Базуев А.М. Метрология стандартизация. Министерство сельского хозяйства российской федерации федеральное государственное образовательное
 Скачать 0.68 Mb.
|
|
II. Оценка погрешностей измерений Всякий процесс измерения независимо от условий, в которых его проводят, сопряжен с погрешностями, которые искажают пред- ставление о действительном значении измеряемой величины. Погрешности измерений делятся на систематические и слу- чайные. К систематическим относят такие погрешности, которые ос- таются постоянными или закономерно изменяются при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические погрешности могут быть изучены до начала измерений, а результат измерения мо- жет быть уточнен за счет внесения поправок, если их числовые зна- чения определены, или за счет использования таких способов и средств измерений, которые дают возможность исключить влияние систематических погрешностей без их определения. К случайным погрешностям измерения относят погрешности, которые появляются случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. В отличие от систематических случайные погрешности нельзя устранить заранее, однако уточнить результат измерения можно за счет проведения повторных измерений, т.е. най- ти значение измеряемой величины, более близкое к истинному, ис- пользуя методы теории вероятностей и математической статистики. Чем больше проведено измерений, тем меньше случайная погреш- ность, тем выше точность измерений. В предлагаемой работе дается методика определения зависимо- сти изменения переменной систематической погрешности при изме- нении значения измеряемой величины, а также методика оценки слу- чайной погрешности. 14 Работа №1. Определение закономерности изменения систематической погрешности Цель: установить закономерность изменения систематической погрешности измерений. Задание: 1. По результатам сличения показаний шкалы испытуемого прибора с образцовым средством изменений определить вид система- тической погрешности. 2. Определить закономерность изменения систематической погрешности при изменении значения измеряемой величины. 3. Построить график изменения погрешности. 4. Дать пояснения к использованию графика для внесения по- правок в показания шкалы прибора. Порядок и методика выполнения работы По данным сличения испытуемого прибора с образцовым сред- ством измерения определить отклонения показаний испытуемого прибора от образцового средства измерений – значение систематиче- ской погрешности. (10) где – значение показаний образцового средства измерения; – показание шкалы испытуемого прибора. Данные показаний приборов и вычислений вносят в таблицу 1. В системе координат XY нанести экспериментальные точки, приняв за X значение образцового средства измерений, за Y – по- грешность показаний шкалы прибора. По расположению точек приближенно определяется вид зави- симости Y от X. Погрешность измерения включает в себя не только системати- ческую, но и случайную составляющую. В связи с этим связь между систематической погрешностью и значением измеряемой величины редко бывает функциональной, когда одному значению X соответст- вует одно строго определенное значение Y (погрешность). Чаще встречаются такие связи, когда одному значению X могут соответст- вовать несколько значений Y. Таким образом, элементы случайности вносят в результаты измерений некоторый разброс, т.е. отклонение от 15 графика. Такие связи между величинами носят название корреляци- онные. По форме корреляция может быть прямолинейной и криволи- нейной, по направлению – прямой и обратной. Таблица 1 – Данные измерений для определения коэффициента кор- реляции Количест во измерений, (n) Показ ани я образцового СИ, (X) Показ ани я испытуемого прибора Отклонен ия от образцового СИ, (Y) ( ) 2 Y y − 1 2 …. … …. n сумма сред. знач. ∑ ∑ ∑ ( ) 2 Y y − Под прямой или положительной корреляцией понимается такая зависимость, когда с увеличением значения независимой переменной (X) увеличивается среднее значение величины (Y). Обратная или отрицательная корреляция наблюдается при уменьшении среднего значения зависимой величины (Y) при увели- чении значения независимой переменной (X). При криволинейной корреляции с увеличением значений неза- висимой переменной функциональная величина может принимать значения, возрастающие до определенного предела, а затем убываю- щие или наоборот. Степень и направление прямолинейной корреляции (устанавли- вается по расположению экспериментальных точек в системе коор- динат) определяется коэффициентом корреляции: (11) где X и Y – соответственно, значение независимой переменной (массы образцовой меры) и зависимой величины (погрешности); - средние значения рассматриваемых величин. 16 Значения коэффициента корреляции лежат в пределах от +1 до -1. При полных связях, когда корреляционная связь превращается в функциональную, значение коэффициента корреляции для положи- тельных (прямых) связей равно +1, для отрицательных (обратных) связей равно -1. При полном отсутствии связи между величинами ко- эффициент корреляции равен нулю. Считается, что при r < 0,3 корре- ляция слабая, при r = 0,3-0,7 – средняя, а при r > 0,7 – сильная (тес- ная). Стандартную ошибку коэффициента корреляции определяют по формуле: (12) По вычисленным значениям r и определяют критерий суще- ственности коэффициента корреляции: (13) Фактическое значение сравнивается с теоретическим значени- ем , который находится по таблице Стьюдента при уровне ве- роятности 95%. Число степеней свободы принимается n–2. При корреляционная связь существенна, при – несуще- ственна (приложение 1). Прямолинейная корреляционная связь между наблюдаемыми величинами описывается уравнением прямой: (14) Для определения коэффициентов a и bрешается система урав- нений: (15) Данные для расчетов коэффициентов вносятся в таблицу 2. После определения коэффициентов регрессии строится график зависимости систематической погрешности от значений массы об- разцовых мер. Расчетный график накладывается на экспериментальные точки и делается анализ соответствия графика и экспериментальных точек. 17 Таблица 2 – Данные для определения коэффициентов регрессии № X Y XY 1 2 …. …. …. n сумма ∑X ∑Y ∑ ∑XY Если связь между изучаемыми параметрами существенно отли- чается от прямолинейной, что легко установить по точечному графи- ку, то в качестве показателя степени связи между параметрами при- нимается корреляционное отношение (вместо коэффициента корре- ляции) - Корреляционное отношение вычисляют по формуле: (16) где - сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней (групповое варьирование). Эта величина характери- зует ту часть варьирования Y, которая связана с изменчивостью при- знака X. - сумма квадратов отклонений каждого параметра Y от общей средней, общее варьирование признака Y. При функциональной зависимости Y от X корреляционное от- ношение равно единице ; если , то корреляция между параметрами отсутствует. При промежуточном характере корреляци- онной зависимости корреляционное отношение находится в преде- лах: Чем ближе к единице, тем сильнее, ближе функциональная зависимость Y от X, и наоборот, чем ближе к нулю, тем слабее выражена эта зависимость. Порядок вычисления корреляционного отношения следую- щий: 18 1. Ряды значений X и Y разбивают на классы, так чтобы в ка- ждом классе X было не менее двух значений Y, и составляют корре- ляционную таблицу. 2. По каждому классу X подсчитывают групповые средние и определяют общую среднюю . 3. Для каждого класса X находят отклонения групповых сред- них от общей средней , возводят их в квадрат, умножают на частоту признака в каждом классе и подсчитывают общую сумму квадратов 4. Определяют сумму квадратов общего варьирования 5. Определяют значение корреляционного отношения , оценивают его существенность по критерию , принимая число сте- пеней свободы равным (приложение 1). Таблица 3 – Данные для определения корреляционного отношения X Y … X N Y n n y Υ n y1 1 Υ n y2 2 Υ n y3 3 Υ n N n yN N i ∑ Υ = Υ ∑n N ∑n yN ∑ Υ i Ошибку и критерий существенности корреляционного отноше- ния рассчитывают так же, как и для коэффициента корреляции: (17) (18) 6. Теоретическое значение критерия для 5% и 1%-ого уровня значимости находят по таблице. Число степеней свободы принимают равным (приложение 1). По экспериментальным точкам проводится плавная кривая ли- ния так, чтобы она располагалась достаточно близко ко всем экспе- 19 риментальным точкам. Эта кривая является линией регрессии, кото- рая характеризует основную тенденцию зависимости Y от X и служит корректировочным графиком, с помощью которого можно вносить поправки в показания измерительного прибора. Построенный график изменения систематической по- грешности при изменении значения измеряемой величины служит та- рировочным графиком для испытуемого прибора, по которому вно- сятся поправки в его показания. Дать пояснения к использованию тарировочного графика для внесения поправок в результаты измерений. Работа №2. Оценка случайной погрешности Цель: оценить случайную погрешность измерений. Задание: по результатам ряда равноточных измерений опреде- лить: – среднее значение измеряемой величины; – дисперсию и среднее квадратическое отклонение от среднего значения (стандартную погрешность); – доверительные границы (интервал) вариации текущих значе- ний измереной величины; – погрешность среднего значения измеряемой величины отно- сительно истинного значения; – доверительный интервал нахождения истинного значения; – построить график распределения вероятностей случайных по- грешностей и на нем отметить доверительные границы варьиро- вания значений измеряемой величины под влиянием случайных погрешностей, а также доверительный интервал нахождения ис- тинного значения измеряемой величины. Методика обработки результатов измерений По имеющимся данным измерений определяется среднее ариф- метическое значение измеренной величины. (19) где – текущее значение измеряемой величины; N – число измерений. 20 Определяются отклонения текущих значений Х о от среднего с учетом знаков: (20) Среднее арифметическое отклонение не может характеризовать точность измерений, т.к. при увеличении числа измерений до беско- нечности он стремится к нулю, т.е. (21) При конечном числе измерений среднее арифметическое значе- ние отклонений может отличаться от нуля вследствие округлений дробных составляющих чисел и других неточностей измерений и вы- числений, иметь положительное или отрицательное значение. Для характеристики рассеяния значений измеряемой величины относительно среднего служит дисперсия – среднее значение квадра- тов отклонений. (22) Чем больше дисперсия, тем ниже точность измерений. Диспер- сия имеет квадратическое значение, что неудобно для количествен- ной оценки погрешности измерений. Для этой цели применяется среднее квадратическое отклонение. - при N 20, (23) и – при N < 20. (24) Среднее квадратическое отклонение является средним значени- ем абсолютной погрешности и выражается в тех же единицах, как и измеряемая величина. Определяются границы изменения измеряемой величины под влиянием случайных погрешностей при заданной вероятности. Гра- ницы изменения измеряемой величины носят название доверитель- ные границы (доверительный интервал), а вероятность с которой оп- ределяются доверительные границы – доверительная вероятность. Доверительные границы (интервал) определяются по формуле: (25) где t – доверительный интервал, выраженый в долях (26) 21 Велчина t определяет для нормального закона число средних квадратических отклонений, которые нужно отложить вправо и влево от центра рассеивания, чтобы вероятность попадания в интервал была равна заданной. Значение t находится по таблице приложения 2 при заданной ве- роятности , затем по формуле определяется доверитель- ный интервал. Погрешность среднего определяется по формуле: (27) Что характеризует точность определения среднего значения от- носительно математического ожидания (истинного значения) изме- ряемой величины. По описанной выше методике доверительный интервал опреде- ляется: (28) В доверительном интервале с заданной доверительной вероят- ностью может находиться истинное значение измеряемой вели- чины Х и Порядок выполнения работы Все расчеты по оценке случайной погрешности представляют в виде таблицы (табл. 4). Весь ряд значений измеряемой величины разбивается на классы с равными интервалами. Находятся максимальное и минимальное значения, и определяется интервал класса: (29) где n – принятое число классов (9-11 классов). Определяются границы классов, которые располагают в возрас- тающем порядке: ; ; …; (30) Определяются средние значения классов: 2 2 1 1 X X X + = ,….., 2 1 N N N X X X + = − (31) Частота класса определяется количеством значений ряда по- падающих в интервал данного класса. Сумма частот классов равно общему числу значений ряда: 22 Затем определяются произведения средних значений классов на соответствующие частоты классов: , ,…, (32) По сумме произведений частот и средних значений классов оп- ределяется среднее значение измеряемой величины: (33) Таблица 4 – Определение среднего значения измеряемой величины и отклонений от него Границы классов х 1 х 2 х 3 х 4 х n-1 х n сумма 1 2 3 4 5 6 Среднее значение класса Частота класса Среднее значение измеряемой величины Для оценки случайной погрешности последовательно оп- ределяются: 1) Отклонения средних значений классов от среднего значения измеряемой величины и произведения их на соответствую- щие частоты . При этом должно выполнятся следующее условие: (25) 2) Квадраты отклонений и их произведения на соответ- ствующие частоты 3) Среднее квадратическое отклонение: 23 (26) 4) Доверительный интервал, в котором с заданной вероятно- стью может изменять свое значение измеряемая величина вследствие наличия случайных погрешностей: (27) Величина t определяется по таблице приложения 2 значений ин- теграла вероятностей при заданной вероятности. 5) Погрешность среднего значения относительно истинного (ма- тематического ожидания): (28) А затем – доверительный интервал, в котором с заданной веро- ятностью может находиться истинное значение измеряемой величи- ны: (29) (30) Величина t также определится по таблице приложения 2. 6) Строится график распределения значений измеряемой вели- чины для чего: • Строится гистограмма в системе координат : на оси аб- цисс откладываются границы классов, по оси ординат – соответст- вующие частоты классов (или вероятности). • Соединив середины сторон прямоугольников получаем кривую распределения измеряемой величины (вариационную кри- вую). • На оси абцисс отмечается точка - среднее значение изме- ряемой величины; здесь же будет точка - истинное значение изме- ряемой величины. Проводится ордината частоты (вероятности) этих значений. Эта точка является центром рассеяния значений измеряе- мой величины под влиянием случайных погрешностей. • От точки ) ( и х х откладываются доверительные границы изменения значений измеряемой величины 24 III. Метрологическое обеспечение Метрологическое обеспечение – установление и применение научных и организационных основ, технических средств, правил и норм, необходимых для достижения единства и требуемой точности измерений. Основная цель метрологического обеспечения – достижение оценки реальной точности измерений и их достоверности на практи- ке, на базе единства измерений. Понятие «метрологическое обеспечение» применяется, как пра- вило, по отношению к измерениям (испытанию, контролю) в целом. В то же время допускают использование термина «метрологическое обеспечение технологического процесса (производства, организа- ции)», подразумевая при этом метрологическое обеспечение измере- ний (испытаний или контроля) в данном процессе, производстве, ор- ганизации. В перечень основных задач метрологического обеспечения вхо- дят: - определение путей наиболее эффективного использования научных и технических достижений в области метрологии; - стандартизация основных правил, положений, требований и норм метрологического обеспечения; - определение рациональной номенклатуры измеряемых параметров, установление оптимальных норм точности измерений, порядка выбо- ра и назначений средств измерений; - организация и проведение метрологической экспертизы на стадиях разработки, производства и испытаний изделий; - проведение обязательных государственной и ведомственной пове- рок средств измерений, их ремонта; - обеспечение постоянной готовности к проведению измерений. |