Моделирование. Основные понятия и определения

• Название: Моделирование. Основные понятия и определения
• Дата: 21.01.2021
• Размер: 221.15 Kb.
• Имя файла: shpora_MSUTO.docx
• Тип: Документы; #170305

1. 
   Моделирование. Основные понятия и определения.
   

Модель – реально существующая или мысленно представляемая система, которая, замещая и отображая оригинал с определенной целью, находится с ним в отношениях подобия. Моделирование – замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным образом, описанием или другим объектом (моделью) и познание свойств оригинала путем исследования свойств модели. Моделирование – метод познания окружающего мира, который можно отнести к общенаучным методам, применяемым как на эмпирическом, так и на теоретическом уровне познания. Моделирование – замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели.

Основные цели моделирования: ● описание объекта; ● объяснение объекта; ● прогнозирование поведения и свойств объекта.

Моделирование базируется на нескольких основополагающих принципах
1. Принцип информационной достаточности – при полном отсутствии информации об объекте построение его модели невозможно.При наличии полной информации об объекте построение его модели не имеет смысла.
2. Принцип осуществимости – создаваемая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования с вероятностью, существенно отличающейся от нуля.
3. Принцип множественности моделей – создаваемая модель должна отражать в первую очередь те свойства реального объекта (системы), которые интересуют исследователя.
4. Принцип агрегатирования – в большинстве исследований систему целесообразно представить как совокупность подсистем, для описания которых оказываются пригодными стандартные схемы.
5. Принцип параметризации – модель строится в виде известной системы, параметры которой неизвестны.

2. 
   Классификации моделей систем управления технологическими объектами и процессами.
   

Существуют различные критерии для классификации СУ технологическими процессами, объектами и производствами:

1) по уровню автоматизации выполняемых функций;

2) по методу управления;

3) по иерархическому принципу;

4) по функциональному признаку;

5) по информационным признакам.

по уровню автоматизации СУ подразделяются на следующие виды.

а) Системы неавтоматического (ручного) управления — такие СУ, в которых все функции контроля и управления выполняют люди (без ЭВМ и средств диспетчеризации).

б) Автоматические системы управления — СУ, в которых применяются средства автоматизации и вычислительной техники (ВТ), подготавливающие поступившую информацию к виду, удобному для принятия оператором необходимого решения.

2) По методу управления 

По методу управления СУ подразделяются на два больших класса:

а) Обыкновенные (несамонастраивающиеся) СУ. Эти системы относятся к разряду простых, не изменяющих свою структуру в процессе управления. Они наиболее разработаны и широко применяются в литейных и термических цехах. Обыкновенные СУ подразделяются на три подкласса: разомкнутые, замкнутые и комбинированные системы управления.

б) Самонастраивающиеся (адаптивные) СУ.В этих системах при изменении внешних условий или характеристик объекта регулирования происходит автоматическое (заранее не заданное) изменение параметров управляющего устройства за счет изменения структуры СУ или даже введения новых элементов.

3) По иерархическому принципу

В зависимости от числа иерархических уровней и разделения функций управления по этим уровням, СУ принято подразделять на одноуровневые и многоуровневые.

Системы управления, имеющие только один уровень управления, получили название одноуровневых. Примером таких систем может служить копировальная система управления. Профиль копира определяет движение исполнительного органа.

Многоуровневые системы имеют несколько уровней управления, каждый из которых выполняет конкретные функции.

4) По функциональному признаку все системы управления подразделяются на четыре класса:

а) системы для координации работы механизмов;

б) системы регулирования параметров технологических процессов;

в) системы автоматического контроля;

г) системы автоматической защиты и блокировки.

5) По информационным признакам

Удобнее всего классифицировать СУ по информационным признакам, включающим источники и носители информации, вид и методы переработки ее.

Количество информации, их структура в определенной степени определяют качество работы СУ. Чем больше используется каналов информации, тем качество работы СУ выше, шире ее функциональные возможности.

3. 
   Классификация видов моделирования.
   

В основе моделирования лежит теория подобия, которая утвер­ждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же [5]. При моделирова­нии абсолютное подобие не имеет места и стремятся к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функ­ционирования объекта.



4. Основные формы моделей скалярных динамических систем.

 Под динамической системой понимается объект, находящийся в каждый момент времени tT в одном из возможных состояний Z и способный переходить во времени из одного состояния в другое под действием внешних и внутренних причин.

Динамическая система как математический объект содержит в своем описании следующие механизмы:

• 
  - описание изменения состояний под действием внутренних причин (без вмешательства внешней среды);
  
• 
  - описание приема входного сигнала и изменения состояния под действием этого сигнала (модель в виде функции перехода);
  
• 
  - описание формирования выходного сигнала или реакции динамической системы на внутренние и внешние причины изменения состояний (модель в виде функции выхода).
  

Аргументами входных и выходных сигналов системы могут служить время, пространственные координаты, а также некоторые переменные, используемые в преобразованиях Лапласа, Фурье и других.

5.Передаточные и весовые функции. Определение передаточных функций по модели системы, представленной в виде дифференциальных уравнений.

В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Весовая функция (Импульсная переходная функция, импульсная характеристика) — выходной сигнал динамической системы как реакция на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака. В цифровых системах входной сигнал представляет собой простой импульс минимальной ширины (равной периоду дискретизации для дискретных систем) и максимальной амплитуды. Весовой функцией системы называется её реакция на единичный импульс при нулевых начальных условиях.

Переход от математической модели в операторной форме к математической модели САУ в дифференциальной форме осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа.

Основное достоинство преобразования Лапласа – замена операций дифференцирования оригиналов алгебраическими действиями над изображениями. Формально обратное преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях заключается в замене алгебраического оператора дифференцирования:

Выходную величину элемента (искомую функцию времени) и ее производные принято записывать в левой части, а входные величины (известные функции времени) и их производные в правой части.

6. Определение реакций системы на различные входные воздействия.

Типовые воздействия описываются простыми математическими функциями и легко воспроизводятся при исследовании АСУ. Использование типовых воздействий позволяет унифицировать анализ различных систем и облегчает сравнение их передаточных свойств.

Наибольшее применение в ТАУ находят следующие типовые воздействия:

• 
  ступенчатое;
  
• 
  импульсное;
  
• 
  гармоническое;
  
• 
  линейное.
  

Ступенчатое воздействие – воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до некоторого значения и далее остается постоянным

Импульсное воздействие – одиночный импульс прямоугольной формы (рис. 2.2, б), имеющий достаточно большую высоту и малую длительность (по сравнению с инерционностью испытываемой системы) с площадью а₀.

Гармоническое воздействие – сигнал синусоидальной формы, описываемый функцией(рис. 2.2, в)

x(t) = x_m sin t , (- t  ),

где x_m – амплитуда сигнала; = 2 / Т – круговая частота;Т – период сигнала.

Линейное воздействие – воздействие, описываемое функцией (рис. 2.2, г)

x(t) = 1(t) а₁ t , (0 t  ).

Коэффициент а1 характеризует скорость нарастания воздействия X(t).

7. Модели систем в пространстве состояний. Переходная (фундаментальная) матрица системы

Если САУ описана в форме дифференциального уравнения, передаточной функции, то возможен переход к модели в пространстве состояний. Для линейной стационарной динамической системы, когда параметры не зависят от времени, уравнения в пространстве состояний записываются в следующем виде:



где U(t) – входной сигнал системы,

Y(t) - выходной сигнал системы,

Х(t) – вектор переменных состояний.

Рассмотрим формирование уравнений состояния по известному дифференциальному уравнению. При этом следует различать:

а) Дифференциальное уравнение содержит в правой части только

управляющее воздействие U(t):

8. Методы определения переходной матрицы

– переходная матрица, матрица перехода из одного состояния в другое.

Она должна удовлетворять решению однородной системы:





Для нестационарной системы:

t1>t0:x(t1)=Ф(t1,t0)*x(t0)

t2>t1:x(t2)=Ф(t2,t0)*x(t0)

x(t2)= Ф(t2,t1)*x(t1)= Ф(t2,t1)* Ф(t1,t0)*x(t0) => Ф(t2,t0)= Ф(t2,t1)* Ф(t1,t0) =>

=> Ф(t,t0)* Ф(t0,t) = Ф(t0,t)* Ф(t,t0)=E

+Для вычисления обратной матрицы, нужно поменять местами аргументы: Ф^-1(t,t0)=Ф(t0,t)

Для стационарной системы:

Ф(t,t0)= +… (*)

Проверим условия 1) и 2)





9.Определение реакций системы на различные входные воздействия, выраженное через переходную матрицу системы. Определение передаточной и весовой функций через переходную матрицу системы.

Определения линейной динамической системы, приведенные в предыдущем параграфе, устанавливают принципиальную основу исследования линейных систем.

Для получения ряда конструктивных результатов необходимо иметь такую характеристику системы, которая бы однозначно ей соответствовала и наиболее полно раскрывала свойства системы. К получению этой характеристики мы и приступим.

Рассмотрим дифференциальное уравнение линейной системы

 (5.33)

полученное из уравнения состояния системы

 , (5.34)

путем приравнивания нулю вектора входных воздействий U(t).

Изображение выходной величины непосредственно следует из определения передаточной функции:

. (2.8)

Переходная функция может быть найдена с применением обратного преобразования Лапласа при 

. (2.9)

Подставив (2.8) в (2.9), получим

.

Если входной сигнал  , то его изображение   и тогда

+ .

Весовую функцию   определяют также с применением обратного преобразования Лапласа при 

.

Так как  , a  , то изображение входа   и следовательно

.

Это равенство дает второе определение передаточной функции: это изображение выходной величины при нулевых начальных условиях при подаче на вход  функции.

Таким образом, импульсная переходная функция (функция веса) есть обратное преобразование Лапласа передаточной функции



10. Фундаментальные свойства динамических систем. Определения и смысл устойчивости, управляемости, наблюдаемости.

Если рассмотреть состояние системы в новый момент времени, то вновь можно обнаружить все четыре статических свойства. Но если наложить «фотографии» системы в разные моменты времени друг на друга, то обнаружится, что они отличаются в деталях: за время между двумя моментами наблюдения произошли какие-то изменения в системе и её окружении. Такие изменения могут быть важными при работе с системой, и, следовательно, должны быть отображены в описаниях системы и учтены при работе с нею. Особенности изменений со временем внутри системы и вне её и называются динамическими свойствами системы. Обычно различаются четыре динамических свойства системы.

Функциональность. Процессы Y(t), происходящие на выходах системы, рассматриваются как её функции. Функции системы – это её поведение во внешней среде, результаты её деятельности, продукция, производимая системой.

Из множественности выходов вытекает множественность функций, каждая из которых может быть кем-то и для чего-то использована. Поэтому одна и та же система может служить для разных целей. Субъект, использующий систему в своих целях, будет, естественно, оценивать её функции и упорядочивать их по отношению к своим потребностям. Так появляются понятия главной, второстепенной, нейтральной, нежелательной, лишней функции и т.д.

Стимулируемость. На входах системы также происходят определённые процессы X(t), воздействующие на систему и превращающиеся после ряда преобразований в системе в Y(t). Воздействия X(t) называются стимулами, а сама подверженность любой системы воздействием извне и изменение её поведения под этими воздействиями – стимулируемостью.

+Изменчивость системы со временем. В любой системе происходят изменения, которые необходимо учитывать. В терминах модели системы можно сказать, что изменяться могут значения внутренних переменных (параметров) Z(t), состав и структура системы и любые их комбинации. Характер этих изменений тоже может быть различным. Поэтому могут рассматриваться дальнейшие классификации изменений.

Самая очевидная классификация – по скорости изменений (медленные, быстрые. Скорость изменений измеряется относительно какой-либо скорости, взятой за стандарт. Возможно введение большого количества градаций скоростей. Возможна также классификация тенденций перемен в системе, касающихся её структуры и состава.

Существование в изменяющейся среде. Изменяется не только данная система, но и все остальные. Для рассматриваемой системы это выглядит как непрерывное изменение окружающей среды. Это обстоятельство имеет множество последствий для самой системы, которая должна приспосабливаться к новым условиям для того, чтобы не погибнуть. При рассмотрении конкретной системы обычно уделяют внимание особенностям той или иной реакции системы, например, скорости реакции

Характеристики системы показывают ее принципиальные возможности. Эти возможности в значительной степени выявляются при изучении свойств системы, которые принято называть устойчивостью, наблюдаемостью, идентифицируемостью, управляемостью и адаптируемостью. Часто между наблюдаемостью и идентифицируемостью не делают различий, а адаптируемость рассматривается как частный случай управляемости.

Управляемость и наблюдаемость, так же как и устойчивость, относятся к числу важнейших характеристик динамических систем. Если устойчивость характеризует свойство системы возвращаться после возмущения в положение равновесия, то управляемость характеризует возможность изменения состояния системы с помощью входных сигналов, а наблюдаемость - возможность определения состояния системы по наблюдениям за ее выходными сигналами.

Устойчивость системы. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является отрицательность вещественных частей собственных чисел l_i матрицы А

 

Rel_i<0; i = 1, 2, ... , n, (10.25)

 

где l_i - корни характеристического уравнения çA-lEç= 0;

n - порядок системы.

Для того чтобы оценить расположение спектра матрицы A относительно мнимой оси, необходимо раскрыть характеристический определитель çA-lEç и получить характеристическое уравнение n-ой степени относительно l

çA-lEç= a₀lⁿ +a₁l^n-1 + a₂l^n-2 +...+ a_n-1l +a_n = 0. (10.26)

 После получения характеристического уравнения в виде (10.26) обычно применяется тот или иной из известных критериев устойчивости, например, Рауса, Гурвица или Михайлова либо производится непосредственное вычисление всей совокупности корней

Управляемость системы. Система называется управляемой, если для любого начального состояния X(0)ÎRⁿ существует управление U(t), переводящее ее за конечное время T в нулевое состояние X(T)=0 или система управляема, если существует управляющее воздействие U(t), позволяющее перевести ее за конечное время T в любое наперед заданное состояние из пространства состояний X(T)ÎRⁿ.

Наблюдаемость системы. Система называется наблюдаемой, если по наблюдениям за выходным сигналом Y(t) в течение конечного времени T можно определить ее начальное состояние X(0).

Простые критерии проверки управляемости и наблюдаемости системы основаны на анализе матрицы управляемости

11. Критерии оценки устойчивости.

Все критерии устойчивости делятся на алгебраические и частотные. Если для работы с алгебраическими критериями необходимо иметь, по крайней мере, характеристическое уравнение системы, то при использовании частотных критериев не обязательно иметь даже характеристическое уравнение, так как устойчивость может быть определена по экспериментальным характеристикам. Это свойство частотных критериев широко используется в практике работы со сложными системами, такими, например, как энергетические системы, когда построение математической модели затруднено. К алгебраическим критериям относятся критерии Гурвица и Рауса, к частотным - критерии Найквиста и Михайлова.

Критерий Гурвица. Проверка устойчивости по Гурвицу сводится к вычислению n определителей, которые составляются по следующему правилу:

 

 

 ;   ; 

Критерий Михайлова. Если в характеристическом уравнении системы заменим оператор p на jw, получим функцию комплексного переменного

 , 6.8)

которая в комплексной плоскости определяет вектор



Критерий Найквиста. Этот критерий позволяет определить устойчивость системы по ее амплитудно-фазовым характеристикам, которые могут быть заданы как в аналитической форме, так и в виде опытных кривых. Особенностью критерия является то, что оценка устойчивости системы делается по характеристикам ее разомкнутого состояния. Это оказывается возможным благодаря однозначной зависимости между передаточной функцией разомкнутой системы и характеристическим уравнением этой системы в замкнутом состоянии.

12. Критерии оценки управляемости и наблюдаемости.

Управляемость и наблюдаемость являются столь же важными свойствами объектов, как и их устойчивость. Оценка управляемости объекта должна предшествовать постановке любой задачи динамической оптимизации, ибо для не полностью управляемого объекта такая задача может оказаться неразрешимой. Оценка наблюдаемости объекта должна предшествовать постановке задачи его идентификации, ибо не полностью наблюдаемый объект не может быть идентифицирован. Для оценки управляемости и наблюдаемости обычно используются уравнение состояния и уравнение выхода объекта в их векторно-матричной форме

 (1)

где X – n-мерный вектор-столбец переменных состояния;

Y – q-мерный вектор-столбец выходных переменных;

U – m-мерный вектор-столбец управлений ( );

 - постоянные матрицы указанных размерностей.

Управляемость объекта. Этот термин физически означает возможность перевода объекта из любого начального состояния (режима работы) X(t₀)=X₀в любое конечное состояние X(t_к)=X_к за конечное время   путем приложения допустимого управления U(t). Объект, обладающий указанным свойством, называется полностью управляемым. Иными словами, если объект полностью управляем, то всегда найдется такое допустимое управление, которое за конечное время обеспечит перевод данного объекта из любого начального состояния в любое заданное конечное состояние.

Наблюдаемость объекта. Этот термин физически означает возможность определения начального состояния объекта X₀ по результатам наблюдений за его выходом Y(t) на конечном интервале   (см. рис. 1). Объект, обладающий таким свойством, называется полностью наблюдаемым.

13. Особенности составления уравнений состояния для механических систем

Одна из особенностей составления и моделирования уравнений состояния состоит в том, что в нем уравнения движения механических систем с одной степенью свободы составляются с использованием не одного, а пяти основных методов динамики, а именно: 1)с помощью уравнений Лагранжа второго рода; 2) с помощью общего уравнения динамики; 3) с помощью принципа Даламбера; 4) с помощью теоремы об изменении момента количеств движения; 5) с помощью теоремы об изменении кинетической энергии. Благодаря этому в рамках темы «Малые свободные колебания систем с одной степенью свободы» учащиеся получают возможность повторить значительную часть раздела «Динамика механической системы». Составление уравнений механических систем с использованием каждого из рассматриваемых методов предваряется приведением алгоритма использования этого метода, что обладает, с методической точки зрения, очевидным преимуществом, так как позволяет решать различные задачи единообразно.

14. Особенности составления уравнений состояния для электрических цепей

Процессы исследуются путем составления и моделирования системы уравнений состояния.Полная система дифференциальных уравнений, описывающих токи и напряжения электрической цепи, формируется на основе топологических(на основе законов Кирхгофа) и компонентных (соотношений между токами и напряжениями элементов) уравнений. Затем система уравнений цепи приводится к уравнениям в форме Коши, т.е. к системе канонических дифференциальных уравнений первого порядка. Выбор различных наборов переменных приводит к неоднозначности, т.е. к возможности записи нескольких вариантов уравнений состояния. В качестве основных переменных состояний, характеризующих электрическую цепь, целесообразно применять токи индуктивных элементов и напряжения и емкостных элементов. Указанные величины в соответствии с законами коммутации изменяются непрерывно, и для них начальные условия записываются непосредственно на основе анализа предшествующего режима.

15.Общие понятия о факторных моделях. Пассивный и активный эксперименты. Выбор факторов

Факторная модель связывает доход актива со значениями ограниченного числа факторов. Это отношение обычно описывается линейным уравнением следующей формы: где (iu-rf) является доходом актива i за время t, и Fitl и Fn,t являются факторами. Какой фактор зависит от точной цели модели? Факторами могут быть макроэкономические переменные, такие как бизнес-цикл, инфляция или валютный курс. Можно также выбрать предопределенные портфели или индексы как факторы (что наиболее популярно на практике). Факторы могут быть получены из экономической теории, или из статистического анализа, они только должны быть коррелированными с доходом актива. Коэффициент а, представляет потенциальный доход актива, который часто является неправильно

оцененным. Коэффициенты Pi и рп показывают, как сильно доход актива воздействует на изменения факторов. Они обычно применяются как фактор чувствительности, фактор нагрузки, фактор воздействия или просто бета-фактор. Планирование эксперимента. Различают пассивный и активный эксперимент. При пассивном эксперименте исследователь не имеет возможности управлять значениями факторов. К пассивному эксперименту относятся, например, сбор опытных статистических данных о режиме нормальной эксплуатации машины в заводских условиях или проведение серии экспериментов с поочередным варьированием каждого фактора. В этом случае объем исследований чрезвычайно высок и требует больших затрат времени и средств. Действительно, если предположить, что значимыми являются, например, четыре фактора, причем,для оценки влияния каждого фактора необходимо получить пять точек, то общее число экспериментов (без учета их повторяемости) составит 5 = 625, что практически трудно осуществимо.

16. Планирование полного факторного эксперимента: выбор плана, основных уровней, интервалов варьирования факторов, построение матрицы планирования эксперимента.

Матрица ПФЭ реализует все возможные неповторяющиеся комбинации уровней р независимых факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций п = 2р определяет число точек факторного пространства и равно числу опытов.Планирование эксперимента сводится к построению матрицы планирования (МП). Выбор интервала варьирования. Цель состоит в том, чтобы для каждого фактора выбрать два уровня, на которых он будет варьироваться в эксперименте.Представим себе координатную ось, на которой откладываются значения данного фактора. Тогда два интересующих нас уровня можно изобразить двумя точками, симметричными относительно первой. Будем называть один из этих уровней верхним, а второй — нижним. Обычно за верхний уровень принимается тот, который соответствует большему значению фактора, хотя это не обязательно, а для качественных факторов вообще безразлично. Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание — нижний уровни фактора. Другими словами, интервал варьирования — это расстояние на координатной оси между основным и верхним (или нижним) уровнями. Таким образом, задача выбора уровней сводится к более простой: выбору интервала варьирования. На выбор интервалов варьирования налагаются естественные ограничения сверху и снизу: интервал варьирования не может быть меньше той погрешности, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора, иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми, но и не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни оказались за пределами области определения. Выбор основного уровня факторов. Из анализа априорной информации (в частности, сценариев инвестиционного проекта) можно определить комбинацию (или несколько комбинаций) уровней факторов, которые можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента. Эту комбинацию называют основным (нулевым) уровнем. Матрица планирования. Первый этап планирования эксперимента для получения неполной квадратичной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях. В этом случае число опытов, необходимое для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов, можно найти с помощью простой формулы:

где N — число опытов

к — число факторов;

2 — число уровней варьирования факторов.

В общем случае эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом.

17. Основные этапы обработки результатов эксперимента

Необходимость обработки вызвана тем, что выборочный анализ отдельных данных, вне связи с остальными результатами, или же некорректная их обработка могут не только снизить ценность практических рекомендаций, но и привести к ошибочным выводам. Обработка результатов включает:

1. определение доверительного интервала среднего значения и дисперсии (или среднего квадратичного отклонения) величин выходных параметров (экспериментальных данных) для заданной статистической надежности;

2. проверка на отсутствие ошибочных значений (выбросов), с целью исключения сомнительных результатов из дальнейшего анализа. Проводится на соответствие одному из специальных критериев, выбор которого зависит от закона распределения случайной величины и вида выброса;

3. проверка соответствия опытных данных ранее априорно введенному закону распределения. В зависимости от этого подтверждаются выбранный план эксперимента и методы обработки результатов, уточняется выбор математической модели.

Существует 2 этапа обработки результата:

1. Выявление связей параметров. Проводится выявление наличия зависимости одного фактора от другого (входные воздействия и отклики). Как правило, общий вид закономерности известен из литературы. Когда имеется много воздействий, проводится специальный вид анализа – корреляционный анализ.

2. Определение погрешностей.

18. Регрессионный анализ

Регрессионный анализ – это метод изучения статистической взаимосвязи между одной зависимой количественной переменной от одной или нескольких независимых количественных переменных. Зависимая переменная в регрессионном анализе называется результирующей, а переменные факторы – предикторами или объясняющими переменными.

Взаимосвязь между средним значением результирующей переменной и средними значениями предикторов выражается в виде уравнения регрессии. Уравнение регрессии – математическая функция, которая подбирается на основе исходных статистических данных зависимой и объясняющих переменных. Чаще всего используется линейная функция. В этом случае говорят о линейном регрессионном анализе.

Регрессионный анализ очень тесно связан с корреляционным анализом. В корреляционном анализе исследуется направление и теснота связи между количественными переменными. В регрессионном анализе исследуется форма зависимости между количественными переменными. Т.е. фактически оба метода изучают одну и ту же взаимосвязь, но с разных сторон, и дополняют друг друга. После доказательства наличия взаимосвязи методом корреляционного анализа можно выразить форму этой связи с помощью регрессионного анализа.

Цель регрессионного анализа – с помощью уравнения регрессии предсказать ожидаемое среднее значение результирующей переменной. Основные задачи регрессионного анализа следующие:

1. определения вида и формы зависимости;

2. оценка параметров уравнения регрессии;

3. проверка значимости уравнения регрессии;

4. проверка значимости отдельных коэффициентов уравнения;

5. построение интервальных оценок коэффициентов;

6. исследование характеристик точности модели;

7. построение точечных и интервальных прогнозов результирующей переменной.

Регрессионный анализ отражает только количественные зависимости между переменными. Причинно-следственные зависимости регрессионный анализ не отражает. Гипотезы о причинно-следственной связи переменных должны формулироваться и обосновываться исходя из теоретического анализа содержания изучаемого явления.

19. Исследование факторной модели, проверка адекватности модели.

Фа́кторный анализ — многомерный метод, применяемый для изучения взаимосвязей между значениями переменных. Предполагается, что известные переменные зависят от меньшего количества неизвестных переменных и случайной ошибки.

Два основных понятия факторного анализа: фактор — скрытая переменная и нагрузка — корреляция между исходной переменной и фактором.

Практическое выполнение факторного анализа начинается с проверки его условий. В обязательные условия факторного анализа входят:

1. все признаки должны быть количественными;

2. число наблюдений должно быть не менее чем в два раза больше числа переменных;

3. выборка должна быть однородна;

4. исходные переменные должны быть распределены симметрично;

5. факторный анализ осуществляется по коррелирующим переменным.

Факторный анализ позволяет решить две важные проблемы исследователя: описать объект измерения всесторонне и в то же время компактно. С помощью факторного анализа возможно выявление скрытых переменных факторов, отвечающих за наличие линейных статистических корреляций между наблюдаемыми переменными. Две основных цели факторного анализа:

1. определение взаимосвязей между переменными, (классификация переменных), то есть «объективная R-классификация»;

2. сокращение числа переменных необходимых для описания данных.

Факторный анализ может быть:

разведочным — он осуществляется при исследовании скрытой факторной структуры без предположения о числе факторов и их нагрузках;

конфирматорным (подтверждающим), предназначенным для проверки гипотез о числе факторов и их нагрузках.

Адекватность модели — совпадение свойств (функций/параметров/характеристик и т. п.) модели и соответствующих свойств моделируемого объекта. Адекватностью называется совпадение модели моделируемой системы в отношении цели моделирования.

Оценка адекватности модели — проверка соответствия модели реальной системе. Оценка адекватности модели реальному объекту оценивается по близости результатов расчетов экспериментальным данным.

Два основных подхода к оценке адекватности:

1) по средним значениям откликов модели и системы

Проверяется гипотеза о близости средних значений каждой n-й компоненты откликов модели Yn известным средним значениям n-й компоненты откликов реальной систем.

2) по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов систем

Сравнение дисперсии проводят с помощью критерия F (проверяют гипотезы о согласованности), с помощью критерия согласия x^2 (при больших выборках, n>100), критерия Колмогорова-Смирнова (при малых выборках, известны средняя и дисперсия совокупности), Кохрена и др.

20. Оптимизация моделей динамических систем.

Оптимизация динамических систем является важной частью моделирующих программ, и ее реализация позволяет значительно увеличить полезность разрабатываемого инструментария.

Оптимизация динамической системы подразумевает нахождение таких ее параметров, которые минимизируют (максимизируют) определенные динамические свойства или характеристики системы. Примером оптимизации динамической системы является нахождение оптимальных настроек регулятора САР, которые позволяют достигнуть наилучшего качества переходного процесса (перерегулирование, время регулирования и т. д.)

Для параметрической оптимизации используют различные методы оптимизации, которые позволяют получить оптимальные по заданному критерию параметры элементов сборки системы. Оптимизация производится по одному или нескольким критериям (многокритериальная оптимизация). Если результаты параметрического синтеза удовлетворяют пользователя, то осуществляется документирование сборки и оптимизационной модели. В том случае, если в результате параметрического синтеза не найдены параметры, обеспечивающие заданные динамические свойства системы, осуществляют “откат” и повторяют процедуру с начала.

21. Поисковые методы оптимизации. Методы поиска нулевого, первого, второго порядков.

Методы нулевого порядкаВ практических задачах нередки случаи, когда минимизируемая функциялибо не обладает нужной гладкостью, либо является гладкой, но вычислениепроизводных с нужной точностью является слишком трудоемким. В таких случаях применяют методы минимизации, которые требуют лишь вычисления значений функций, то есть методы 0-го порядка.покоординатного спуска явялется одним из распространенных.Методы первого порядкаГрадиентные методы представляют собой приближенныеметоды решения задачи нелинейного программирования и позволяют решитьпрактически любую задачу. Поэтому целесообразно применять эти методы для решения задач выпуклого программирования, в которых каждый локальный экстремум является иглобальным. К методам первого порядка относят:градиента,наискорейшего спуска,сопряженных градиентовМетоды второго порядкаметодом второго порядка называется метод, использующийзначения минимизируемой функции, а также значения ее первых и вторых производных. Отсюда следует, что для использования методов второго порядка необходимым условием является дважды дифференцируемость f (X ).К методам второго порядка относят:метод Ньютона;метод Ньютона-Рафсона;метод Марквардта и др.

22. Основные поисковые методы оптимизации: метод покоординатного спуска, метод случайного поиска.

Покоординатногоспуска: Суть метода состоит в том, что, задав начальное приближение, выбирается направление движения по одной из покоординатных осей, причем, на последующих шагах идет циклический перебор направлений по координатным осям. Наиболее распространенным является метод покоординатного спуска с дроблением шага.Сходимость метода обеспечена для гладких функций, несмотря на то, что это метод 0-го порядка. Оказывается, что если f (X ) не является гладкой, тометод покоординатного спуска может не сходиться к решению.
Методы случайного поиска реализуют итеративный процесс движения оптимизационных переменных в пространстве с использованием случайных направлений. Одно из преимуществ этих методов – достаточная простота, методы обладают большим спектром возможных направлений движения.

23. Основные поисковые методы оптимизации: метод градиента, метод наискорейшего спуска.

градиентным методом, представляет собойпоследовательность шагов, каждый из которых содержит две операции:а) определение направления наибольшей крутизны спуска (подъема);б) перемещение в выбранном направлении на некоторый шаг.Правильный выбор шага имеет существенное значение. Чем шаг меньше,тем точнее результат, но больше вычислений. Различные модификации градиентного метода и состоят в использовании различных способов определенияшага. Если на каком-либо шаге значение f (X ) не уменьшилось, это означает,что точку минимума «проскочили», в этом случае необходимо вернуться к предыдущей точке и уменьшить шаг, например, вдвое.

В отличие от метода градиента, в котором градиент определяют на каждомшаге, в методе наискорейшего спуска градиент находят в начальной точке идвижение в найденном направлении продолжают одинаковыми шагами до техпор, пока значение функции уменьшается (увеличивается). Если на каком-либошаге f (X ) возросло (уменьшилось), то движение в данном направлении прекращается, последний шаг снимается полностью или наполовину и вычисляетсяновое значение градиента и новое направление.

24. Моделирование мехатронных систем. Программное обеспечение для моделирования мехатронных систем.

Моделирование является важнейшим и неотъемлемым этапом процедуры проектирования современных мехатронных устройств и систем.Рассмотрим основные типы.1.При полунатурном моделировании часть системы заменяется моделью, которая стыкуется с реальным оборудованием.2.Широко применяемое на практике физическое моделирование,основано на использовании моделей той же физической природы, что и моделируемый объект, но с более удобными для экспериментирования параметрами. 3.Использование моделей прямой аналогии основано на замене реального объекта моделью иной физической природы. 4.Методы моделирования на ЭВМ часто называют методами непрямой аналогии. Они делятся на методы моделирования на аналоговых вычислительных машинах (АВМ) и цифровых (ЦВМ). 5.Расчетно-аналитический метод моделирования, который состоит в получении математической модели и оперировании с ней 1.Система.MATLAB/Simulink является в настоящее время одним из наиболее популярных инструментов численных расчетов и применяется в различных областях знаний. Главная особенность среды MATLAB – тщательная проработанность и отлаженность всего богатейшего арсенала средств и методов 2.VisSim – один из наиболее ярких представителей систем, реализующих концепцию структурного моделирования. Основным инструментом задания моделей являются типовые блоки «вход – состояние выход». Подобно MATLAB, каждый типовой блок VisSim реализует математическую модель или обеспечивает визуализацию того или иного явления, процесса или устройства. 3.Из отечественных программных продуктов визуального моделирования технических систем наиболее развитым в настоящее время является пакет МВТУ Программный комплекс МВТУ реализует структурное моделирование и предназначен для исследования динамики и проектирования разнообразных технических систем и устройств

25. Моделирование робототехнических систем. Программное обеспечение для моделирования робототехнических систем.

26. Система моделирования роботизированных процессов KUKA.Sim. Основные возможности.

27. Этапы моделирования робототехнических систем в KUKA.Sim

28. Программное обеспечение для имитационного моделирования производственных процессов.

29. Методы и средства имитационного моделирования производственных систем

На сегодняшний день именно метод имитационного моделирования является одним из самых мощных и наиболее эффективных методов исследования процессов и производственных систем. Имитационная модель должна отражать большое число параметров, логику и закономерности поведения моделируемого объекта. Прежде чем перейти к рассмотрению имитационного моделирования, рассмотрим все существующие виды моделирования систем. Существуют следующие виды моделирования систем — аналитическое, имитационное и экспериментальное. Аналитическая модель базируется на математическом описании объекта. В аналитической модели приходится идти на существенные упрощения и допущения, что может привести к получению приближенных и даже недостоверных результатов

Во многих случаях требуется более детальная информация о поведении объекта, системы. В этом случае используют имитационное моделирование, с помощью которого описывается функционирование системы в виде последовательности операций на ЭВМ. Поведение системы представляется в виде алгоритма, на основе которого разрабатывается программа для ЭВМ. Сущность имитационного моделирования состоит в том, что процесс имитируется с помощью арифметических и логических операций в последовательности, соответствующей моделируемому процессу. Экспериментальные модели исторически использовались одними из первых при проведении испытаний, исследовании сложных систем. Они дают наиболее полную и достоверную информацию об исследуемом объекте.

30. Оптимизация моделей производственных процессов.

Оптимизация производственных процессов затрагивает основные сферы изготовления продукции на предприятии:

• 
  Повышение оборота продукции. В условиях конкурентного рынка повышение объемов продукции редко приводит к желаемому результату, лишь увеличивает затраты предприятия. Необходимо выделить продукт пониженной ценой, дополнительными характеристиками или другими преимуществами для клиентов, чтобы повысить оборот.
  
• 
  Снижение операционных расходов. Оптимизация процессов на предприятии сводится к повышению эффективности работы сотрудников и снижению их численности. Также устраняются неиспользуемые складские помещения, оборудование.
  
• 
  Рациональное распределение запасов предприятия. Снижение количества запасов приводит к промышленному застою, снижению объемов производимой продукции и общей стагнации для бизнеса. В рамках указанных мероприятий необходимо правильно рассчитывать количество и качество запасов. Работа с запасами проводится в комплексе с оборотом.
  

В результате всех процедур, производительность организации должна возрастать, а финансовые затраты оставаться на прежнем уровне либо уменьшаться.

Методы оптимизации производства

При управлении предприятием в целях оптимизации производственной деятельности, в первую очередь, затрагиваются текущие процессы. Целью специалистов становится улучшение актуальных методов изготовления продукции. Только если оптимизационная деятельность не помогает улучшить состояние компании, используется модернизация оборудования.

Существует несколько основных методов сократить траты и увеличить доходы:

1. 
   Бережливое производство;
   
2. 
   Тотальная оптимизация всех процессов, происходящих в компании.
   

Задача специалистов заключается в том, чтобы оптимизировать производство на постоянной основе. Временные меры приносят или незначительный, или краткий результат.