная энергия: а) упругодеформированной пружины  ,б) гравитационного взаимодействия  ,в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести  , где h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии hR, где R—радиус Земли).Поле, в котором действуют только консервативные силы, называется потенциальным. Если известна потенциальная энергия в каждой точке поля, то силу, действующую, в каждой точке поля, можно определить по формуле 
Закон сохранения механической энергии: Полная механическая энергия системы, на тела которой действуют только консервативные силы, остается неизменной с течением времени.  .Полная механическая энергия представляет сумму кинетических и потенциальных энергий тел, входящих в систему
Закон всемирного тяготения: Все тела в природе взаимодействуют силами притяжения, причем сила взаимодействия между телами прямо пропорциональна их массам и обратно пропорциональна расстоянию между ними ,где G — гравитационная постоянная; т1 и m2 — массы взаимодействующих тел; r — расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки); Первая космическая скорость – скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником Земли, т.е. вращалось вокруг Земли по круговой орбите.  , v1=7,9 км/с. Формула справедлива при условии hR, где R—радиус Земли,h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой.Вторая космическая скорость – скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно покинуло пределы земного притяжения.  , v2=11,3 км/с
Момент силы материальной точки или тела относительно неподвижной точки (полюса) определяется как векторное произведение  ,где r – радиус вектор, направленный от полюса до материальной точки или, в случае тела, до точки приложения силы F. Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки (полюса)  ,где P– импульс точки. В случае тела момент импульса равен векторной сумме моментов импульса всех точек тела относительно полюса  ,
Закон сохранения момента импульса: Полный момент импульса системы тел, для которой суммарный момент внешних сил, действующих на тела системы, равен нулю, не изменяется со временем. Проекция на ось z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси z с угловой скоростью ω равна  .Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z, имеет вид  ,где Jz — момент инерции системы тел относительно оси z; ω — угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.
Момент инерции представляет собой скалярную физическую величину, характеризующую инертность тела при вращательном движении. Является аналогом массы при поступательном движении. Зависит не только от массы тела, но и от распределения этой массы относительно оси вращения. Момент инерции материальной точки массой m относительно оси z:  ,где r – радиус вращения точки вокруг оси z. Момент инерции тела (как системы N материальных точек с массамиmi, расстояниями до осиri) относительно оси z:  ,Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,  или 
В общем виде основное уравнение динамики вращательного движения тела относительно любой точки (полюса)  ,где M – моменты внешних сил, действующих на тело, относительно полюса; L – момент импульса тела относительно полюса. Основное уравнение динамики вращательного движения тела относительно неподвижной оси z записывается в форме  ,где Мz - результирующий момент внешних сил, действующих на тело, относительно оси z (или проекция результирующего момента внешних сил M относительно любой точки, находящейся на оси z, на эту ось); ε — угловое ускорение; Jг — момент инерции относительно оси вращения z. Значение момента силы Мz определяется как  ,где F – сила, действующая на тело, l – плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние (или перпендикуляр) от оси вращения zдо прямой, вдоль которой действует сила.
Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс: а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину  ,б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча и проходящей через его центр  , где R — радиус обруча (цилиндра);в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска  ,г) шара радиусом R относительно оси, проходящей через его центр  .Теорема Штейнера: Момент инерции тела массой m относительно произвольной оси z, не проходящей через центр масс, равен моменту инерции Jc относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной оси z, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями  .
Колебания, которые проходят по закону синуса или косинуса, называются гармоническими. Уравнение гармонических колебаний материальной точки  ,где х — смещение точки от положения равновесия; А — амплитуда колебаний; ω — круговая или циклическая частота; — начальная фаза. Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:  и  .Энергия гармонического колебания: 
Математический маятник представляет собой материальную точку, подвешенную на невесомой нерастяжимой нити и способную совершать колебания в поле сил тяжести Земли. Период математического маятника  , где l –длина математического маятника.Пружинный маятник представляет собой тело массы m, связанное с упругой пружиной жесткостьюk. Период пружинного маятника  , где k — коэффициент жесткости пружины.Физический маятник представляет собой абсолютно твердое, способное совершать колебания в поле сил тяжести Земли вокруг горизонтальной оси, не проходящей через его центр тяжести. Период физического маятника  ,где J – момент инерции физического маятника относительно горизонтальной оси, не проходящей через центр масс, d – расстояние от оси до центра масс. Приведенная длина физического маятника – длина математического маятника с таким же периодом колебаний  .Центр качаний – точка, находящаяся на расстоянии приведенной длины от оси и расположенная на прямой, проходящей через ось и центр масс. При переносе оси в цент качаний период физического маятника не изменяется
Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью вынуждающей силы, изменяющейся по гармоническому закону: F= Fmcos t, где - циклическая частота вынуждающей силы. Дифференциальное уравнение для вынужденных колебаний имеет вид  . (1)Здесь x – смещение колеблющейся точки относительно положения равновесия, - коэффициент затухания, 0 - циклическая частота собственных колебаний. В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой и являются гармоническими. Решение уравнения (1) для установившегося режима имеет вид  . (2)Причем амплитуда A и фаза зависят от , 0, , x0  ,  . (3)Амплитудные резонансные кривые построенные на основе (3), приведены на рис.1. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний на некоторой частоте, называемой резонансной (которая для малого затухания совпадает с частотой собственных колебаний 0) называется резонансом .  Рис.1. Чем больше коэффициент затухания, тем ниже амплитуда при резонансе. Амплитуда при резонансеAres связана со статическим отклонением (при стремящейся к нулю) через добротность Q: Ares=QAst, где  .Чем выше добротность контура, тем выше амплитуда при резонансе. Фазовая резонансные кривые построенные на основе (3), приведены на рис.2.  Рис.2. Видно, что только в случае когда затухания нет (=0), вынуждающая сила и колебания совпадают по фазе. Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собственная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных, колебаний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, оборудование, воспринимающее электрические колебания, основаны на явлении резонанс.
Волна — процесс колебаний, распространяющийся в пространстве. При этом частицы среды, в которой распространяется волна, не перемещаюся вместе с волной, а лишь колеблются около положений равновесия. Если эти колебания проходят вдоль направления распространения волны, то волна называется продольной, если перпендикулярно – поперечной. Уравнение плоской бегущей волны  ,где — смещение из положения равновесия любой из точек среды с координатой х в момент t, v — (фазовая) скорость распространения колебаний в среде, — начальная фаза.
Стоячие волны — это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами. Уравнение стоячей волны:  , где - длина волны. Из уравнения стоячей волны вытекает, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты с амплитудой  , зависящей от координаты храссматриваемой точки.Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна,называются пучностями стоячей волны. Точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю,называются узлами стоячей волны.
Первое начало термодинамики: Теплота сообщенная системе расходуется на изменение ее внутренней энергии и работу, совершенную этой системой против внешних сил:  ,где Q—теплота, сообщенная системе (газу); U— изменение внутренней энергии системы; А — работа, совершенная системой против внешних сил. Внутренняя энергия системы состоит из кинетической энергии молекул, составляющих систему, потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом, внутримолекулярной энергии (т.е. энергии взаимодействия атомов или ионов в молекулах, энергии электронных оболочек атомов и ионов, внутриядерной энергии) и энергии электромагнитного излучения в системе. Теплота и работа - две формы изменения внутренней энергии системы Теплота представляет собой энергию, которая передается от одного тела к другому при их контакте или путем излучения нагретого тела, т.е. по существу мы имеем дело с работой, которую совершают хаотически движущиеся микрочастицы. Необходимым условием совершения системой работы является перемещение взаимодействующих с ней внешних тел.
Работа расширения газа:  - элементарная работа,  - работа в общем случае, может быть вычислена как площадь под зависимостью p от V на графике в координатах p,V.
Теплоемкостью какого-либо тела называется величина, равная количеству тепла, которое нужно сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один кельвин. Если сообщение телу количества тепла dQ повышает его температуру на dT, то теплоемкость по определению равна:  (1).Молярной теплоемкостью (С) называют теплоемкость одного моля газа, а удельной теплоемкостью (c) — теплоемкость единицы массы газа. Связь между удельной с и молярной С теплоемкостями  .Теплоемкость газа, находящегося в постоянном объеме, называется теплоемкостью при постоянном объеме (Cv), а газа, находящегося при постоянном давлении — теплоемкостью при постоянном давлении (Cp). Уравнение Майера (связь между молярными теплоемкостями Cv и Cp) —  .Молярные теплоемкости газа Cv и Cp равны  и  , где i – количество степеней свободы молекул газа.Внутренняя энергия идеального газа .
Газ, потенциальной энергией взаимодействия между молекулами которого можно пренебречь, называется идеальным. Уравнение Менделеева — Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)  ,где т — масса газа, — молярная масса газа, R — универсальная газовая постоянная, v — количество вещества, Т — термодинамическая температура. Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева — Клапейрона для изопроцессов: а) закон Бойля—Мариотта (изотермический процесс: T=const, m=const)  или для двух состояний газа  ,б) закон Гей-Люссака (изобарический процесс: р=const, m=const)  или для двух состояний  ,в) закон Шарля (изохорический процесс: V=const, m=const)  или для двух состояний ,где p1, V1,T1—давление, объем и температура газа в начальном состоянии; p2, V2,T2 — те же величины в конечном состоянии. Адиабатический процесс - это процесс, происходящий без теплообмена с внешней средой. Уравнение адиабаты (уравнение Пуассона) имеет вид  , где =Cp/CV - показатель адиабаты.
Газ, потенциальной энергией взаимодействия между молекулами которого нельзя пренебречь, называется реальным. Уравнение Ван дер Ваальса (уравнение состояния реального газа) для одного моля реального газа  .
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает параметры состояния газа с характеристиками движения его молекул, т. е. устанавливает зависимость между давлением и объемом газа и кинетической энергией поступательного движения его молекул. Основное уравнение кинетической теории газов,  где п — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.
Степенями свободы характеризуется способность системы (в нашем случае молекулы) совершать независимые движения. В соответствии с видами механического движения различают поступательные, вращательные и колебательные степени свободы. Числом степеней свободы механической системы называется количество независимых величин, однозначно определяющих ее положение и конфигурацию в пространстве. Закон равнораспределения по степеням свободы: если система молекул находится в состоянии теплового равновесия при температуре T, то средняя кинетическая энергия равномерно распределена между всеми поступательными и вращательными степенями свободы и для каждой поступательной или вращательной степени она равна kT/2 , а энергия, приходящаяся на колебательную степень свободы, равна kT(где k — постоянная Больцмана). Средняя полная кинетическая энергия молекулы с жесткими связями, включающая кинетическую энергию поступательного и вращательного движения, вычисляется по формуле  .
В газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям (v), которое подчиняется закону, теоретически полученному Максвеллом. Закон Максвелла представлен в виде некоторой функцией f(v), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные dv, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v), имеющих скорость, заключенную в этом интервале. Функция f(v) представляет собой отношение доли (относительного количества) молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в интервале от vдо v + dv, в величине этого интервалаdv.  (1)Применяя методы теории вероятности, Максвелл нашел функциюf(v), т.е. закон для распределения молекул идеального газа по скоростям:  (2)Здесь mo – масса одной молекулы. Вид функции этой функции  Используя ее можно получить выражения для следующих скоростей молекул:  — средняя квадратичная; — средняя арифметическая; — наиболее вероятная,где то— масса одной молекулы.
Барометрическая формула имеет вид  ,где — молярная масса газа, R — универсальная газовая постоянная, тo — масса одной молекулы, k — постоянная Больцмана, Т — термодинамическая температура. Она показывает, как изменяется атмосферное давление в зависимости от высоты. Из нее, учитывая, что mogh= П — потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, можно получить  Эта формула называется распределением Больцмана для молекулво внешнем потенциальном поле.
Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторый путь l, который называется длиной свободного пробега. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, то можно говорить о средней длине свободного пробега молекул <l>• Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d. Средняя длина свободного пробега молекул газа  ,где <v> — средняя арифметическая скорость молекул, z — среднее число столкновений молекулы в единицу времени, d — эффективный диаметр молекулы, n — число молекул в единице объема (концентрация молекул).
Первое начало термодинамики устанавливает количественное соотношение между внутренней энергией, теплотой и работой, но не позволяет определить направление протекания процессов в природе. Второе начало термодинамики определяет направление протекания и характер процессов в природе. Существует несколько формулировок второго начала. Формулировка Кельвина - Планка: Невозможен периодический процесс, единственным результатом которого является превращение теплоты, полученной от одного источника (нагревателя), в эквивалентную ей работу. Т.е. не возможно создать тепловой двигатель, работающий с одним источником теплоты (так называемый вечный двигатель второго рода). Формулировка Клаузиуса: Теплота не может переходить самопроизвольно от тел с более низкой температурой к телам с более высокой температурой. Следовательно, без совершения работы нельзя отбирать теплоту от менее нагретого тела и отдавать ее более нагретому. Под тепловым двигателем (машиной) будем понимать периодически действующее устройство, совершающее механическую работу за счет внутренней (т.е. тепловой) энергии топлива. Все тепловые двигатели могут быть сведены к одной упрощенной схеме (рис. 1). От тела с более высокой температурой Т1, называемого нагревателем, за цикл отнимается рабочим телом (телом, способным совершать механическую работу, например цилиндром с поршнем, внутри которого находиться газ) количество теплоты Q1. Рабочее тело совершает механическую работу A и передает количество теплоты Q2телу с более низкой температурой Т2, называемому холодильником. Совершаемая рабочим телом работа А = Q1, — Q2.  КПД теплового двигателя равен  (1)Цикл Карно представляет собой круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Является самым экономичным. Цикл Карно схематически изображен на рисунке, где изотермическое расширение и сжатие газа задано соответственно кривыми 1-2 и 3-4, а адиабатические расширение и сжатие — кривыми 2-3 и 4-1.  Термический КПД цикла Карно  где Q1 — теплота, полученная рабочим телом от нагревателя; Q2 — теплота, переданная рабочим телом холодильнику T1 и T2—термодинамические температуры нагревателя и холодильника.
Функция состояния, дифференциалом которой является dQ/T, называется энтропией и обозначается S(введена Клаузиусом).  Изменение энтропии при переходе системы из состояния А в состояние В определяется формулой  .Для любой замкнутой системы справедливо неравенство Клаузиуса S 0, т. е. энтропия замкнутой системы может либо возрастать (в случае необратимых процессов), либо оставаться постоянной (в случае обратимых процессов). Так как реальные процессы необратимы, то можно утверждать, что все процессы в замкнутой системе ведут к увеличению ее энтропии — принцип возрастания энтропии. Этот принцип лежит в основе еще одной формулировки второго начала термодинамики: возможны лишь такие процессы, происходящие в макроскопической системе, которые ведут к увеличению ее энтропии. Физический смысл энтропии был выяснен Л. Больцманом, предположившим, что энтропия связана с термодинамической вероятностью состояния системы. Термодинамическая вероятность Wсостояния системы — это число способов, которыми может быть реализовано данное состояние макроскопической системы, или число микросостояний, осуществляющих данное макросостояние. Формула Больцмана для энтропии имеет следующий вид:  где к — постоянная Больцмана. Следовательно, энтропия может рассматриваться как мера вероятности состояния термодинамической системы. Формула Больцмана дает энтропии следующее смысл: энтропия является мерой неупорядоченности системы. Чем более упорядоченной является система, тем меньшим числом состояний или способов ее можно реализовать, т.е. тем меньше энтропия этой системы. |