Дискретные математические модели в биологии_задание. Моделирование популяции животных

• Название: Моделирование популяции животных
• Дата: 12.02.2022
• Размер: 81.16 Kb.
• Имя файла: Дискретные математические модели в биологии_задание.docx
• Тип: Документы; #359476

Моделирование популяции животных

Для выполнения работы откройте файл-заготовку Популяция.xls.

1. 
   Постройте графики изменения численности популяции животных для моделей ограниченного и неограниченного роста при , и в течение первых 15 периодов. Определите, когда модель неограниченного роста перестает быть адекватной (отклонение от модели ограниченного роста составляет более 10%).
   

Ответ:

На 3 год

2. 
   Используя подбор параметра, определите, при каких коэффициентах модель неограниченного роста остается адекватной в течение не менее 10 периодов.
   

Ответ:

0,08

3. 
   Используя модель ограниченного роста из предыдущей задачи, выполните моделирование популяции с учетом отлова ( ). Предполагается, что животных начали отлавливать через 10 лет после начала наблюдений.
   

• 
  постройте график изменения численности животных;
  
• 
  
  определите количество животных в состоянии равновесия по результатам моделирования; зависит ли оно от начальной численности?
  

Ответ:

723, да зависит

• 
  определите количество животных в состоянии равновесия теоретически, из модели ограниченного роста с отловом; сравните это значение с результатами моделирования
  

Ответ:

1000

• 
  определите, на что влияет начальная численность животных;
  

Ответ:

Чем больше начальная численность, тем быстрее популяция придет к границе

• 
  определите (по результатам моделирования) максимальный отлов , при котором популяция не вымирает.
  

Ответ:

133

• 
  *определите максимально допустимый отлов теоретически, из модели ограниченного роста с отловом; сравните это значение с результатами моделирования
  

Ответ:

Моделирование эпидемии

Для выполнения работы откройте файл-заготовку Эпидемия.xls.

При эпидемии гриппа число больных изменяется по формуле

,

где – количество заболевших в -й день, а – количество выздоровевших в тот же день. Число заболевших рассчитывается согласно модели ограниченного роста:

,

где – общая численность жителей, – коэффициент роста и – число переболевших (тех, кто уже переболел и выздоровел, и поэтому больше не заболеет):

.

Считается, что в начале эпидемии заболел 1 человек, все заболевшие выздоравливают через 7 дней и больше не болеют.

Выполните моделирование развития эпидемии при и до того момента, когда количество больных станет равно нулю. Постройте график изменения количества больных.

Ответьте на следующие вопросы:

1. 
   
   Когда закончится эпидемия?
   

Ответ:

2. 
   
   Сколько человек переболеет, а сколько вообще не заболеет гриппом?
   

Ответ:

3. 
   
   Каково максимальное число больных в один день?
   

Ответ:

4. 
   Изменяя коэффициент , определите, при каких значениях модель явно перестает быть адекватной.
   

Ответ:

5. 
   *Сравните модель, использованную в этой работе, со следующей моделью:
   

, .

Анализируя результаты моделирования, докажите, что эта модель неадекватна. Какие допущения, на ваш взгляд, были сделаны неверно при разработке этой модели?

Ответ:

Сравните поведение двух моделей при , и . Сделайте выводы.

Ответ:

Модель «хищник-жертва»

Для выполнения работы откройте файл-заготовку ХищникЖертва.xls.

Выполните моделирование биологической системы «щуки-караси»



где – численность карасей

– численность щук

при следующих значениях параметров:

– коэффициент прироста карасей;

– предельная численность карасей;

– начальная численность карасей;

– начальная численность щук;

– коэффициент смертности щук без пищи;

и – коэффициенты модели.

Постройте на одном поле графики изменения численности карасей и щук в течение 30 периодов моделирования.

Ответьте на следующие вопросы:

1. 
   
   Сколько карасей и щук живут в водоеме в состоянии равновесия?
   

Ответ:

2. 
   
   Что влияет на количество рыб в состоянии равновесия: начальная численность хищников и жертв или значения коэффициентов модели?
   

Ответ:

3. 
   
   На что влияет начальная численность хищников и жертв?
   

Ответ:

4. 
   Подберите значения коэффициентов, при которых модель становится неадекватна.
   

Ответ:

5. 
   Подберите значения коэффициентов, при которых щуки вымирают, а численность карасей достигает предельно возможного значения. Как вы можете объяснить это с точки зрения биологии?
   

Ответ:

Модель «две популяции»

Для выполнения работы откройте файл-заготовку ДвеПопуляции.xls.

Белки и бурундуки живут в одном лесу и едят примерно одно и то же (конкурируют за пищу). Модель, описывающая изменение численности двух популяций, имеет вид:



Здесь и – численность белок и бурундуков; и – их максимальные численности; и – коэффициенты прироста; и – коэффициенты взаимного влияния.

Объясните, на основании каких предположений была построена эта модель.

Ответ:

Выполните моделирование изменения численности двух популяций в течение 15 периодов при , , , , и . Постройте графики изменения численности обеих популяций на одном поле.

Ответьте на следующие вопросы:

1. 
   
   Является ли эта модель системной? Почему?
   

Ответ:

2. 
   
   Какова численность белок и бурундуков в состоянии равновесия?
   

Ответ:

3. 
   
   Что влияет на состояние равновесия?
   

Ответ:

4. 
   
   На что влияет начальная численность животных?
   

Ответ:

5. 
   При каком значении коэффициента бурундуки вымрут через 25 лет? (используйте подбор параметра).
   

Ответ:

6. 
   Найдите какие-нибудь значения коэффициентов, при которых модель становится неадекватна;
   

Ответ:

7. 
   Предложите аналогичную модель взаимного влияния трех видов.
   

Ответ:

Саморегуляция

Для выполнения работы откройте файл-заготовку Саморегуляция.xls.

Биологи выяснили, что для каждого вида животных существует некоторая минимальная численность популяции, которая необходима для выживания этой колонии. Это может быть одна пара животных (например, для ондатр) или даже тысячи особей (для американских почтовых голубей). Если количество животных становится меньше этого минимального значения, популяция вымирает. Для этого случая предложена следующая модель изменения численности:

, (*)

Эта модель отличатся от модели ограниченного роста только дополнительным множителем , где и – некоторые числа (параметры), смысл которых вам предстоит выяснить.

1. 
   Выполните моделирование для 30 периодов при следующих значениях параметров модели:
   

Сравните результаты, которые дают модель классическая модель ограниченного роста и модель (*). Сделайте выводы и опишите, в чём проявляется саморегуляция для этих моделей.

Ответ:

2. 
   Постепенно увеличивая коэффициент от 0 до 500, выясните с помощью моделирования, как влияет этот коэффициент на саморегуляцию.
   

Ответ:

3. 
   Через 10 периодов в результате изменения природных условия число животных уменьшилось до 400 (то есть, ). Выполните моделирование при этих условиях и опишите, как работает саморегуляция и чем отличается поведение двух сравниваемых моделей.
   

Ответ:

4. 
   Повторите моделирование п. 3 при и сделайте аналогичные выводы:
   

Ответ:

5. 
   Экспериментируя с моделями, найдите минимальную численность популяции , при которой она выживает в соответствии с моделью (*).
   

Ответ:

6. 
   Сделайте выводы о смысле коэффициента в модели (*).
   

Ответ:

7. 
   Сравните свойства саморегуляции для модели ограниченного роста и модели (*).
   

Ответ: