Лекция №1.Множества. Множество и его элементы
 Скачать 105.65 Kb.
|
|
Множество и его элементы. Под множеством понимается совокупность объектов одной природы. Множества мы будем обозначать большими буквами ( A , B , X , Y ), его элементы — малыми ( a, b, x, y ). Тот факт, что a является элементом множества A , будем обозначать a ∈ A. Множество полностью определяется своими элементами. Это означает, что множества совпадают в том и только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов. Символьная запись определения равенства двух множеств такова: A = B ⇐⇒ (для любого a ∈ A ⇒ a ∈ B и для любого b ∈ B ⇒ b ∈ A ). Множество, не содержащее ни одного элемента, обозначается ∅ и называется пустым множеством. Два основных способа задания множеств:
∈ N и существует некоторое k ∈ N, что n = 2k} — множество всех четных натуральных чисел. Определение. Множество A содержится во множестве B (обозначается A ⊆ B ), если каждый элемент множества A является элементом множества B.Теорема 1. A = B тогда и только тогда, когда одновременно A ⊆ B и B ⊆ A (т.е. A = B ⇐⇒ A ⊆ B и B ⊆ A ).Операции над множествами и их свойства Определение. Пересечением множеств A и B (обозначается A ∩ B ) называется множество, состоящее из всех элементов, которые одновременно принадлежат и A , и B . Символьная запись : A ∩ B = {x : x ∈ A и x ∈ B} . Определение. Объединением множеств A и B (обозначается A 𝖴 B ) называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих или A , или B . Символьная запись: A 𝖴 B = {x : x ∈ A или x ∈ B} . Если A = {1, 2, 3} и B = {3, 4} , то их пересечением будет множество A ∩ B = {3} , а объединением — A 𝖴 B = {1, 2, 3, 4} Определение. Разностью множеств А и В(обозначается А\В ) называется множество, состоящее из всех элементов множества А , не принадлежащих множеству В (т.е. А\В = {x : x ∈ А и x ∉В} ) Определение. Дополнением множества A (обозначение —Ā) называется разность между универсальным множеством I и множеством A (т.е. Ā= {x : x ∈ I и x ∉A} )Теорема 2. Пусть A, B и C — произвольные множества. Справедливы следующие равенства:
A 𝖴 B = B 𝖴 A A ∩ B = B ∩ A. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). (A ∩ B) 𝖴 C = (A 𝖴 C) ∩ (B 𝖴 C). Доказательство 4-го свойства. Обозначим через X и Y левую и правую части в равенстве 4. Покажем, что оба условия теоремы 1. выполняются.
∈ B ∩ C . Следовательно, в любом случае x ∈ A ∩ C или x ∈ B ∩ C . Значит, x ∈ Y . y ∈ (A ∩ C) 𝖴 (B ∩ C) ⇒ y ∈ A ∩ C или y ∈ B ∩ C . Если y ∈ A ∩ C ⇒ y ∈ A и y ∈ C ⇒ y ∈ A 𝖴 B и y ∈ C ⇒ y ∈ (A 𝖴 B) ∩ C = X . Если y ∈ B ∩ C ⇒ y ∈ B и y ∈ C ⇒ y ∈ A 𝖴 B и y ∈ C ⇒ y ∈ (A 𝖴 B) ∩ C = X . Итак, y ∈ X . Из теоремы 1. теперь следует, что X = Y . Остальные свойства операций проверяются аналогично. Декартово произведение множеств. Соответствия В 1637 году вышел философский трактат “Рассуждение о методе” французского философа и математика Рене Декарта (1596—1650). Последняя часть этой работы была посвящена новому геометрическому методу — методу координат. Каждой точке плоскости Декарт поставил в соответствие упорядоченную пару вещественных чисел — ее первую и вторую координаты. Рассмотренное Декартом множество всех упорядоченных пар вещественных чисел является примером произведения множества на себя. Для определения произведения множеств в общем случае необходимо понятие упорядоченной пары. Множества {a, b} и {b, a} равны между собой и поэтому не дают возможности определить, какой из двух элементов пары является первым, а какой — вторым. Последнее важно, так как, например, точки с координатами (1, 2) и (2, 1) различны, в то время как множества {1, 2} и {2, 1} совпадают. Определение. Пусть a ∈ A, b ∈ B . Упорядоченной парой (a, b) называется множество {{a}, {a, b} } , при этом a называется первым элементом упорядоченной пары, а b — вторым. Определение. Произведением двух множеств A и B называют множество A × B , состоящее из всех упорядоченных пар, первые элементы которых выбираются из A , вторые — из B (т.е. A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} ) A × B |